资源简介

2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题D卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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y木
B
O
C
A
A
D
E
F
B
C
F
E
H
G
A
D
B
C
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P
A
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A
B
A
B
C
B
E
图1
图2
图3绝密★启用前
2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题D卷）
难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（　　）
A．﹣2.3 B．﹣1.7 C．﹣1.3 D．1.7
2．（4分）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（4分）下列函数中，函数值y随着x增大而减小是（　　）
A．y＝﹣x2 B． C．y＝﹣x D．y＝﹣1
4．（4分）某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9．乙的成绩的平均数为9.8环，方差为0.032．据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌．下列说法中错误的是（　　）
A．甲的成绩的平均数为9.8环
B．甲的成绩的中位数是9.8环
C．甲的成绩的方差为0.02
D．应选派成绩较稳定的乙运动员参赛
5．（4分）如图所示，已知直径AB⊥CD，如果∠CDB＝30°，⊙O的半径为2，那么弦CD长是（　　）
A．4 B． C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算：6a3÷2a2＝　 　 ．
8．（4分）在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
9．（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ．
10．（4分）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围为　 　 ．
11．（4分）如图，一个正六边形ABCDEF的边长为3，连接对角线AC，BD，交于点P，则的值为　 　 ．
12．（4分）2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是　 　 ．
13．（4分）如图是有关某班40名学生一次数学测验分数的条形统计图，根据统计图所提供的信息，本次数学测验的优良率（80分及以上为优良）为 　 　 %．
14．（4分）蔓越莓扎根东极抚远，是龙江农业专家的“团宠”，他们研发并集成配套多个先进技术，有力推动了抚远蔓越莓集约化高效种植，2024年蔓越莓鲜果产量达3000吨．产值突破7800万元，7800万元用科学记数法表示为　 　 元．
15．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE和AC交于点F，设．用向量表示向量，即　 　 ．
16．（4分）如图，在 ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝12，则GE的长为　 　 ．
17．（4分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“镜像”函数．如图所示，某数学兴趣小组画出了“镜像”函数G：y＝|x2﹣x﹣6|的图象，则当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是　 　 ．
18．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足条件　 　 时，⊙P与直线CD相交．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，请根据图象直接写出n的取值范围．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E为AB的中点，连接EC交BD于点F，BC＝2BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若cos∠ABD，AB＝6，求BF的长．
23．（12分）威利斯开利（WillisHavilandCarrier）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求：
名称 ××品牌空调
安装 出风最小角：∠EFG＝133°，出风最大角：∠EFH＝154°．
示意图
技术参数 空调尺寸：795×200×273（宽×深×高，单位：mm）
安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部EF需与墙面垂直； （3）冷风不得直吹床铺．
小丽家房屋室内层高为2.8m，房间内的床长200cm，高50cm，空调安装在床头墙面．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）求空调安装的最低高度EC．（结果精确到1cm）
（2）为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由．
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
25．（14分）解决下列问题：
问题探究
（1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　 　 ；
（2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数；
问题解决：
（3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号）
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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学校:___________姓名：________班级：
________
考号：
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第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题D卷）答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
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23.答：
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图1
图2
图3绝密★启用前
2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题D卷）
