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绝密★启用前
2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题A卷）
难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，反比例函数（k为常数，k≠0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形OAMB的面积为5．则k的值为（　　）
A．5 B．4 C．2.5 D．2
3．（4分）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0，n为正整数），若n为偶数，且方程有两个实数根，则（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．ab＜0
4．（4分）某地去年月平均气温如图1，该地某家庭去年每个月的用电量如图2，根据统计图表信息判断，下列对该家庭去年用电量的说法正确的是（　　）
A．月平均气温最低的月份用电量最少
B．月平均气温最高的月份用电量最大
C．1﹣8月的用电量随着平均气温的升高而增加
D．8﹣12月的用电量随着平均气温的降低而减少
5．（4分）如图，AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB与点E，交AC与点F，BD交AC与点S，已知AF＝5，，则CS的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．
6．（4分）如图，已知△ABC≌△EDC，点B、C、E在同一条直线上，若CD＝2，CE＝3，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　 　 ．
8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解．
9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ．
10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ．
11．（4分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则AB的长为　 　 ．
12．（4分）若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　 　 ．
13．（4分）与单位向量方向相反，且长度是3的向量可以表示为 　 　 ．
14．（4分）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，其中标有数字1，4的卡片在甲手中，标有数字2，3的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则两张卡片上的数字都是偶数的概率是　 　 ．
15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（4，0），且经过点C（0，4），P为直线BC上方抛物线上的一点，当∠PCB＝105°时，点P的横坐标为 　 　 ．
17．（4分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，公共弦AB＝8，AB既是⊙O1内接正方形的一边，也是⊙O2内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于 　 　 ．
18．（4分）如图，E是正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，连接DE，过点A作DE的垂线，垂足为G，连接CG，若DG＝9，GE＝4，则CG的长为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作∠CDB，使得点D在边AB上，且∠CDB＝2∠A；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，若AB＝18，BC＝6时，求cos∠CDB的值．
22．（12分）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 15 40
增加的电量y（%） 0 20 30 80
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为　 　 ；②∠AEB的度数为　 　 ；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE＝90°，连接BE，若AD＝2，BD＝4，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，请解决以下问题：
湖滨中学规划了一块如图3所示的四边形行政楼ABDC．连接AD，将行政楼分成两部分，且CB、AD交于点E，经测量：∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BDC＝45°．若CD＝4，CE：BE＝1：3，则四边形ABDC的面积为　 　 ．
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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学校:___________姓名：________班级：
________
考号：
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2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题A卷）
难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，反比例函数（k为常数，k≠0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形OAMB的面积为5．则k的值为（　　）
A．5 B．4 C．2.5 D．2
3．（4分）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0，n为正整数），若n为偶数，且方程有两个实数根，则（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．ab＜0
4．（4分）某地去年月平均气温如图1，该地某家庭去年每个月的用电量如图2，根据统计图表信息判断，下列对该家庭去年用电量的说法正确的是（　　）
A．月平均气温最低的月份用电量最少
B．月平均气温最高的月份用电量最大
C．1﹣8月的用电量随着平均气温的升高而增加
D．8﹣12月的用电量随着平均气温的降低而减少
5．（4分）如图，AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB与点E，交AC与点F，BD交AC与点S，已知AF＝5，，则CS的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．
6．（4分）如图，已知△ABC≌△EDC，点B、C、E在同一条直线上，若CD＝2，CE＝3，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　 　 ．
8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解．
9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ．
10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ．
11．（4分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则AB的长为　 　 ．
12．（4分）若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　 　 ．
13．（4分）与单位向量方向相反，且长度是3的向量可以表示为 　 　 ．
