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2025-2026学年河南省新乡市新誉佳高级中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）
A. （-1，2） B. [1，2） C. [1，3] D. （-1，3]
2.“ λ∈R，使得”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=3，b=4，c=5，则cosA=（　　）
A. B. C. D.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9=20，S7=28，则a11=（　　）
A. 19 B. 25 C. 30 D. 33
5.有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（　　）
A. 81 B. 64 C. 24 D. 12
6.已知函数f（x）=（x2+mx+n） ex的大致图象如图所示，则x1+x2=（　　）
A. B. C. 1 D.
7.已知点P为抛物线C：x2=8y上的动点，点Q为圆M：x2+y2-2x-8y+16=0上的动点，点F为抛物线C的焦点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
8.已知函数，g（x）=f（x）-a,若g（x）恰有2个零点，则a的取值范围是（　　）
A. [-2，-1]∪{-4} B. （-4，-3]∪[-2，-1]
C. （-2，-1]∪{-4} D. （-4，-3]∪（-2，-1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（　　）
A. a=1
B. f（x）在R上单调递减
C. f（x）的值域为（-1，1）
D. f（x+1）+f（x-3）＞0的解集为{x|x＞1}
11.已知点P是圆O：x2+y2=4上一动点，点M（-3，0），点N（0，-4），则（　　）
A. 点P到直线MN的距离的最大值为
B. 满足PM⊥PN的点P有2个
C. 过点N作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为y=-1
D. 2|PM|+|PN|的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点（1，2）且与直线3x-y+1=0垂直的直线的方程是 .
13.（1-3x）（x-2y）5的展开式中x4y2的系数为 .
14.已知事件A，B相互独立，，，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知：
（1）求角A；
（2）若，b=2，求边c及△ABC的面积.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，，平面ACC1A1⊥平面ABC.
（1）求该棱柱的体积；
（2）求平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设X表示取到的豆沙粽个数.求
（1）X的分布列；
（2）X的期望与方差；
（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-x2+（2-a）x.
（1）若f（x）在x=1时取极值，求a的值和f（x）的极小值；
（2）若不等式f（x）≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】x+3y-7=0
13.【答案】-120
14.【答案】
15.【答案】 c=3，
16.【答案】an=2n-1
17.【答案】解：（1）取AC的中点O，连接OB，OA1，
由题意知，△ABC是边长为2的等边三角形，
所以OB⊥AC，OB=，
又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，OB 平面ABC，
所以OB⊥平面ACC1A1，
而OA1 平面ACC1A1，
所以OB⊥OA1，
因为，所以OA1==，
又OA=1，AA1=2，所以，即OA1⊥AC，
又OB∩OC=O，OB、OC 平面ABC，
所以OA1⊥平面ABC，
所以棱柱的体积V=S△ABC OA1===3．
（2）由（1）知OA1⊥平面ABC，OB⊥AC，
所以OB，OC，OA1两两互相垂直，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（，0，0），A1（0，0，），
所以=（，1，0），=（0，1，），
设平面ABB1A1的法向量为=（x,y,z），则，
取=（1，-，1），
易知平面A1B1C1的一个法向量为=（0，0，1），
设平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
故平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值为．
18.【答案】
X 0 1 2 3
P
，
19.【答案】解：（1）由题意可知：f（x）=ex-x2+（2-a）x,f′（x）=ex-2x+（2-a），
因为f′（1）=e-2+2-a=0，解得a=e,
则f（x）=ex-x2+（2-e）x,f′（x）=ex-2x+（2-e），
令t（x）=ex-2x+（2-e），则t′（x）=ex-2，
令t′（x）＜0，解得x＜ln2；令t′（x）＞0，解得x＞ln2；
可知t（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
则t（x）的最小值为t（ln2），且t（ln2）＜t（1）=0，
当x趋近于-∞或+∞时，t（x）趋近于+∞，
可知t（x）在定义域R内有2个零点x0∈（-∞，ln2）和1，
当x∈（-∞，x0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f′（x）＜0，
可知f（x）在（-∞，x0），（1，+∞）内单调递增，在（x0，1）内单调递减，
所以f（x）在x=1处取极小值，极小值为f（1）=1．
（2）解法1：由于不等式f（x）≥1对任意x≥1恒成立，
则f（1）=e+1-a≥1，解得a≤e,
下证：当a≤e时，f（x）≥1，
若a≤e,则ex-x2+（2-a）x≥ex-x2+（2-e）x,
令m（x）=ex-x2+（2-e）x,由（1）可知，m（x）在[1，+∞）上单调递增，
则m（x）≥m（1）=1，则f（x）≥m（x）≥m（1）=1，
所以a的取值范围为（-∞，e]；
解法2：令f（x）=ex-x2+（2-a）x≥1，x≥1，则，
设，x≥1，则，
设G（x）=ex-x-1，x≥1，则G′（x）=ex-1≥e-1＞0，
可知G（x）在[1，+∞）上单调递增，则G（x）≥G（1）=e-2＞0，
即g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-2，
可得a≤e,所以a的取值范围为（-∞，e]；
解法3：因为f（x）=ex-x2+（2-a）x,x≥1，则f′（x）=ex-2x+2-a,
设n（x）=ex-2x+2-a,x≥1，则n′（x）=ex-2≥e-2＞0，
可知n（x）在[1，+∞）上单调递增，即f′（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥f′（1）=e-a,且当x趋近于+∞时，f′（x）趋近于+∞，
当f′（1）＜0，即a＞e时，则f′（x）在[1，+∞）内存在零点x1，
若1≤x＜x1，则f′（x）＜0，可知f（x）在[1，x1）内单调递减，
可得f（x1）＜f（1）=，不合题意；
当f′（1）≥0，即a≤e时，则f′（x）≥0，可知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（1）=，符合题意；
综上所述：a的取值范围为（-∞，e]；
解法4：因为f（x）=ex-x2+（2-a）x≥1，x≥1，则，
设，
则，
当3-a≤1，即a≥2时，则h′（x）≤0，可知h（x）在[1，+∞）单调递减，
则，解得2≤a≤e；
当3-a＞1，即a＜2时，
令h′（x）＞0，解得1≤x＜3-a；令h′（x）＜0，解得x＞3-a；
可知h（x）在[1，3-a）上单调递增，在（3-a,+∞）上单调递减，
则，
令t=3-a＞1，下证：et≥t+1，t＞1，
设F（t）=et-t-1，t＞1，则F′（t）=et-1＞e-1＞0，
可知F（t）在[1，+∞）上单调递增，则F（t）＞e-1-1＞0，
即e3-a≥4-a＞0，可得，可知a＜2不等式恒成立；
综上所述：a的取值范围为（-∞，e]．
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