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2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则整数x的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或3
2.定义在R上的函数f（x），若，则=（　　）
A. 2 B. 1 C. D. -1
3.已知函数f（x）=f′（1） x2+2x,则f（2）的值为（　　）
A. 8 B. 4 C. 0 D. -4
4.已知函数f（x）=ax+cosx在区间上是单调递增函数，则实数a的最小值为（　　）
A. B. C. D.
5.学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（　　）
A. 66种 B. 60种 C. 30种 D. 24种
6.设n为正奇数，则被6整除的余数为（　　）
A. -1 B. 0 C. 4 D. 5
7.定义在R上的函数f（x）满足f（1）=4，且对任意x∈R，f′（x）＞2，则不等式f（2x-1）＞4x的解集为（　　）
A. （2，+∞） B. （1，+∞） C. （-∞，2） D. （-∞，1）
8.已知不等式eax≥（a+1）x-lnx对任意x＞1恒成立，则实数a的取值范围（　　）
A. [0，+∞） B. C. [l,+∞） D. [e,+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求函数的导数正确的有（　　）
A. B.
C. D.
10.若，其中a7≠0，则下列结论正确的有（　　）
A. n=6 B. a1+a2+…+a6+a7=0
C. D. a1+2a2+3a3+…+6a6+7a7=0
11.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的有（　　）
A. 直线A1P与直线BQ共面 B. 直线AP⊥QD1
C. 点D1到平面A1BD的距离为 D. 直线AP与直线BQ所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=2x-lnx的单调递减区间为___________.
13.（x+y）（x-2y）5的展开式中x3y3的系数为______（用数字作答）．
14.已知函数，若 x∈R，都有f（x）＞0，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中第三项的系数为7.
（1）求n；
（2）求展开式中的有理项.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+ax+b（其中a,b∈R）在x=2处取得极小值-16.
（1）求a,b的值；
（2）若函数f（x）在区间[-3，m]上的最大值为16，求实数m的最大值.
17.(本小题15分)
某种圆柱形饮料罐的容积固定为125πmL，底面半径为rcm,上、下底面用料成本均为0.4分/cm2，侧面用料成本为0.1分/cm2，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分.
（1）请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润W（r）分；
（2）当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润.
注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，E是PC的中点，，，PA=AB=BC=2，AD=4.
（1）求证：DE⊥PB；
（2）求证：EF∥平面PBG，并求直线EF和平面PBG的距离；
（3）求平面PCD与平面PBG所成角θ的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+2（a-1）ex-2x-1，其中a∈R.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】（0，）
13.【答案】-40
14.【答案】（-3，0]
15.【答案】n=8 x4，，
16.【答案】a=-12，b=0 4
17.【答案】 底面半径r=2.5cm时，每罐饮料的实际利润最大，且最大利润为110π分
18.【答案】证明：∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，
则PA⊥AB，PA⊥AD，
故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，2），
∵E为PC的中点，则E（1，1，1），
∴，
则，∴DE⊥PB 证明：设F（a，b，c），根据，即（0，4，-2）=3（a，b，c-2），
可得，∴，
又G（0，1，0），则，
设平面PBG的法向量为，则，
令x=1，则平面PBG的法向量，
∵，又EF 平面PBG，
∴EF∥平面PBG，
且，则点E到平面PBG的距离为，
∴直线EF和平面PBG的距离为
19.【答案】4x-y+3=0 a≤0时，f（x）在R上单调递减；a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增 （0，1）
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