14．（4分）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，其中标有数字1，4的卡片在甲手中，标有数字2，3的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则两张卡片上的数字都是偶数的概率是　 　 ．
15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（4，0），且经过点C（0，4），P为直线BC上方抛物线上的一点，当∠PCB＝105°时，点P的横坐标为 　 　 ．
17．（4分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，公共弦AB＝8，AB既是⊙O1内接正方形的一边，也是⊙O2内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于 　 　 ．
18．（4分）如图，E是正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，连接DE，过点A作DE的垂线，垂足为G，连接CG，若DG＝9，GE＝4，则CG的长为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作∠CDB，使得点D在边AB上，且∠CDB＝2∠A；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，若AB＝18，BC＝6时，求cos∠CDB的值．
22．（12分）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 15 40
增加的电量y（%） 0 20 30 80
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为　 　 ；②∠AEB的度数为　 　 ；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE＝90°，连接BE，若AD＝2，BD＝4，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，请解决以下问题：
湖滨中学规划了一块如图3所示的四边形行政楼ABDC．连接AD，将行政楼分成两部分，且CB、AD交于点E，经测量：∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BDC＝45°．若CD＝4，CE：BE＝1：3，则四边形ABDC的面积为　 　 ．
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)2026年上海市中考数学试卷
（新考纲押题A卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
B
A
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C
A
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C
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备用图
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图2
图32026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题A卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
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22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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B
A
C
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图32026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题A卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A D B B C
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
2．（4分）如图，反比例函数（k为常数，k≠0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形OAMB的面积为5．则k的值为（　　）
A．5 B．4 C．2.5 D．2
【答案】A
【分析】过点M作x轴、y轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形OAMB的面积等于正方形面积，进而求出k．
【解答】解：如图，过点M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，
设M（m，m），则MC＝MD＝m，四边形OCMD为正方形，
∴k＝m m＝m2，
由条件可知∠DMB+∠BMC＝∠BMC+∠CMA＝90°，
∴∠DMB＝∠CMA，
在△MDB 和△MCA 中，
，
∴△MDB≌△MCA（ASA），
∴DB＝CA，
∴OA+OB＝（OC+CA）+（OD﹣DB）＝OC+OD＝2m，
∴，
由条件可知m2＝5，
∵反比例函数的图象在第一三象限，
∴k＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的解答问题，熟练掌握该知识点是关键．
3．（4分）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0，n为正整数），若n为偶数，且方程有两个实数根，则（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．ab＜0
【答案】D
【分析】根据题意，对原方程变形为，结合n为正整数、偶数，得到xn≥0，从而得到结果．
【解答】解：∵axn+b＝0，
∴，
∵n是偶数，且方程有两个实数根，
∴xn≥0，
∴，
∴，
∵a≠0，b≠0，
∴ab＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了解方程，对方程的根的情况进行正确分析是解题的关键．
4．（4分）某地去年月平均气温如图1，该地某家庭去年每个月的用电量如图2，根据统计图表信息判断，下列对该家庭去年用电量的说法正确的是（　　）
A．月平均气温最低的月份用电量最少
B．月平均气温最高的月份用电量最大
C．1﹣8月的用电量随着平均气温的升高而增加
D．8﹣12月的用电量随着平均气温的降低而减少
【答案】B
【分析】由每月的平均气温统计图和月用电量统计图直接回答即可．
【解答】解：由统计图可知：
月平均气温最低的月份是1月份，5月份用电量最少，故选项A说法错误，不符合题意；
月平均气温最高的月份是8月份，8月份用电量最大，故选项B说法正确，符合题意；
1﹣5月的用电量随着平均气温的升高而降低，故选项C说法错误，不符合题意；
9﹣12月的用电量随着平均气温的降低而增加，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
5．（4分）如图，AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB与点E，交AC与点F，BD交AC与点S，已知AF＝5，，则CS的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．
【答案】B
【分析】连接BC，AD，由圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，因此cos∠BAC，求出AE＝4，由勾股定理求出EF＝3，由等角对等边得到DF＝AF＝5，求出DE＝8，由余角的性质推出∠FDS＝∠FSD，得到FS＝FD＝5，判定△DAE∽△BDE，推出DE：BE＝AE：DE，求出BE＝16，得到AB＝20，由cos∠BAC，求出AC＝16，即可求出CS的长．
