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安徽蚌埠禹王学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（4卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3.下列说法中正确的个数是（）
棱柱的所有面都是四边形;
一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面;
过圆锥侧面上任意一点有无数条母线;
水平放置的三角形用斜二测画法画出的直观图一定是三角形.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知a∈R，则“a＝0”是“复数z＝a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.一物体在力的作用下,由点移动到点. 已知力=(3,4),则力 对该物体所做的功为（）
A. B. C. D.
6.如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则AB＝
A. B. C. D.
7.在中,边上的中线为,的中点为,过点的一条直线与,分别交于点,. 若,,则（）
A. B. C. D.
8.已知棱长为1的正四面体ABCD的中心为O，若球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点，则球O的半径的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D.
10.在长方体中，，，，E为棱上一点，则（ ）
A. 该长方体是一个正四棱柱
B. 长方体的外接球的表面积为
C. 四棱锥的体积为24
D. 的最小值为
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P在△ABC内，且满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，称点P为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是
A. sin∠APB＝sin∠ABC
B. 若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角
C. 若PA＝λPB，则b2＝λac
D. 若a+ c＝2，PA＝3 PB，则cos∠ ABC的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 .
13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是 ．
14.已知P是的重心，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，．
(1)求向量与的夹角的余弦值；
(2)当k为何值时，与垂直？
16.(本小题15分)
在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，，，求．
17.(本小题15分)
如图,正方体ABCD-的棱长为a,E,F分别是棱AB,AD的中点,截面EF将该正方体分成两部分,这两部分的体积分别为,,且>.

(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)求点A到平面EF的距离.
18.(本小题17分)
在中，角的对边分别为，.
（1）求.
（2）已知平分且交于点.
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求周长的最小值.
19.(本小题17分)
Ⅰ某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球现有两种设计方案，一种是正方体礼盒如图，另一种是圆柱形礼盒如图，在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠
Ⅱ设某长方体礼盒的长、宽、高分别为，，．
(ⅰ)若用十字捆扎法如图，且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度不考虑接口处的彩带长度
(ⅱ)若用对角捆扎法如图，且，不考虑接口处的彩带，结合(ⅰ)，比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米结果保留到整数
参考数据：，．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，，
所以，
，
设与的夹角为，
则．
（2）因为，，
所以，
因为与垂直，
所以，即，
解得．

16.【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，即，
因为，所以．
（2）
因为，所以点在直线上．
因为，所以，即为边上的高．
由余弦定理可得，
所以．
由等面积法可得，
即，解得．

17.【答案】解：(I) 截面EF将正方体分成两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥-AEF,其底面AEF是腰长为a的等腰直角三角形,面积为S=AEAF=，又底面AEF上的高为h==a,所以三棱锥-AEF的体积=Sh=a=.因为正方体ABCD-的体积V=,所以剩余部分的体积=V-=-=.
(Ⅱ)在EF中,F=E=a,EF=a,
如图,取EF的中点H,连接H,则HEF,EH=EF=a,
所以H== =a,
EF的面积=EFH=aa=.
设点A到平面EF的距离为d,因为三棱锥-AEF与三棱锥A-EF是同一个几何体,
所以=,结合(I),得=d,
即=d,解得d=,所以点A到平面EF的距离为.

18.【答案】解：(1)因为=,所以=,即+-=-bc,
所以A==-,因为A(0,),所以A=;
(2)(i)因为B=2C,由正弦定理得:b=2c，
因为AD平分BAC，
所以BAD=CAD=，
因为=+,
所以bc=cAD+bAD,
将AD=2,b=2c代入上式得=3c,解得c=3,b=2c=6,
由余弦定理得=+-2bcA=+-263=63,解得a=3；
(ii)由=+，
得bc=cAD+b AD，
将AD=2代入上式得bc=b+c,即bc=2b+2c,即+=，
则b+c=2(b+c)(+)=2(2++)2(2+2 )=8，
当且仅当b=c时,等号成立,则b+c的最小值为8，
由余弦定理得=+-2bcA
=++bc=-bc=-2(b+c),
令t=b+c,则=-2t=-1,
因为t8,当t=8时,的最小值为-1=48，
则a的最小值为4,
所以ABC周长的最小值为a+b+c=4+8.
19.【答案】解：（Ⅰ）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，
则圆柱形礼盒的造价为元，
记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为，
显然都是正数，所以，
则，所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠．
（Ⅱ）
（ⅰ）所需彩带的总长度为．
（ⅱ）如图所示，在平面内作，则，
同理可得，则，
所以所需彩带的总长度为，
因为，所以用对角捆扎法所用的彩带短，较短的约为35cm．


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