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绝密★启用前
2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）
难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：150
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3
C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
3．（4分）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　）
A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0
4．（4分）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
5．（4分）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C． D．
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：x2y2﹣4x2＝　 　 ．
8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解．
9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ．
10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ．
11．（4分）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　 　 ．
12．（4分）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　 　 ．
13．（4分）已知向量与方向相反，且，那么　 　 （用向量表示）．
14．（4分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　 　 ．
15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
16．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是　 　 ．
17．（4分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ．
18．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值．
21．（10分）综合与实践
【回归教材】
（1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　 　 ；作这条射线的依据是　 　 （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）；
（2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　 　 ；
【问题解决】
（3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案．
22．（10分）
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F．
（1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小；
（2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由；
（3）求FB+FC的最大值．
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：________班级：
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考号：
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2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）
难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：150
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3
C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
3．（4分）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　）
A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0
4．（4分）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
5．（4分）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C． D．
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：x2y2﹣4x2＝　 　 ．
8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解．
9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ．
10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ．
11．（4分）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　 　 ．
12．（4分）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　 　 ．
13．（4分）已知向量与方向相反，且，那么　 　 （用向量表示）．
14．（4分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　 　 ．
15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
16．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是　 　 ．
17．（4分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ．
18．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值．
21．（10分）综合与实践
【回归教材】
（1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　 　 ；作这条射线的依据是　 　 （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）；
（2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　 　 ；
【问题解决】
（3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案．
22．（10分）
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F．