难度系数：0.53；考试时间：100分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（　　）
A．﹣2.3 B．﹣1.7 C．﹣1.3 D．1.7
2．（4分）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（4分）下列函数中，函数值y随着x增大而减小是（　　）
A．y＝﹣x2 B． C．y＝﹣x D．y＝﹣1
4．（4分）某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9．乙的成绩的平均数为9.8环，方差为0.032．据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌．下列说法中错误的是（　　）
A．甲的成绩的平均数为9.8环
B．甲的成绩的中位数是9.8环
C．甲的成绩的方差为0.02
D．应选派成绩较稳定的乙运动员参赛
5．（4分）如图所示，已知直径AB⊥CD，如果∠CDB＝30°，⊙O的半径为2，那么弦CD长是（　　）
A．4 B． C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算：6a3÷2a2＝　 　 ．
8．（4分）在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
9．（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ．
10．（4分）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围为　 　 ．
11．（4分）如图，一个正六边形ABCDEF的边长为3，连接对角线AC，BD，交于点P，则的值为　 　 ．
12．（4分）2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是　 　 ．
13．（4分）如图是有关某班40名学生一次数学测验分数的条形统计图，根据统计图所提供的信息，本次数学测验的优良率（80分及以上为优良）为 　 　 %．
14．（4分）蔓越莓扎根东极抚远，是龙江农业专家的“团宠”，他们研发并集成配套多个先进技术，有力推动了抚远蔓越莓集约化高效种植，2024年蔓越莓鲜果产量达3000吨．产值突破7800万元，7800万元用科学记数法表示为　 　 元．
15．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE和AC交于点F，设．用向量表示向量，即　 　 ．
16．（4分）如图，在 ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝12，则GE的长为　 　 ．
17．（4分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“镜像”函数．如图所示，某数学兴趣小组画出了“镜像”函数G：y＝|x2﹣x﹣6|的图象，则当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是　 　 ．
18．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足条件　 　 时，⊙P与直线CD相交．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，请根据图象直接写出n的取值范围．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E为AB的中点，连接EC交BD于点F，BC＝2BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若cos∠ABD，AB＝6，求BF的长．
23．（12分）威利斯开利（WillisHavilandCarrier）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求：
名称 ××品牌空调
安装 出风最小角：∠EFG＝133°，出风最大角：∠EFH＝154°．
示意图
技术参数 空调尺寸：795×200×273（宽×深×高，单位：mm）
安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部EF需与墙面垂直； （3）冷风不得直吹床铺．
小丽家房屋室内层高为2.8m，房间内的床长200cm，高50cm，空调安装在床头墙面．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）求空调安装的最低高度EC．（结果精确到1cm）
（2）为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由．
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
25．（14分）解决下列问题：
问题探究
（1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　 　 ；
（2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数；
问题解决：
（3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号）
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参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B C D C B
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（　　）
A．﹣2.3 B．﹣1.7 C．﹣1.3 D．1.7
【答案】B
【分析】根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：﹣2＜x＜﹣1，且|x|更接近|﹣2|＝2，解答即可．
【解答】解：根据数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用逐项分析判断排除可得：
设覆盖的数为x，由数轴可得﹣2＜x＜﹣1，且|x|更接近|﹣2|＝2，
故A，D不符合题意，
又∵|﹣1.7|＝1.7，|﹣1.3|＝1.3，且2﹣1.3＞2﹣1.7，
故|﹣1.7|＝1.7更接近|﹣2|＝2，选项C不符合题意，
只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键．
2．（4分）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】同类二次根式需化简后根号内被开方数相同，分别化简各选项二次根式即可判断．
【解答】解：对于A：∵，被开方数为3，与的被开方数2不同，
∴不是同类二次根式，不符合题意．
对于B：∵，被开方数为2，与的被开方数相同，
∴是同类二次根式，符合题意．
对于C：∵，化简后不再是二次根式，是二次根式，
∴不是同类二次根式，不符合题意．
对于D：∵和的被开方数分别为a﹣1和a+1，被开方数不同，
∴不是同类二次根式，不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了同类二次根式的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．（4分）下列函数中，函数值y随着x增大而减小是（　　）
