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2025-2026学年安徽省芜湖市第十二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，若，则x=（　　）
A. B. 1 C. D. 6
2.若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.已知，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
5.如图所示，在△DEF中，点M在线段DF上，DE=3，DM=EM=2．sin∠EFM=，则边EF的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.设△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且，若，则此三角形的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图所示，已知△ABC，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，，则（　　）
A. B.
C. D.
8.在直角三角形ABC中，AC=2，BC=1，D为斜边AB上一点，若△ACD与△BCD的内切圆面积相等，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z=x+yi（x,y∈R），若2z=-y+4i,则（　　）
A. B. C. zi=-2+i D.
10.点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（　　）
A. 若，则动点O的轨迹一定通过△ABC的重心
B. 若，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC=1：4
C. 若，则点O是△ABC的内心
D. 若点O满足，|AB|=2，|AC|=6，则
11.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=2bsinC.则（　　）
A. △ABC的面积为 B.
C. 若，则 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个底面半径为2，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为 .
13.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C，D两地相距500m,则电视塔AB的高度是 m.
14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=2.
（1）求平面四边形OABC的面积；
（2）若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，其中k∈（0，1）.
（1）当∠DAB=90°，时，求向量和的夹角的余弦值；
（2）当∠DAB=60°时，求的取值范围.
17.(本小题15分)
彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD=100米，BC=200米，.
（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且，.
（1）求角B；
（2）若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围.
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,bsinA+atanAcosB=2asinC.
（1）求A；
（2）奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立.
在（1）的条件下，若a=3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设△ABC的面积为S，求的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】12π
13.【答案】500
14.【答案】20
15.【答案】5 体积为，表面积为
16.【答案】；
（2，5）．
17.【答案】m；
修建观赏步道时应使得，．
18.【答案】；
；

19.【答案】解：（1）在△ABC中，∵bsinA+atanAcosB=2asinC，
∴由正弦定理得，sinBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，
又sinA≠0，∴，
整理得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
又A+B=π-C sin（B+A）=sinC，
∴sinC=2sinCcosA，sinC≠0，
∴，又A∈（0，π），∴；
（2）（i）∴a=3，
∴
=
（当且仅当△ABC为正三角形时取等号）
即：的最小值为108．
（ii）．
又，
∴c|PD|+a|PE|+b|PF|=2S，
∵x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立．
∴有，当且仅当，即|PE|=3|PD|=3|PF|时等号成立．
所以；
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc,
∴（b+c）2-9=3bc,即，
则，
令t=b+c+9，则．
∵，
∴3＜b+c≤6，当且仅当b=c时等号成立，
∴12＜t≤15 ，
令，则y在上递减，
当即b=c=3时，y有最大值，
此时T有最小值（此时|PE|=3|PD|=3|PF|与b=c可以同时取到）．
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