【解答】解：连接BC，AD，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴cos∠BAC，
∴AE＝4，
∴EF3，
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABD＝∠DAF，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADF+∠BDE＝90°，∠ACB＝90°，
∵∠ABD+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∴DF＝AF＝5，
∴DE＝DF+EF＝8，
∵∠FDS+∠ADF＝∠FSD+∠DAF＝90°，
∴∠FDS＝∠FSD，
∴FS＝FD＝5，
∴AS＝2AF＝10，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠DEB＝90°，
∴△DAE∽△BDE，
∴DE：BE＝AE：DE，
∴8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝AE+EB＝20，
∵∠ACB＝90°，
∴cos∠BAC，
∴AC＝16，
∴CS＝AC﹣AS＝16﹣10＝6．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，关键是由等角对等边推出DF＝AF，FS＝FD，判定△DAE∽△BDE，推出DE：BE＝AE：DE，由锐角的余弦定义求出AC的长．
6．（4分）如图，已知△ABC≌△EDC，点B、C、E在同一条直线上，若CD＝2，CE＝3，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质推出BC＝DC＝2，即可求出BE的长．
【解答】解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC＝DC＝2，
∵CE＝3，
∴BE＝BC+CE＝5．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　2（a+3）（a﹣3）．　 ．
【答案】2（a+3）（a﹣3）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2a2﹣2×9
＝2（a2﹣9）
＝2（a2﹣32）
＝2（a+3）（a﹣3），
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（4分）关于x的方程，当k　＜1　 时，方程无实数解．
【答案】＜1．
【分析】依据题意，由1k，可得k﹣1，又当k﹣1＜0时，与0矛盾，故可判断得解．
【解答】解：由题意，∵1k，
∴k﹣1．
∴当k﹣1＜0时，与0矛盾．
∴当k＜1时，方程1k无实数解．
故答案为：＜1．
【点评】本题主要考查了无理方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ．
【答案】5．
【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解．
【解答】解：由题意Δ＝0，
∴36﹣4（2m﹣1）＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　2abπb2 ．
【答案】2abπb2．
【分析】能射进阳光部分的面积＝长方形的面积﹣半径为b的半圆的面积．
【解答】解：由题意可知，能射进阳光部分的面积是2abπb2，
故答案为：2abπb2．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应变形为一个规则图形的面积．
11．（4分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则AB的长为　10　 ．
【答案】10．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，再利用勾股定理，即可求出AB的长．
【解答】解：当x＝0时，y0+8＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
∴OB＝8；
当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0），
∴OA＝6．
∴AB10，
∴AB的长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
12．（4分）若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　108°　 ．
【答案】108°．
【分析】本题可通过设适当的参数，根据已知条件及等腰三角形的性质与三角形内角和定理建立方程求解．
【解答】解：由题意，设底角为x°；
根据三角形内角和定理知，x+x+2x+36＝180，解得x＝36，
因此这个等腰三角形顶角的度数是36°×2+36°＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和列出方程求解是正确解答本题的关键．
13．（4分）与单位向量方向相反，且长度是3的向量可以表示为 　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．
【解答】解：∵向量为单位向量，向量与单位向量的方向相反，且长度为3，
∴3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
14．（4分）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，其中标有数字1，4的卡片在甲手中，标有数字2，3的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则两张卡片上的数字都是偶数的概率是　　 ．
【答案】．
【分析】先画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
一共有4种等可能的情况，其中两张卡片上的数字都是偶数的结果有1种．
∴两张卡片上的数字都是偶数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查列表或树状图求概率，解题的关键是读懂题意，能用列表或树状图求出所有可能的情况．
15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　864　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
【答案】864．
【分析】根据列式解答即可．
【解答】解：食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐为：800864（份），
故答案为：864．
【点评】本题考查了统计表，从统计表得出相关信息是解答本题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（4，0），且经过点C（0，4），P为直线BC上方抛物线上的一点，当∠PCB＝105°时，点P的横坐标为 　6　 ．
【答案】6．
【分析】由tan∠OBC，则直线PC和水平线的夹角为105°+30°﹣90°＝45°，则直线PC的表达式为：y＝x+4，即可求解．
【解答】解：由题意得，y＝a（x﹣2）（x﹣4）＝a（x2﹣6x+8），
则8a＝4，则a，
则抛物线的表达式为：y（x2﹣6x+8），
则tan∠OBC，
则∠OBC＝60°，∠OCB＝30°，
∵∠PCB＝105°，
则直线PC和水平线的夹角为105°+30°﹣90°＝45°，
则直线PC的表达式为：y＝x+4，
联立上式和抛物线的表达式得：x+4（x2﹣6x+8），
解得：x＝0（舍去）或6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，用求出∠PCO的度数是解题的关键．
17．（4分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，公共弦AB＝8，AB既是⊙O1内接正方形的一边，也是⊙O2内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于 　4或4　 ．