A．y＝﹣x2 B． C．y＝﹣x D．y＝﹣1
【答案】C
【分析】只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果．
【解答】解：只需根据各类函数的性质，逐一判断选项可得：
A：y＝﹣x2是开口向下的二次函数，对称轴为x＝0，∵当x＜0时，y随x增大而增大，∴A不符合要求；
B：是反比例函数，k＝﹣1＜0，∵在每个象限内y随x增大而增大，且在整个定义域不满足y随x增大而减小，∴B不符合要求；
C：y＝﹣x是一次函数，比例系数为﹣1＜0，∴在全体实数范围内，y随x增大而减小，C符合要求；
D：y＝﹣1是常函数，函数值不随x变化而改变，∴D不符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查不同函数的增减性，正确进行计算是解题关键．
4．（4分）某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9．乙的成绩的平均数为9.8环，方差为0.032．据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌．下列说法中错误的是（　　）
A．甲的成绩的平均数为9.8环
B．甲的成绩的中位数是9.8环
C．甲的成绩的方差为0.02
D．应选派成绩较稳定的乙运动员参赛
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数和方差的定义列式计算可得答案．
【解答】解：甲的成绩的中位数是9.8环，
甲的成绩的平均数为：（9.7+10+9.6+9.8+9.9）＝9.8（环），
甲的成绩的方差为：[（9.7﹣9.8）2+（10﹣9.8）2+（9.6﹣9.8）2+（9.8﹣9.8）2+（9.9﹣9.8）2]＝0.02（环2），
0.02＜0.032，所以甲的成绩更加稳定一些，则为了夺得金牌，应选甲参加比赛．
所以说法中错误的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查方差，中位数与算术平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．（4分）如图所示，已知直径AB⊥CD，如果∠CDB＝30°，⊙O的半径为2，那么弦CD长是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OC，设AB⊥CD于点E，则∠OEC＝90°，由AB是⊙O的直径，根据垂径定理得CE＝DE，由∠CDB＝30°，得∠COB＝2∠CDB＝60°，OC＝2，则∠OCE＝30°，⊙O的半径OC＝2，则OEOC＝1，求得CE，则CD＝2CE＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，设AB⊥CD于点E，则∠OEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DE，
∵∠CDB＝30°，⊙O的半径为2，
∴∠COB＝2∠CDB＝60°，OC＝2，
∴∠OCE＝90°﹣∠COB＝30°，
∴OEOC＝1，
∴CE，
∴CD＝2CE＝2，
故选：C．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
6．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，则DA＝DB，AE＝BE，利用等量代换得到AC+BC＝12，再利用△ABC的周长为20得到AB＝8，从而得到AE的长．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，AE＝BE，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD＝12，
∴AC+CD+DB＝12，
即AC+BC＝12，
∵△ABC的周长为20，
∴AC+BC+AB＝20，
∴AB＝20﹣12＝8，
∴AEAB＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算：6a3÷2a2＝　3a ．
【答案】3a．
【分析】根据整式除法的运算法则计算即可．
【解答】解：6a3÷2a2＝3a．
故答案为：3a．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式除法的运算法则是关键．
8．（4分）在函数y中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2　 ．
【答案】x＞﹣3且x≠﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，
解得：x＞﹣3且x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
9．（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1　 ．
【答案】k＞﹣1．
【分析】由根的判别式Δ＞0，可得出1+k＞0，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4（﹣k）＝1+k＞0，
解得：k＞﹣1，
∴k的取值范围是k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
10．（4分）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围为m＜4　 ．
【答案】m＜4．
【分析】根据反比例函数的性质列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意，得m﹣4＜0，
解得m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
11．（4分）如图，一个正六边形ABCDEF的边长为3，连接对角线AC，BD，交于点P，则的值为　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据多边形ABCDEF是六边形，得到∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠ACB＝∠BAC＝∠CDB＝30°，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，求得PD＝2PC，于是得到结论．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC＝CD，
∴∠CBD＝∠ACB＝∠BAC＝∠CDB＝30°，
∴∠PCD＝∠ABP＝90°，
∴△ABP≌△DCP（ASA），
∴AP＝PD，
∵∠PCD＝90°，∠PDC＝30°，
∴PD＝2PC，
∴AP＝2PC，
∴2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（4分）2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是　　 ．
【答案】．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵共有“豆包”、“千问”、“元宝”3款AI工具，
∴小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