（1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小；
（2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由；
（3）求FB+FC的最大值．
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)2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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A
A
A
D
E
O
B
C
B
C
B
图1
图2
图3
y(电量)
C
D
100%
80%
I
60%
1
1
1
40%
I
I
I
20%
B
I
1234567
x(小时)2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D B B C A
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）·（2025春 光山县期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）·（2025秋 临淄区期末）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3
C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
【答案】D
【分析】根据交点判断即可．
【解答】解：由图可知x的取值范围是x＞3或0＜x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟练掌握该知识点是关键．
3．（4分）·（2025春 奉贤区月考）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　）
A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0
【答案】B
【分析】分别求出各方程的实数解，逐项判断即可．
【解答】解：x5+1＝0的实数根为x＝﹣1，故A不符合题意；
x4﹣1＝0的实数根为x＝±1，故B符合题意；
x3﹣1＝0的实数根为x＝1，故C不符合题意；
x2+1＝0无实数根，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查高次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握有理数乘方的法则．
4．（4分）·（2026 黄浦区二模）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
【答案】B
【分析】根据条形统计图、扇形统计图与折线统计图各自的特点求解即可．
【解答】解：A．上海市16个区的人口数适合用条形图，不符合题意；
B．张爷爷连续7天定时测得的体温适合用折线图，符合题意；
C．九（3）班36个学生的体重适合用条形图，不符合题意；
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格适合用条形图，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．而条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能反映部分与整体的关系．
5．（4分）·（2026 黄浦区二模）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C． D．
【答案】C
【分析】利用正比例函数解析式可判断直线yx经过点A，所以直线yx被圆A所截得的弦为直径，最长．
【解答】解：∵A（5，4），
∴直线yx经过点A，
∴直线yx被圆A所截得的弦最长，截得的弦为直径．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
6．（4分）·（2025秋 新疆期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
【答案】A
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）·（2025秋 沙坪坝区校级同步）因式分解：x2y2﹣4x2＝x2（y﹣2）（y+2）　 ．
【答案】x2（y﹣2）（y+2）．
【分析】先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【解答】解：由因式分解的方法可得，原式＝x2（y2﹣4）＝x2（y+2）（y﹣2），
故答案为：x2（y+2）（y﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（4分）·（2025春 崇明区期中）关于x的方程，当k　＜1　 时，方程无实数解．
【答案】＜1．
【分析】依据题意，由1k，可得k﹣1，又当k﹣1＜0时，与0矛盾，故可判断得解．
【解答】解：由题意，∵1k，
∴k﹣1．
∴当k﹣1＜0时，与0矛盾．
∴当k＜1时，方程1k无实数解．
故答案为：＜1．
【点评】本题主要考查了无理方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
9．（4分）·（2026 淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ．
【答案】5．
【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解．
【解答】解：由题意Δ＝0，
∴36﹣4（2m﹣1）＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（4分）·（2025秋 绵阳期末）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　2abπb2 ．
【答案】2abπb2．
【分析】能射进阳光部分的面积＝长方形的面积﹣半径为b的半圆的面积．
【解答】解：由题意可知，能射进阳光部分的面积是2abπb2，
故答案为：2abπb2．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应变形为一个规则图形的面积．
11．（4分）·（2026 黄浦区二模）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　10　 ．
【答案】10．
【分析】设直线yx﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，A的坐标，进而可得出OB，OA的长，再利用勾股定理，即可求出线段AB的长．
【解答】解：设直线yx﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x＝0时，y0﹣6＝﹣6，
∴点B的坐标为（0，﹣6），
∴OB＝6；
当y＝0时，x﹣6＝0，
解得：x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8，
∴AB10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出线段AB的长是解题的关键．
12．（4分）·（2024秋 宣威市校级期中）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　40°　 ．
