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2025-2026学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，i为虚数单位．则z的虚部为（　　）
A. i B. -i C. 1 D. -1
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=300，bsinA=1，则a=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
3.已知集合A={y|y=1+}，B={x|x-3≤0}，则A∩B=（　　）
A. {1，2} B. [1，3] C. （2，3） D. （2，+∞）
4.已知向量，满足||=1，||=2，（-）⊥（3+），则向量与夹角的余弦值是（　　）
A. B. C. D.
5.已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（　　）
A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心
6.已知a,b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（　　）
A. 若a α，b β，且α∩β=l,则a与b为异面直线
B. 若a⊥α，b⊥β，且α∥β，则a∥b
C. 若a⊥α，b∥β，且α∩β=l,则a与b为异面直线
D. 若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b
7.如图，某海滨城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角为150°，距离为km的海面P处，并以25km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域.则（　　）小时后该城市开始受到台风侵袭.
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
8.已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式的值正确的是（　　）
A. B.
C. D. （1+tan13°）（1+tan32°）=2
10.若有一个△ABC，下面说法正确的是（　　）
A. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰直角三角形
B. 在△ABC中，a=x,b=2，∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是
C. 在△ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120°
D. 在△ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半径
11.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别为线段B1C，D1C1的中点，点P满足，则（　　）
A. 当时，四棱锥P-ABCD外接球半径为3
B. 当m+n=1时，三棱锥P-DEF的体积为
C. 若，则点P的轨迹长为2π
D. △PEF周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为 .
13.已知空间向量，且，则在上的投影向量为______．
14.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，若AB=3，，，，则AD= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m-i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且.
（1）求该圆锥的全面积和体积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值.
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足.
（1）求B；
（2）若，△ABC的面积为，求a,c的值.
18.(本小题17分)
已知，函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），纵坐标不变，所得的图象在区间[0，π]内恰有一个对称中心，求ω的取值范围；
（3）若函数g（x）=[f（x）]2-2f（x）+a在上有唯一零点，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
如图：等边三角形ABC和直角三角形ADC，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=1，△ABC绕AC翻折，使点B到达点P.
（1）求三棱锥P-ACD的体积最大值；
（2）当AD⊥PC时，求直线AP与平面ADC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥P-ACD表面积最大时，二面角P-AC-D的余弦值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】28
13.【答案】
14.【答案】2．
15.【答案】m=3；
；
．
16.【答案】全面积为12π，体积为
17.【答案】；
a=4，c=6或a=6，c=4
18.【答案】T=π
19.【答案】
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