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2025-2026学年上海市浦东新区文建中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.如果ab＞0，那么“a＞b”是“＜”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.根据组合数的性质可知，=（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数y=f（x）（a＜x＜b）的导函数是y=f'（x）（a＜x＜b），导函数y=f'（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）在（a,b）内有（　　）
A. 3个驻点 B. 4个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点
4.函数的凹凸性是函数的重要性质之一.函数凹凸性的定义：函数y=f（x）在区间（a,b）内可导，x0是（a,b）内任一点.若曲线弧上点（x0，f（x0））处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在（a,b）内是凹的；若曲线弧上点（x0，f（x0））处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在（a,b）内是凸的.函数f（x）在区间上为凹（凸）函数等价于f（x）的导函数在区间上单调递增（递减）.若f（x）=mex-x3+1在定义域内是凹函数，则m的最小值是（　　）
A. -6e B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.设全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，2，3}，则= .
6.若，则n= ______．
7.不等式|x-1|＜2的解集为______．
8.某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有 种.
9.满足等式的正整数n的值为 .
10.已知a+2b=4，则3a+9b的最小值为 .
11.曲线在点（3，3）处的切线的斜率为 .
12.若，则f′（2）= .
13.已知|x+1|+|x-2|=3，则实数x的取值范围为 .
14.用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为 .
15.已知函数f（x）=x3+x-sinx,则关于t的不等式f（t2-t）+f（-t）＜f（0）的解集为 .
16.已知函数，若对任意x1，x2∈[a,+∞），都有成立，则实数a的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知不等式的解集为A，不等式ax2+ax-6＜0的解集为B.
（1）若a=1，求A∩B；
（2）若对任意实数x,不等式ax2+ax-6＜0均成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题10分)
某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单.
（1）若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？
（2）若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？
（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？
19.(本小题10分)
在二项式的展开式中：
（1）求各二项式系数的和；
（2）求含x2的项的系数.
20.(本小题12分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2（a,b∈R），当x=1时，f（x）有极小值0.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3，1]上的最值.
21.(本小题12分)
已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率 k恒成立，求实数a的最小值．
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m-1的图象与y=f（1+x2）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】{0，1}
6.【答案】8
7.【答案】（-1，3）
8.【答案】9
9.【答案】4
10.【答案】18
11.【答案】-1
12.【答案】12
13.【答案】[-1，2]
14.【答案】
15.【答案】（0，2）
16.【答案】2
17.【答案】A∩B={x|-1＜x＜2} （-24，0]
18.【答案】720 3600 72
19.【答案】解：（1）二项式系数的和25=32．
（2）根据二项式的展开式（r=0，1，2，3，4，5），
当r=2时，含x2的项的系数为．
20.【答案】a=0，b=-3 最大值为4，最小值为-16
21.【答案】解：（I），．
因为a＞0由F′（x）＞0 x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0 x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（Ⅱ）由题意可知对任意0＜x0≤3恒成立，
即有对任意0＜x0≤3恒成立，即，
令，
则，即实数a的最小值为．
（III）若y=g（）+m-1═的图象与y=f（1+x2）=ln（x2+1）的图象恰有四个不同交点，
即有四个不同的根，
亦即有四个不同的根．
令，
则．
当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表：
由表格知：．
又因为可知，当时，
方程有四个不同的解．
∴的图象与
y=f（1+x2）=ln（x2+1）的图象恰有四个不同的交点．
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