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2025-2026学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=（1-2i）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，为平面内一组基底，，，，若A，C，D三点共线，则a的值为（　　）
A. -2 B. -5 C. 2 D. 5
3.已知向量，满足||=1，||=，|-2|=3，则 =（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.在三角形ABC中，a=2，，，则A=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
5.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（　　）
A.
B. 4
C.
D.
6.已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为（　　）
A.
B. 150m
C.
D.
8.小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（　　）
A. ，63π
B. ，63π
C. ，36π
D. ，36π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A. z的虚部为-1 B. |z|=
C. z2为纯虚数 D. z的共轭复数为-1-i
10.已知向量，则（　　）
A. 若与垂直，则 B. 若∥，则的值为5
C. 若m=2，则 D. 若m=-2，则与的夹角为60°
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
D. 若b=2，，这样的三角形有两解，则a的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a∈R，i是虚数单位，若，，则a= .
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
14.已知梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=3，，DC=1，若，，λ∈[0，1]，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，，E为线段AD的中点，且，x,y为实数，记.
（1）请用和表示；
（2）求2x+6y.
16.(本小题15分)
设复数z=（m2-4m-5）+（m2+5m+4）i,m为实数.
（1）当m为何值时，z是纯虚数；
（2）若m=-2，求|z|的值；
（3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3．
（Ⅰ）求正三棱锥P-ABC的表面积；
（Ⅱ）求正三棱锥P-ABC的体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，已知asinA=csinC+（b-c）sinB.
（1）求角A；
（2）若a=7，c=5，求△ABC的面积.
19.(本小题17分)
已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，已知a=1且acosB-bcos2A=c.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，求b+c的值；
（3）求△ABC周长的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】±1
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】；
2．
16.【答案】解：（1）若z是纯虚数，则，解得m=5，
所以当m=5时，z是纯虚数．
（2）若m=-2，则z=7-2i,
所以．
（3）因为复数，对应的点为（（m2-4m-5），-（m2+5m+4）），
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，解得-1＜m＜5，
故实数m的取值范围为（-1，5）．
17.【答案】解：（Ⅰ）取BC的中点D，连接PD，
在Rt△PBD中，可得PD=．
∴．
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥P-ABC的侧面积是．
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，
∴．
则正三棱锥P-ABC的表面积为；
（Ⅱ）连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC．
且OD=．
在Rt△POD中，PO=．
∴正三棱锥P-ABC的体积为．
18.【答案】；
．
19.【答案】解：（1）∵acosB-bcos2A=c,∴sinAcosB-sinBcos2A=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴-sinBcos2A=cosAsinB，又sinB≠0，∴-cos2A=cosA，即2cos2A+cosA-1=0，
解得cosA=或cosA=-1（舍），∴A=；
（2）由（1）可知sinA=，又S△ABC=bcsinA=，∴bc=1，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc=1，
∴（b+c）2=4，b+c=2；
（3）由正弦定理可得=，
∴b=sinB，c=sinC，
∴a+b+c=（sinB+sinC）+1=（sinB+sin（-B））+1
=（sinB+cosB+sinB）+1=（sinB+cosB）+1
=2sin（B+）+1，∵B∈（0，），∴B+∈（，），sin（B+）∈（，1]，
∴a+b+c∈（2，3]．
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