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华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 暑期巩固
利用正方形的性质进行求解
1如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为(　　)
A. B. C. D.
2如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)

A. B. C. D.
3如图，在正方形外侧，作等边，则为(　　)
A. B. C. D.
4如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是 ．
5如图，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 ．
6如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长．
7如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积．
利用正方形的性质进行证明
1如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 (填正确的序号)．
4如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：．
5如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：．
添加一个条件证明是正方形
1如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　)
A. B. C. D.
2在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A. B. C. D.
3如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)

A. B. C. D.
4如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）．

5如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件： ．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）

6如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，．
(1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明；
(2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？
综合利用正方形的判定与性质进行证明
1正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
正确的结论的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
3如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形．
4如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形．
综合利用正方形的判定与性质进行求解
1如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
2如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．

3如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若，求的长．
4如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，点C为的中点，直接写出的长．
华师大版（2024）八年级下册 18.3 正方形 分层练习（参考答案）
1利用正方形的性质进行求解
1如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，在上取点关于的对称点，连接，交于点，

，
∴在与中，
，
∴，
∴ ，
∴，
三点共线，
，
，
∴四边形为矩形，
∴ ，
同理，
∴ ，
，
，
∴为直角三角形，
∴，
故选：D．
2如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
．
故选：B．
3如图，在正方形外侧，作等边，则为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正方形外侧，作等边，
，，，
，
，
，
故选C．
4如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是 ．
【答案】
【解析】连接交于点，如图所示，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，,
由勾股定理得：
四边形的周长为．
故答案为：．
5如图，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 ．
【答案】5
【解析】将绕点B逆时针旋转，即，连接，
，
由于旋转得，，，，，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
6如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长．
【答案】解：四边形是正方形，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
7如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积．
【答案】解： 四边形为正方形，
∴，
由旋转得，，，
，、、在一条直线上．
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴正方形的边长为7，
∴正方形的面积．
2利用正方形的性质进行证明
1如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
故，
故①正确．
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，故②错误．
，
，与同高，
，
故③错误．
，
，
，
，
，
，
，
，
故四边形是菱形，
故④正确．
，，
，
四边形是菱形，
，
，
．
故⑤正确．
故选：B．
2如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
（故①正确）；
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴（故④正确）；
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
，
∴，
一定成立（故②正确）；
假设，
，
（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
在中，，
，这与正方形的边长相矛盾，
假设不成立，（故③错误）；
∴正确的有①②④共3个正确，
故选：C．
3如图，在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 (填正确的序号)．
【答案】①②④
【解析】∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，

∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
4如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：．
【答案】证明：在正方形中，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
5如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：．
【答案】证明：∵正方形，
∴，
∵，
设，
则，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴．
3添加一个条件证明是正方形
1如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，，
，
，
四边形是菱形，
，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意；
B.四边形是菱形，
，，
故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意；
C.四边形是菱形，
，，
，
故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意；
D.四边形是菱形，
平行于，
，
，
，
菱形是正方形，故D符合题意．
故选：D．
2在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴四边形是菱形，
若添加，则该四边形是正方形．
故选：A．
3如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意，
当时，四边形是正方形，故B符合题意，
当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意，
当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意，
故选：B．
4如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【解析】∵在平行四边形中，，
∴平行四边形为矩形，
添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形；
添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形．
故答案为：．（答案不唯一）
5如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件： ．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）

【答案】且（答案不唯一）
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴当且时，四边形为正方形，
故答案为∶且（答案不唯一）．
6如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，．
(1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明；
(2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？
【答案】解：（1）当时，四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
是矩形边的中点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当时，四边形是矩形，
（2）动点运动到中点时，矩形变为正方形，
由（1）可知，
是等腰直角三角形，
要使四边形是正方形，则,
，，
在的角平分线上，
，
，
动点运动到中点时，矩形变为正方形．
4综合利用正方形的判定与性质进行证明
1正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
正确的结论的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，
∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，
∴不可能存在无数个矩形，
∴①②④正确，
故选：C．
2如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（　　）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°，
∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴AB+BE＝BC+CF＝CD+DG＝DA+AH，
即AE＝BF＝CG＝DH，
在△FBE和△GCF中，
，
∴△FBE≌△GCF（SAS），
∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF，
∵∠GCF＝90°，
∴∠CGF+∠GFC＝90°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°，
即∠EFG＝90°，
同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE，
∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
又∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
3如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB＝∠PFB＝∠EBF＝90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∵∠FBP＝∠FPB＝45°，
∴FB＝FP，
∴四边形PEBF是正方形．
4如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形．
【答案】证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠FEM，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形．
5综合利用正方形的判定与性质进行求解
1如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】34
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH=，
所以正方形EFGH的面积.
2如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．

【答案】
【解析】如图所示，过点作于，

∵点是正方形的对角线上的一点，于点，
∴四边形是矩形，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为，
故答案为：．
3如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
．
在中，为中点，
．
，
矩形是正方形，
，
．
4如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，点C为的中点，直接写出的长．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
过点D作于点G，

∵平分，
∴，
同理可得：，
，
∴四边形是正方形；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∵点C为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．

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