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2025-2026学年陕西省铜川市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（　　）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3.如图，已知，，，用、表示为　　

A. B.
C. D.
4.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )
A. B. C. 2 D. 3
6.在空间四边形ABCE中，AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果GH、EF交于一点P，则（　　）
A. P一定在直线BD上 B. P一定在直线AC上
C. P在直线AC或BD上 D. P既不在直线BD上，也不在AC上
7.如图所示，矩形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，则原图形是（　　）
A. 面积为的菱形 B. 面积为的矩形
C. 面积为的菱形 D. 面积为的矩形
8.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则的值等于（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（　　）
A. 多面体有12个顶点，14个面
B. 多面体的表面积为3
C. 多面体的体积为
D. 多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
10.已知复数z1满足，z2=x+yi,x,y∈R，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（　　）
A. z1的共轭复数为1+i B. 当x=0时，z2为纯虚数
C. 若，则x+y=0 D. 若，则|z1+z2|=|z1-z2|
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（　　）
A. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
C. 三棱锥M-BCN的体积是定值
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为10π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC中，，则△ABC外接圆半径R为 .
13.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水 溢出杯子（填“会”或“不会”）.
14.设复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4，则|z-1-i|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足z-|z|=-1-3i.
（1）求z；
（2）若z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，求方程的另一个根和bc的值.
16.(本小题15分)
如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）求圆柱的表面积．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（a，c-2b），=（cosC，cosA），且．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=5，△ABC的面积为，求△ABC的周长
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点.
（1）当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB.
（2）当PB∥平面AMN时，求的值，并说明理由.
19.(本小题17分)
正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为7cm，31cm，高为32cm，如图水平放置，盛有水深为12cm．
（1）求玻璃容器的体积；
（2）将一根长度为40cm的搅棒l置入玻璃容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】不会
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设z=m+ni（m,n∈R），
z-|z|=-1-3i,
则m+ni-，
故，解得，
故z=4-3i；
（2）z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，
则=4+3i也为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，
故，解得b=-8，c=25，
故bc=-200．
16.【答案】解：底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱．
（1）由题意可知，圆锥的高为，
所以，圆锥的表面积为S=π×22+π×2×4=12π，体积为．
（2）设圆柱半径为r，则，所以r=1，
所以圆柱的表面积为．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（a，c-2b），=（cosC，cosA），
且．
所以acosC+（c-2b）cosA=0，
利用正弦定理整理得：sinAcosC+sinCcosA-2sinBcosA=0，
所以sin（A+C）-2sinBcosA=0，
即sinB-2sinBcosA=0，由于sinB≠0，
故cosA=，
由于0＜A＜π，所以A=．
（2）由于△ABC的面积为，
所以，整理得bc=4．
利用余弦定理a2=c2+b2-2bccosA，解得a=，
所以周长l=a+b+c=5+．
18.【答案】证明：取AP中点为E，连接EM，EB，
在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，
所以，
在△PAD中，M为PD的中点，E为AP中点，
所以，
所以BN∥ME，BN=ME，
所以四边形BNME为平行四边形，
所以MN∥BE，MN 面PAB，BE 平面PAB，
所以MN∥平面PAB ，
理由：连接AN，BD，相交于O，连接OM，
因为PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN=OM，PB 平面PBD，
所以PB∥OM，，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点
19.【答案】解：（1）由题意可知，下底面面积为，
上底面的面积=，又台体的高为32cm，
所以正六棱台的体积
（2）设搅棒在GG1上的点为M，则EM=40cm，搅棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，
∵EABGCD-E1A1B1G1C1D1为正六棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，
∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面EE1G1G的平面图，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：，
∴，，，
根据正弦定理得：，∴，
∴，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=，
∴．
∴搅棒l没入水中部分的长度为20cm．
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