【答案】4或4．
【分析】分两种情形：当O，O′在公共弦两侧时，当O，O′在公共弦同侧时，分别求解．
【解答】解：当O，O′在公共弦两侧时，连接AO，BO，AO′，BO′，OO′交AB于点C，
由相交圆的性质可知，AB⊥OO′，且ACAB＝4，
在⊙O中，AB是内接三角形的一边，则∠AOC＝60°，
故tan60°，则，
解得：CO，
在⊙O′中，AB是内接正方形的一边，则∠AO′C＝45°，
故AC＝CO′＝4，
则OO′＝OC+O′C＝4，
当O，O′在公共弦同侧时，同法可得OO′＝4．
故答案为：4或4．
【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及锐角三角函数关系，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．
18．（4分）如图，E是正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，连接DE，过点A作DE的垂线，垂足为G，连接CG，若DG＝9，GE＝4，则CG的长为 　　 ．
【答案】．
【分析】过点C作CH⊥DE，交DE延长线于点H，延长CH交BE于点F，则DE＝13，证明△AGD和△DHC全等得DG＝CH＝9，证明△CDE和△BCF全等得CF＝DE＝13，则HF＝4，再证明△CHE和△EHF相似得EH＝6，然后在Rt△CGH中，根据GH＝10，CH＝9，由勾股定理即可得出CG的长．
【解答】解：过点C作CH⊥DE，交DE延长线于点H，延长CH交BE于点F，如图所示：
∵DG＝9，GE＝4，
∴DE＝DG+GE＝13，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC，
∵AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
又∴∠CDH+∠2＝90°，
∴∠1＝∠CDH，
∵CH⊥DE，
∴∠AGD＝∠DHC＝90°，
在△AGD和△DHC中，
，
∴△AGD≌△DHC（AAS），
∴DG＝CH＝9，
∵∠BEC＝90°，
∴∠3+∠BCE＝90°，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠3，
又∵∠CDE+∠DCH＝90°，∠BCF+∠DCH＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF，
在△CDE和△BCF中，
，
∴△CDE≌△BCF（ASA），
∴CF＝DE＝13，
∴HF＝CF﹣CH＝13﹣6＝4，
∵∠EHF＝∠CHE＝∠CEF＝90°，
∴∠HCE+∠HEC＝90°，∠HEF+∠HEC＝90°，
∴∠HCE＝∠HEF，
∴△CHE∽△EHF，
∴，
∴EH2＝CH EH＝9×4＝36，
∴EH＝6，
在Rt△CGH中，GH＝GE+EH＝10，CH＝9，
由勾股定理得：CG．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是已解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解决问题的难点．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）计算：．
【答案】3．
【分析】先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和去绝对值，接着计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
【解答】解：原式
＝3．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（10分）解方程组：．
【答案】或或或．
【分析】把第一个方程化为x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，第二个方程化为3x+y＝0或3x﹣y＝0，把这个方程组转化为几个二元一次方程组，解这些方程组即可求得原方程组的解．
【解答】解：由题意，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，
又∵9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y）＝0，
∴3x+y＝0或3x﹣y＝0，
∴或或或，
∴或或或．
【点评】本题主要考查了高次方程的解法，解题时要能根据题意进行化简是关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作∠CDB，使得点D在边AB上，且∠CDB＝2∠A；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，若AB＝18，BC＝6时，求cos∠CDB的值．
【答案】（1）如图，∠CDB即为所求；
（2）cos∠CDB．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求；
（2）利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出CH，利用勾股定理求出DH可得结论．
【解答】解：（1）如图，∠CDB即为所求；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H．
由作图可知AD﹣DB＝CDAB＝9，
∵∠ACB＝90°，AB＝18，BC＝6，
∴AC12，
∵ AB CH AC BC，
∴CH4，
∴DH7，
∴cos∠CDB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．（12分）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 15 40
增加的电量y（%） 0 20 30 80
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】（1）y＝2t，es+100；
（2）25分钟．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出行驶300千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电t分钟后增加的电量，从而计算出充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量﹣到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量＝消耗的电量”列方程，求出t的值即可．
【解答】解：（1）设y关于t的函数表达式为y＝k1t（k1为常数，且k1≠0），
将t＝10，y＝20代入y＝k1t，
得10k1＝20，
解得k1＝2，
∴y关于t的函数表达式为y＝2t．
设e关于s的函数表达式为e＝k2s+b（k2、b为常数，且k2≠0），
将s＝160，e＝60和s＝200，e＝50分别代入e＝k2s+b，
得，
解得，
∴e关于s的函数表达式为es+100．
（2）当s＝300时，e300+100＝25，
∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25，
充电t分钟后，增加的电量为y＝2t，
∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为（25+2t），
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为（560﹣300）+100＝35，
∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100﹣35＝65，
∴25+2t﹣10＝65，
∴t＝25．
答：电动汽车在服务区充电25分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
【答案】（1）连接OC，则OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB交BC的延长线于点E，
