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2025-2026学年河南省名校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=sinx+f′（0），则=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S7=77，a2+a10=34，则a7=（　　）
A. 20 B. 23 C. 26 D. 29
3.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）-P（X=0）=0.2，则P（X=0）=（　　）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
4.已知，则=（　　）
A. -213 B. 27 C. 213-27 D. 213
5.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（　　）
A. 40 B. 90 C. 150 D. 240
6.已知点M（-1，0），N（0，1），在直线l：x-y+b=0上存在点P，满足|PM|=2|PN|，则实数b的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
7.已知函数f（x）=ex+x的图象在点（0，f（0））处的切线也是函数g（x）=lnx+b的图象的切线，则实数b=（　　）
A. ln2 B. 1 C. D. 2+ln2
8.含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（　　）
A. 12 B. 16 C. 32 D. 34
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（　　）
A. n=7 B. x-3的系数为560
C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项
10.在数列{an}中，a1=1，若2an+1-an+an+1an=0，则下列结论正确的是（　　）
A. 是等差数列 B.
C. 数列的前n项和为2n+1-n-2 D. 数列{2nanan+1}的前n项和为
11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响.记An表示事件“第n次分类正确”，P（An）表示第n次分类正确的概率.已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第（n+1）次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第（n+1）次分类正确的概率为.记pn=P（An），则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 若第n次分类正确，则第（n+2）次分类正确的概率为
C. 数列是等比数列
D. 数列{pn}的前n项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则f（x）的单调递减区间为 .
13.已知数列{an}的前n项和为，则{an}的通项公式为 .
14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：A，B袋中各有5张奖券，其中A袋中有2张一等奖和3张二等奖，B袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4号签，则从A袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从B袋中随机抽取1张奖券.已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自B袋的概率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足，且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会.
（1）求甲、乙面试都合格的概率；
（2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列.
17.(本小题15分)
如图，已知四边形ABCD为矩形，EF∥平面ABCD，C，D，E，F四点共面，AD⊥FC，CD⊥EA，EF=DE=AD，CD=2EF.
（1）求证：EF⊥平面ADE；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知F1是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，.
（1）求E的方程.
（2）过点（0，2）作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0.
（i）求点Q的坐标；
（ii）求△QMN面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数，h（x）=x2f′（x）-a（x-1）2，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若h（x）在（0，+∞）上恰有三个零点，求实数a的取值范围；
（3）若x1，x2（x1＜x2）是h（x）在（0，+∞）上不为1的两个零点，求证：x1+x2＜2lna.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】（-2，1）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 X的分布列为：
X 1 2 3 4
P

17.【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
又CD⊥EA，AD∩EA=A，AD、EA 平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
∵EF∥平面ABCD，EF 平面EFCD，平面EFCD∩平面ABCD=CD，
∴CD∥EF，
∴EF⊥平面ADE
18.【答案】 （i）；（ii）
19.【答案】当a≤1时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；当1＜a＜e时，f（x）在区间（0，lna）上单调递增，在区间（lna，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；当a=e时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增 （e，+∞） 证明：由（2）知，x1∈（0，lna），x2∈（lna，a）是h（x）的不为1的零点，也是g（x）=ex-ax的零点，
要证x1+x2＜2lna，只需证x1＜2lna-x2，
而x1＜2lna-x2＜lna，且g（x）在（0，lna）上单调递减，
故只需证g（x1）＞g（2lna-x2），
又g（x1）=g（x2），因此只需证g（x2）＞g（2lna-x2），
即证g（x2）-g（2lna-x2）＞0．
令F（x）=g（x）-g（2lna-x），
即F（x）=ex-ax-[e2lna-x-a（2lna-x）]=ex-a2e-x-2ax+2alna，
则（因lna＜x＜a，故等号不可取），
因此F（x）在R上单调递增．
由x2＞lna，可得F（x2）＞F（lna）=0，即g（x2）-g（2lna-x2）＞0，
因此g（x1）＞g（2lna-x2），
又g（x）在（0，lna）上单调递减，
因此x1＜2lna-x2，即x1+x2＜2lna，得证
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