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2025-2026学年福建省莆田一中高一（下）期中数学复习试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
2.在基底{，}下，向量=4-3，则在下列图中，能正确表示c的是（　　）
A. B.
C. D.
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，且b=6，则△ABC的外接圆半径为（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4.矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）.已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC=6米，AB=3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP=（　　）
A. m B. m C. m D. m
5.如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，M，N分别为AE，DF的中点，将△ADE，△BDF，△CEF分别沿DE，DF，EF折起，使得A，B，C三点重合，此时MN=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，在边长为4的正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则的取值范围是（　　）
A. （-8，16+8）
B. （-16，16+8）
C. （-8，16）
D. （-16，16）
7.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥P-ABCD的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（　　）
A. 2π B. 3π C. D.
8.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于复数z的四个命题，真命题的为（　　）
A. 若∈R，则z∈R B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若|z-i|=1，则|z|的最大值为2 D. 若z3-1=0，则z=1
10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，BC1和B1C相交于点O，M为AB的中点，正方体其余各面的中心分别为E，F，G，H，I，下面结论中正确的是（　　）
A. DO⊥BC1
B. DB1与CM所成角的正弦值为
C. 平面DMO截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形
D. 多面体EFGHIO的内切球半径为
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c=4，，则下列说法正确的是（　　）
A. bcosA+acosB=4
B. 若b=7，则符合条件的三角形有两个
C. a2+b2的最大值为32
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为 .
13.已知关于x的方程x2+4x+a=0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a= .
14.如图在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E在线段BC上满足，若，则λμ= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且a2+c2-ac=b2.
（1）求角B的大小.
（2）若c=3，a=2，D是AC边的中点，E为边AB上一点，且CE⊥AB，CE与BD交于点F.
（i）求BD的长度；
（ii）求cos∠CFD.
16.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，.
（1）若，试确定点P在线段DC上的位置；
（2）若，当λ为何值时，最小？
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，，，点E，F分别为棱BC，A1B的中点.
（1）证明：直线EF∥平面AA1C1C；
（2）求异面直线EF与B1C1所成的角的大小.
18.(本小题17分)
如图，在圆柱OO1中，AC，A1C1分别为圆O，圆O1的直径，AA1，BB1，CC1为圆柱的母线.
（1）求证：平面A1OB∥平面O1B1C；
（2）若圆O的半径为2，∠BAC=30°，A1A=AB，点P为A1B的中点，求三棱锥P-O1B1C的体积.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB；
（2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若四棱锥P-ABCD是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积；
（3）若四棱锥P-ABCD是阳马，且PD=CD，点E可能为PA，PB，PC的中点，试确定点E位置使得四面体E-BCD为鳖臑，并证明.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】； （i）；（ii）．
16.【答案】解：（1）过C作CF∥AB交AD于F，如图所示：
因为，所以DA∥BC，DA=2BC，
则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处；
（2）因为，所以，
所以，
因为，，=4，
所以，
所以当，即时，取得最小值．
所以的最小值为，此时．
17.【答案】（1）证明：连接A1C，
由已知条件，点E，F分别为棱BC，A1B的中点，
故有EF∥A1C，
又EF 平面AA1C1C，A1C 平面AA1C1C，
所以直线EF∥平面AA1C1C；
（2）解：由（1）可知EF∥A1C，BC∥B1C1，
故∠BCA1或其补角为异面直线EF与B1C1所成的角．
因为AB⊥AC，AB=4，，AA1=4，
所以BC===8，
根据直三棱柱性质可知，AA1⊥AB，AA1⊥AC，
所以BA1===4，CA1===12，
在△A1CB中，由余弦定理得cos∠BCA1===，
又∠BCA1∈（0，π），故，
即异面直线EF与B1C1所成的角的大小为．
18.【答案】证明：如图所示，连接OO1，由四边形OO1B1B为矩形，∴OB∥O1B1，
∵O1B1 平面O1B1C，OB 平面O1B1C，
∴OB∥平面O1B1C，
又∵四边形OCO1A1为平行四边形，
∴A1O∥O1C，
∵O1C 平面O1B1C，A1O 平面O1B1C，
∴A1O∥平面O1B1C，
∵OB∩A1O=O，且OB，A1O 平面A1OB，
∴平面A1OB∥平面O1B1C 2
19.【答案】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC，
且BD∩PD=D，BD，PD 平面PDB，所以AC⊥平面PDB；设AC与BD相交于点F，连接EF，
又由AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，
所以AC⊥EF，S△ACE=AC EF；当△AEC面积最小时，EF最小，则EF⊥PB，
S△ACE=9，×6×EF=9，解得：EF=3；由PB⊥EF且PB⊥AC，EF∩AC=F，EF、AC 平面AEC，
则PB⊥平面AEC，又EC 平面AEC，则PB⊥EC；又由EF=AF=FC=3，则EC⊥AE，而PB∩AE=E，
PB、AE 平面PAB，故EC⊥平面PAB 50π 点E是PC的中点，
证明：因为PD=CD，所以DE⊥PC，
又因为PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以BC⊥PD，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，所以BC⊥平面PCD，
又DE，PC 平面PCD，所以BC⊥DE，BC⊥PC，
由DE⊥PC，BC⊥DE，PC∩BC=C，DE，BC 平面PBC，
所以DE⊥平面PBC，又BE 平面PBC，所以DE⊥BE，
所以∠DEC=∠DEB=∠BCD=∠BCE=，
所以四面体E-BCD为鳖臑
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