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2025-2026学年江苏省连云港市连云区海滨中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.求值：sin105°=（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，若AB=1，AC=5，BC=3，则B=（　　）
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
3.已知，则cos2α=（　　）
A. B. C. D.
4.如图所示，已知在ΔABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m=（　　）
A. B. 62 C. 28 D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，AB=3，，∠BAD=45°，则 =（　　）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 25
8.在△ABC中，若∠A=60°，b=2，其面积为2，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知点A（1，3），B（-2，4），C（2，x+1），则下列结论正确的是（　　）
A. 线段AB的中点的坐标为
B. 若，则点D的坐标为（4，-2）
C. 若，则x=5
D. 若，则向量，可以作为平面内的一组基底
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=3，b=4，∠C=60°，则下列结论正确的是（　　）
A. B. △ABC的面积为
C. D. a2+b2=c2-ab
11.下列等式成立的有（　　）
A. B. tan80°-tan35°-tan80°tan35°=1
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，的夹角为，且，，则= .
13.已知α，β均为锐角，且，，则α+β= .
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=7，cosC=，则c= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）求与的夹角θ的余弦值；
（2）若向量，求.
16.(本小题15分)
（1）已知，，β是第三象限角，求cos（α+β）的值.
（2）已知，，求sinα的值；
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a2-b2=ac-c2.
（1）求B；
（2）若b=5，，求c.
18.(本小题17分)
已知，，函数.
（1）求函数f（x）的解析式及周期T；
（2）若，且，求sinα的值.
（3）角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若，f（B）=1，求△ABC周长的最大值.
19.(本小题17分)
某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，∠BAC=120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM=2km.AN=1km,为了获得最佳观景效果，要求P对的视角∠MPN=60°.现需要从观景台P到M.N 造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米.每平方米造价为100元.
（1）求M、N的距离.
（2）设∠MNP=α，用α表示PM+PN；
（3）求该景区预算需要投入多少万元改造？
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】AB
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】，T=π
19.【答案】解：（1）△AMN中，AM=2，AN=1，∠MAN=120°，
由余弦定理得，MN2=AM2+AN2-2×AM×AN×cos∠MAN=4+1-2×2×1×cos120°=7，
所以M、N的距离为MN=≈2.65（km）．
（2）△PMN中，∠MNP=α，∠P=60°，MN=，
由正弦定理得，====，
所以PM=sinα，
同理，PN=sin（120°-α）=cosα+sinα，
所以PM+PN=sinα+（cosα+sinα）=sinα+cosα；
（3）PM+PN=sinα+cosα=2sin（α+），α=时，sin（α+）=1，PM+PN取得最大值，
所以2×1000×5×100=2×2.65×1000×5×100=2650000（元）=265（万元），
所以该景区预算需要投入265万元．
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