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2025-2026学年浙江省七校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则x的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
2.设f（x）=x2sinx,则=（　　）
A. π B. -π C. π2 D. -π2
3.设圆C：x2+y2+2x+2ay+1=0（a∈R），直线l：x-y+1=0，直线l与圆C相交所得到的弦长为2，则圆C的半径为（　　）
A. 3 B. 2 C. D.
4.在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科.现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.设e为自然底数，，若f（x）有4个零点，则正数a取值范围为（　　）
A. （ln3，+∞） B. （0，2e） C. （3，2e） D. （ln3，e）
6.有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（　　）
A. 168种 B. 200种 C. 96种 D. 240种
7.已知P是抛物线C：y2=4x上的一个动点，Q是圆D：（x-6）2+y2=1上的一个动点，R（1，0），则|PQ|+|PR|长度的最小值为（　　）
A. 6 B. 5 C. D.
8.已知正项等比数列{an}满足，且a1＞a10，记，若Sk+1＞Sk且Sk+1＞Sk+2，则k=（　　）
A. 15 B. 9 C. 8 D. 7
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若、分别为随机事件A、B的对立事件，且P（A）P（B）≠0，则下列结论正确的是（　　）
A. P（A|A）=1 B.
C. 若P（B|A）=P（A），则A，B独立 D.
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且满足：a3+a7=22，S8=80，b2=a4，b3=a13，则下列结论正确的是（　　）
A. 等差数列{an}的通项公式为an=2n+1
B. 等比数列{bn}的公比
C. 若，则数列{dn}的前n项和
D. 若cn=anbn，则数列{cn}的前10项和
11.三支不同的折线y=ai |x-1|（ai＞0，i=1，2，3）交椭圆于点Ai，Bi（i=1，2，3），F为椭圆的右焦点，记△AiFBi的面积为Si，下列说法正确的是（　　）
A. 为定值 B. A1B1∥A2B2∥A3B3
C. 若S1+S2=2S3，则a1+a2=2a3 D. Si的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为______．
13.已知在（0，+∞）上递减，a的取值范围为 .
14.在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立.第一门大炮射击的命中率为0.4.第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6.根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6.则弹药库被摧毁的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB1=2，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.
（1）求证：A1F⊥C1E；
（2）当三棱锥B1-BEF的体积取得最大值时，求直线C1E与平面B1EF所成角的正弦值.
16.(本小题15分)
某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券.已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖.
（1）求该顾客获得优惠券金额X的分布列及数学期望；
（2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=xex-alnx-ax+a.
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）存在极小值0，求实数a的值.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2-y2=a2（a＞0），过右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B.当AB⊥x轴时，|AB|=4.
（1）求a的值；
（2）设AB中点为M（xM，yM），△OAB的外心为N（xN，yN）.
（i）若，求直线l的斜率；
（ii）若M，N均在第二象限，求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知数列{an}满足.
（1）求证：为等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设，
（i）记，证明：Sn＜1；
（ii）若恒成立，求λ的取值范围.（e为自然底数，2.718＜e＜2.719）
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】15
13.【答案】
14.【答案】0.3
15.【答案】证明：以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设AE=BF=m（0≤m≤2），
则A1（0，2，2），F（m，0，0），C1（2，0，2），E（0，2-m，0），
所以，
又∵，
∴A1F⊥C1E
16.【答案】X的分布列为
X 0 5 20
P

17.【答案】y=2（e-1）x+2-e a=e2
18.【答案】a=2 （i）；（ii）
19.【答案】证明：证明：由，则，
则，故，
又，故数列是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
即，故 （i）证明：由，
则；（ii）
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