资源简介

安徽蚌埠博雅培文实验学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（1卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知样本数据的方差为3，若（），则的方差为( )
A. 31 B. 27 C. 13 D. 9
3.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4.已知a∈R，则“a＝0”是“复数z＝a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.一物体在力的作用下,由点移动到点. 已知力=(3,4),则力 对该物体所做的功为（）
A. B. C. D.
6.如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则AB＝
A. B. C. D.
7.在△ABC中，BC边上的中线为AD，AD的中点为E，过点E的一条直线与AB，AC分别交于点F，G．若，，则
A. λ+μ＝1 B. C. D. λ＝μ
8.已知棱长为1的正四面体ABCD的中心为O，若球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点，则球O的半径的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知一组数据，则( )
A. 该组数据的众数为3 B. 该组数据的60%分位数是3
C. 该组数据中大于3 的数的占比大于50% D. 去掉7 和8 后，该组数据的方差变大
10.在长方体中,,,,为棱上一点,则（）
A.
B. 长方体的外接球的表面积为
C. 四棱锥的体积恒为
D. 的最小值为
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P在△ABC内，且满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，称点P为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是
A. sin∠APB＝sin∠ABC
B. 若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角
C. 若PA＝λPB，则b2＝λac
D. 若a+ c＝2，PA＝3 PB，则cos∠ ABC的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 .
13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是 .
14.已知是的重心，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量．
(1)求向量与的夹角的余弦值；
(2)当为何值时，与垂直？
16.(本小题15分)
在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
(1)求证：平面．
(2)已知．
（i）若，求证：平面平面；
（ii）若，求异面直线与所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
为点燃同学们对数学的热爱,使其探寻数字背后的文化密码,某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛.为了解参赛者的成绩情况,从所有参赛者中随机抽取100 人的成绩(百分制)作为样本,并按,,,分组,作出频率分布直方图如图所示.
(1)求的值,并估计样本中成绩不低于60 分的人数;
(2)估计样本中成绩的上四分位数;
(3)若规定成绩不低于80 分为“良好”等级,已知样本中成绩在内的平均数为88,方差为7,成绩在内的平均数为96,方差为7,求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥的顶点在半球的表面上，四边形为圆的内接四边形，且．
(1)求四棱锥体积的最大值．
(2)当四棱锥的体积最大时：
（i）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
所以．
所以．
设与的夹角为，
则．
（2）因为，
所以．
因为与垂直，
所以，即，
解得．

16.【答案】解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
则，
又因为，所以，所以，
即，所以．
（2）因为，所以点在直线上．
因为，所以，即为边上的高．
由余弦定理可得，
所以．
由面积法可得，即，
解得．

17.【答案】解：(1)证明：设，如图，连接.
因为是中点，是中点，
所以为的中位线，所以，
又平面，平面，
所以平面.
(2)（i）证明：当时，四边形为正方形，所以，
因为平面平面，所以，
又平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（ii）由（1）得，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．
在中，，
由余弦定理得，
即异面直线与所成角的余弦值为．

18.【答案】解：(1)在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1,
则(++++m+)10=1,解得m=,
估计样本中成绩不低于60分的人数为100-(+)10100=90.
(2)前四个小矩形的面积之和为(0.005+0.005+0.020+0.030)10=,
前五个小矩形的面积之和为+10=0.85,
所以成绩的上四分位数落在[80,90)内,设其为a,
则0.60+(a-80)0.025=,解得a=86,
即估计样本中成绩的上四分位数为86.
(3)样本中成绩在[80,90)内占成绩在[80,100]内的比例为=,
样本中成绩在[90,100]内占成绩在[80,100]内的比例为=.
设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为,,
由分层随机抽样的平均数公式可得=88+96=91,
由分层随机抽样的方差公式可得=[7+]+[7+]=22,
故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91,方差为22.
19.【答案】解：（1）设直线与的夹角为，点到平面的距离为．
则，
如图，连接，
则当平面时，，
当时，最大，为1，
所以，
即四棱锥的体积的最大值为．
（2）由（1）知，当四棱锥的体积最大时，平面，四边形为正方形，
所以四棱锥为正四棱锥，
其底面边长，高，侧棱长．
所以其侧面是边长为的等边三角形．
（i）因为是正方形，所以．
又平面平面，所以平面．
设平面平面，又平面，
则由线面平行的性质可得．同理．
分别取的中点，连接，如图．
因为和均为等边三角形，
所以，所以，
所以即为平面与平面所成二面角的平面角．
在中，，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
（ii）设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为．
由等体积法可得，
即，解得，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