∴∠EDB＝90°，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠E，
∴∠OCB+∠FCE＝∠B+∠E＝90°，
∴∠OCF＝180°﹣（∠OCB+∠FCE）＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）BC的长是．
【分析】（1）连接OC，则OC＝OB，所以∠OCB＝∠B，由DE⊥AB交BC的延长线于点E，得∠EDB＝90°，由CF＝EF，得∠FCE＝∠E，则∠OCB+∠FCE＝∠B+∠E＝90°，所以∠OCF＝90°，即可证明CF是⊙O的切线．
（2）因为AB＝DE＝8，所以OA＝OB＝4，则OD＝AD＝2，求得BD＝6，可证明△ABC∽△EBD，则，而EB10，所以BC．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB交BC的延长线于点E，
∴∠EDB＝90°，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠E，
∴∠OCB+∠FCE＝∠B+∠E＝90°，
∴∠OCF＝180°﹣（∠OCB+∠FCE）＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝DE＝8，
∴OA＝OBAB＝4，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝ADOA＝2，
∴BD＝OB+OD＝6，
∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∵EB10，
∴BC，
∴BC的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）yx2x+6；
（2）点P的坐标为（2，6）；
（3）点M的坐标为（8，0）或（，0）或（，0）或（0，0）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△PBC＝S△PBE+S△PCEPE （xB﹣xP）PE （xP﹣xC），即可求解；
（3）当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，则m+n＝3+4且n2n+6，即可求解；当BM、PN为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（4，0）、C（0，6），
则，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为yx2x+6；
（2）∵yx2x+6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵C（0，6），
∴OC＝6，
∴S△ABCAB OC6×6＝18，
如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，t2t+6），则E（t，t+6），
∴PEt2+3t，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCEPE （xB﹣xP）PE （xP﹣xC）（t2+3t）×4t2+6t，
∴S四边形ABPC＝S△PBC+S△ABCt2+6t+18（t﹣2）2+24，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S四边形ABPC有最大值，最大值为24．
此时，点P的坐标为（2，6）；
（3）由抛物线的表达式知，P（3，），B（4，0），
∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，
∴设M（m，0），N（n，n2n+6），
当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，
则m+n＝3+4且n2n+6，
解得：m＝8，
∴M（8，0）；
当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合，
则m+4＝n+3且n2n+60，
解得：m，
∴M（，0）或（，0），
当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合，
同理可得：M（0，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（，0）或（，0）或（0，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，平行四边形性质等，熟练掌握二次函数性质，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
25．（14分）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE ；②∠AEB的度数为　60°　 ；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE＝90°，连接BE，若AD＝2，BD＝4，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，请解决以下问题：
湖滨中学规划了一块如图3所示的四边形行政楼ABDC．连接AD，将行政楼分成两部分，且CB、AD交于点E，经测量：∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BDC＝45°．若CD＝4，CE：BE＝1：3，则四边形ABDC的面积为　32　 ．
【答案】（1）①AD＝BE；
②60°；
（2）4；
（3）32．
【分析】（1）①由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE；
②由①得∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）先证明△ACD≌△BCE，得BD＝CE＝2，∠A＝∠CBA＝45°，可得∠DBE＝90°，进一步可得结论；
（3）如图，作等腰直角三角形DBK，连接AK，则∠DBK＝90°＝∠ABC，BD＝BK，∠BKD＝∠BDK＝45°，证明C在DK上，证明△ABK≌△CBD，可得AK＝CD，∠AKB＝∠CDB＝45°，再进一步可得答案．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠DEC＝60°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
②由①知△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADC＝∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠DEC＝120°﹣60°＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE＝2，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝45°+45°＝90°，
∵BD＝4，
∴△BDE的面积为2×4＝4；
（3）如图，作等腰直角三角形DBK，连接AK，则∠DBK＝90°＝∠ABC，BD＝BK，∠BKD＝∠BDK＝45°，
∵∠CDB＝45°，
∴C在DK上，
∴∠ABC+∠CBK＝∠DBK﹣∠CBK，即∠ABK＝∠CBD，
∵AB＝BC，
∴△ABK≌△CBD（SAS），
∴AK＝CD＝4，∠AKB＝∠CDB＝45°，
∴∠AKC＝45°+45°＝90°，
∴S△ACD4×4＝8，
∵CE：BE＝1：3，
∴S△ABE＝3S△ACE，S△ADE＝3S△CDE，
∴S△ABD＝3S△ACD＝3×8＝24，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABD+S△ACD＝32，
故答案为：32．
【点评】本题属于四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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