【答案】40°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到顶角的度数是100°，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴等腰三角形的底角不可能是100°，
∴等腰三角形的顶角的度数是100°，
∴它的底角度数是（180°﹣100°）＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
13．（4分）·（2026 黄浦区二模）已知向量与方向相反，且，那么　　 （用向量表示）．
【答案】．
【分析】根据题目条件求出向量b即可．
【解答】解：∵向量与方向相反，且，那么．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，正确计算．
14．（4分）·（2026 滨江区一模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后计算出第三次传球完成时，球回到甲手中的概率即可．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有8种等可能性，其中第三次传球完成时，球回到甲手中的可能性有2种，
∴第三次传球完成时，球回到甲手中的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
15．（4分）·（2026 黄浦区二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　864　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
【答案】864．
【分析】根据列式解答即可．
【解答】解：食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐为：800864（份），
故答案为：864．
【点评】本题考查了统计表，从统计表得出相关信息是解答本题的关键．
16．（4分）·（2025春 盐城月考）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是　①④　 ．
【答案】①④．
【分析】根据二次函数的图象以及性质对各项进行分析即可．
【解答】解：①∵Δ＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
故①说法正确；
②∵在y＝x2﹣2mx﹣3中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴为x＝m，且当x≤1时y随x的增大而减小，
∴m≥1，
故②说法错误；
③∵将y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3的图象向左移动3个单位后得到的y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3的图象过原点，
∴y＝（0﹣m+3）2﹣m2﹣3＝0，
解得：m＝1，
故③说法错误；
④当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，
∴抛物线对称轴为直线，
∴x＝m＝3，
∴此时二次函数解析式为y＝x2﹣6x﹣3，
当x＝6时，得：y＝﹣3，
故④说法正确．
综上所述，正确的说法是：①④．
【点评】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题关键．
17．（4分）·（2025 奉贤区二模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　21＜r≤4　 ．
【答案】21＜r≤4．
【分析】延长FA、CB交于点R，连接AC，由正六边形的性质得AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC＝120°，所以∠BAC＝∠BCA＝30°，因为∠RAB＝∠RBA＝60°，所以∠R＝60°，∠RAC＝90°，则△ABR是等边三角形，所以AR＝BR＝AB＝2，求得CR＝4，AC＝2，当⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部，由⊙A的半径为1，⊙C的半径为r，得r+1＝2，求得r＝21；当⊙C经过点F，此时r最大，连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径，所以r＝CF＝2AF＝4，因为⊙C与⊙A相交，所以21＜r≤4，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长FA、CB交于点R，连接AC，
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC（6﹣2）×180°＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°，
∵∠RAB＝∠RBA＝180°﹣120°＝60°，
∴∠R＝60°，∠RAC＝∠RAB+∠BAC＝90°，
∴△ABR是等边三角形，
∴AR＝BR＝AB＝2，
∴CR＝BR+BC＝4，
∴AC2，
如图1，⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部，
∵G为AF的中点，
∴AGAF＝1，
∴⊙A的半径为1，
∵⊙C的半径为r，
∴r+1＝2，
∴r＝21，
如图2，⊙C经过点F，此时r最大，
连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径，
∴r＝CF＝2AF＝4，
∵⊙C与⊙A相交，
∴21＜r≤4，
故答案为：21＜r≤4．
【点评】此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理、圆与圆的位置关系等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
18．（4分）·（2026春 朝阳区校级期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　①②　 ．
【答案】①②．
【分析】①连接AB'，根据对称的性质得AB＝AB'，BE＝B'E，由此可判定△ABE和△AB'E全等则∠BAE＝∠B'AE，再证明Rt△AB'F和Rt△ADF全等得∠B'AF＝∠DAF，由此可得出∠EAF＝45°，据此即可对结论①进行判断；
②根据全等三角形性质得S△ABE＝S△AB'E，S△AB'F＝S△ADF，则S△ABE+S△ADF＝S△AEF，进而得S△AEFS△CEF，再根据S△CEF＞0得S△AEF，据此即可对结论②进行判断；
③根据BE＝1﹣a，DF＝1﹣y及全等三角形性质得BE＝B'E＝1﹣x，B'F＝DF＝1﹣y，则EF＝B'E+DF＝2﹣（x+y），在△CEF中，根据三角形三边之间关系得CE+CF＞EF，则x+y＞2﹣（x+y），进而得x+y＞1，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①连接AB'，如图所示：
∵点B关于直线AE的对称点为B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，
在△ABE和△AB'E中，
，
∴△ABE≌△AB'E（SSS），
∴∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠AB'E＝90°，
∴∠BAB'＝2∠B'AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠AB'F＝∠D＝90°，AB'＝AD，
在Rt△AB'F和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AB'F≌Rt△ADF（HL），
∴∠B'AF＝∠DAF，
∴∠B'AD＝2∠B'AF，
∵∠BAD＝∠BAB'+∠B'AD＝90°，
∴2∠B'AE+2∠B'AF＝90°，
∴∠B'AE+∠B'AF＝45°，
∴∠EAF＝∠B'AE+∠B'AF＝45°，
故结论①正确；
②∵△ABE≌△AB'E，Rt△AB'F≌Rt△ADF，
∴S△ABE＝S△AB'E，S△AB'F＝S△ADF，
∴S△ABE+S△ADF＝S△AB'E+S△AB'F＝S△AEF，
∴S△ABE+S△ADF+S△AEF+S△CEF＝S正方形ABCD，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴S正方形ABCD＝1，
∴2S△AEF+S△CEF＝1，
∴S△AEFS△CEF，
∵点E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），
∴S△CEF＞0，
∴S△CEF，
即S△AEF，
故结论②正确；
③∵正方形的边长为1，CE＝x，CF＝y，
∴BE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
∵△ABE≌△AB'E，Rt△AB'F≌Rt△ADF，
∴BE＝B'E＝1﹣x，B'F＝DF＝1﹣y，
∴EF＝B'E+DF＝2﹣（x+y），
在△CEF中，CE+CF＞EF，
∴x+y＞2﹣（x+y），
∴x+v＞1，
故结论③错误，
综上所述：正确的结论序号是①②．
故答案为：①②．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）·（2026 门头沟区一模）计算：．
【答案】．
【分析】先分别计算零指数幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数，再合并同类项．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值．
【答案】m＝7．
【分析】利用加减法求得原方程组的解，代入x﹣y＝10，解关于m的方程即可得出结论．
【解答】解：，
①+②得：4x＝6m﹣4，
∴x③，
将③代入②得：y，
∵x﹣y＝10，
∴10，
∴m＝7．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
21．（10分）·（2026 清城区模拟）综合与实践
【回归教材】
（1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　角平分线　 ；作这条射线的依据是SSS （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）；
（2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　75°　 ；
【问题解决】
（3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案．
【答案】（1）角平分线，SSS；
（2）75°；
（3）
【分析】（1）由角平分线的定义，全等三角形的判定与性质可得出结论；
（2）利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°；
（3）在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°，则∠BAP＝15°．
【解答】解：（1）如图，射线OC为∠AOB的平分线；
连接MC，NC．
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等），
即OC平分∠AOB．
故答案为：角平分线，SSS；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵三角形BEC为等边三角形，
∴BE＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°，AB＝BE，CE＝CD，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，
故答案为：75°；
（3）如图，∠BAP＝15°．
方案：作等边三角形BCE，作∠BCE的平分线CN，则∠BCN＝30°，
在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°，
则∠BAP＝15°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
22．（10分）·（2026 裕华区校级二模）
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
【答案】（1）快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；快充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）；
（2）车辆的电量不能充至100%．理由如下：
由题意得，慢充时间＝40÷60（小时），
∴快充时间＝1.5（小时）；
∴电量＝20%10%80%1．
∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法计算可以得解；
（2）依据题意得，慢充时间＝40÷60（小时），可得快充时间＝1.5（小时），从而电量＝20%10%80%1，故可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设快充为y＝kx+b（0≤x≤1），
∵图象过（0，20%），（1，100%），
∴，
∴k＝80%，b＝20%．
∴快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；
设慢充为y＝mx+n（0≤x≤8），
∵图象过（0，20%），（8，100%），
∴，
∴m＝10%，b＝20%．
∴慢充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）；
（2）车辆的电量不能充至100%．理由如下：
由题意得，慢充时间＝40÷60（小时），
∴快充时间＝1.5（小时）；
∴电量＝20%10%80%1．
∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键．
23．（12分）·（2026 东营区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵DE⊥AB，
∴∠E+∠ABC＝90°．
∵CF＝EF，
∴∠E＝∠ECF．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠ECF+∠OCB＝∠E+∠ABC＝90°，则∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）．
【分析】（1）连接OC，根据垂直得出直角，根据等边对等角以及角的和差得出∠OCF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出BE＝10，证明△ABC∽△EBD，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵DE⊥AB，
∴∠E+∠ABC＝90°．
∵CF＝EF，
∴∠E＝∠ECF．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠ECF+∠OCB＝∠E+∠ABC＝90°，则∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝DE＝8，点D是OA的中点，
∴OA＝OB＝4，OD＝AD＝2，
∴BD＝6．
∵DE＝8，DE⊥AB，由勾股定理得，
∴．
∵∠ABC＝∠EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了圆的直径定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
24．（12分）·（2026 杜尔伯特县一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC面积OB×PH，即可求解；
（3）当∠QOP为直角时，则点Q与点B重合，不符合题意；当∠OPQ为直角时，即OQ⊥BC，即可求解；当∠OPQ为直角时，证明△PNO≌△QMP（AAS），即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
由抛物线的表达式知，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B（3，0）、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点H（m，m﹣3），
则PH＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，
则△PBC面积OB×PH（﹣m2+3m），
∵0，
故函数有最大值，
此时m，
则点P（，）；
（3）当∠QOP为直角时，
则点Q与点B重合，不符合题意；
当∠OQP为直角时，
即OQ⊥BC，
则点P和点B或C重合，
故点P的坐标为：（3，0）或（0，﹣3），
当∠OPQ为直角时，
如图：设点P（x，y），点Q（m，m﹣3），
过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交过点Q和x轴的平行线于点M，
∵∠OPN+∠NOP＝90°，∠OPN+∠QPM＝90°，
∴∠OPN＝∠QPM，
∵∠PNO＝∠QMP，
∴△PNO≌△QMP（AAS），
∴ON＝PM且PN＝MQ，
即﹣x＝y+3﹣m且﹣y＝m﹣x，
解得：，
当y时，即y＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝1（不合题意的值已舍去），
即点P（1，）
如图所示，同理可求P（2，﹣3）
综上，点P的坐标为：（3，0）或（0，﹣3）或（1，）（2，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算，分类求解是解题的关键．
25．（14分）·（2026 富阳区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F．
（1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小；
（2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由；
（3）求FB+FC的最大值．
【答案】（1）∠DFA'＝30°；
（2）不变，
理由：如图，记DF交AA'于点L，
∵点A'与点A关于DE的对称，
∴DA＝DA＝DC，
∴点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上
∵∠ADC＝120°，
∴∠AA'C＝120°，
∴∠EA'F＝60°，
∵DF垂直平分AA'，
∴∠A'LF＝90°，
∴∠DFA'＝30°；
（3）BF+CF的最大值为30．
【分析】（1）易得点A'与点B重合，再证△ADB是等边三角形即可得解；
（2）易证点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上，则∠EA'F＝60°，据此得解；
（3）根据∠DFC∠DBC，可得点F的轨迹为以B为圆心，BC为半径的圆上，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD中∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，CD∥AB，∠C＝∠A＝60°，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB，
∴CD⊥DF，
∴∠DFC＝90﹣∠C＝30°，
∴∠DFA'＝30°；
（2）不变，
理由：如图，记DF交AA'于点L，
∵点A'与点A关于DE的对称，
∴DA＝DA＝DC，
∴点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上，
∵∠ADC＝120°，
∴∠AA'C＝120°，
∴∠EA'F＝60°，
∵DF垂直平分AA'，
∴∠A'LF＝90°，
∴∠DFA'＝30°；
（3）∵∠DFA'＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠DFC∠DBC，
∴点F的轨迹为以B为圆心，BC为半径的圆上，
∵AB＝BC＝10，
∴BF＝10，CF≤20，
当点E为AB中点时，CF为圆B的直径，CF取到20，
∴BF+CF的最大值为30．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、隐圆问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1
12026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
A
A
A
D
E
O
B
C
B
C
B
图1
图2
图3
y(电量)
C
D
100%
80%
I
60%
1
1
40%
I
I
I
20%
B
I
1234567
x(小时)
A
D
F
B
C
E
y不
y
A
0
B
C
AO
B
C
C
C
D
备用图2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）
试卷总分值 150
试卷难度系数 0.54 中档
试卷总体分析
题类 题量（道）
客观题 6
主观题 19
题型 题量
选择题 6
填空题 12
解答题 7
试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
较易 13 1,3,4,5,6,9,10,11,13,14,15,17,23 52%
中档 7 2,8,16,19,20,21,22 28%
易 2 7,12 8%
较难 3 18,24,25 12%
知识点分析 共计：24个知识点
知识点 题量 题号 题量占比
最简二次根式 1 1 4%
反比例函数与一次函数的交点问题 1 2 4%
高次方程 1 3 4%
折线统计图 1 4 4%
垂径定理 1 5 4%
全等三角形的性质 1 6 4%
提公因式法与公式法的综合运用 1 7 4%
无理方程 1 8 4%
根的判别式 1 9 4%
列代数式 1 10 4%
一次函数图象上点的坐标特征 1 11 4%
等腰三角形的性质 1 12 4%
*平面向量 1 13 4%
列表法与树状图法 1 14 4%
统计表 1 15 4%
抛物线与x轴的交点 1 16 4%
正多边形和圆 1 17 4%
正方形的性质 1 18 4%
实数的运算 1 19 4%
解二元一次方程组 1 20 4%
四边形综合题 2 21,25 8%
一次函数的应用 1 22 4%
切线的判定与性质 1 23 4%
二次函数综合题 1 24 4%

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