13．（4分）如图是有关某班40名学生一次数学测验分数的条形统计图，根据统计图所提供的信息，本次数学测验的优良率（80分及以上为优良）为 　75　 %．
【答案】75．
【分析】根据统计图中的数据，可知优良的人数为18+12，然后用优良的人数除以40，再乘以100%，即可得到达到优良的人数占全班人数的百分比．
【解答】解：（18+12）÷40×100%
＝30÷40×100%
＝75%，
故答案为：75．
【点评】本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）蔓越莓扎根东极抚远，是龙江农业专家的“团宠”，他们研发并集成配套多个先进技术，有力推动了抚远蔓越莓集约化高效种植，2024年蔓越莓鲜果产量达3000吨．产值突破7800万元，7800万元用科学记数法表示为　7.8×107 元．
【答案】7.8×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7800万＝78000000＝7.8×107．
故答案为：7.8×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE和AC交于点F，设．用向量表示向量，即　　 ．
【答案】．
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而推出△CEF∽△ABF，即可得到，结合点E是DC的中点推出，得到，所以，进而得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，BC＝AD，
∴，
又∵点E是DC的中点，
∴，
∴，
又∵DC∥AB，
∴∠CEF＝∠ABF，∠ECF＝∠BAF，
∴△CEF∽△ABF，
∴，即，
∴，
综上，用向量表示向量，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．（4分）如图，在 ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝12，则GE的长为　3　 ．
【答案】3．
【分析】取BE的中点H，连接FH、CH，由三角形的中位线定理及平行四边形的性质得出FH∥EC，FH＝EC，从而可判定四边形EFHC为平行四边形；再由平行四边形的性质及BE＝6，可求得GE的长．
【解答】解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FHAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴ECCD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GHEH．
∵BE＝12，H是BE的中点，
∴EH＝6，
∴GE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17．（4分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“镜像”函数．如图所示，某数学兴趣小组画出了“镜像”函数G：y＝|x2﹣x﹣6|的图象，则当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是　﹣2＜m＜3或m＞7　 ．
【答案】﹣2＜m＜3或m＞7．
【分析】依据题意，由图可知，当直线y＝﹣x+m与函数G在﹣2＜x＜3之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线y＝﹣x+m过点B时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时m的值，即可求解．
【解答】解：由题意，如图，当直线y＝﹣x+m过点B时，直线与函数G的图象恰好有三个交点，
∴0＝﹣3+m，
∴m＝3，
当直线y＝﹣x+m过点A时，直线与函数G的图象恰好有一个交点，
∴0＝﹣（﹣2）+m，
∴m＝﹣2，
当﹣2＜x＜3时，y＝﹣x2+x+6，
当直线y＝﹣x+m与函数y＝﹣x2+x+6的图象相切时，恰好有三个交点，
令﹣x+m＝﹣x2+x+6，整理得，x2﹣2x﹣6+m＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6+m）＝0，
∴m＝7，
综上，结合图象得，当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围为﹣2＜m＜3或m＞7．
故答案为：﹣2＜m＜3或m＞7．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
18．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足条件　4＜t＜8　 时，⊙P与直线CD相交．
【答案】4＜t＜8．
【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交．
【解答】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD于E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间4（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PF⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间8（秒）．
当⊙P的运动时间t（s）满足条件4＜t＜8时，⊙P与直线CD相交．
故答案为：4＜t＜8．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能够分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【答案】．
【分析】分别化简每一项，利用乘方，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式分母有理化的初中知识化简，再合并计算得到最终结果．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
20．（10分）解方程：．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）
4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）
整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分）
解得：x1＝1，x2＝3，（3分）
经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分）
所以，原方程的解为x＝1．（1分）
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）n＞2或n＜﹣2．
【分析】（1）先求出A点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）求出x＝6和x＝﹣6时，反比例函数的函数值，再根据反比例函数的增减性进行求解即可．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，由条件可得：a＝﹣6，
∴A（﹣6，﹣2），
∴k＝﹣6×（﹣2）＝12，
∴；
（2）∵，
∴在每个象限内y随着x的增大而减小，当x＝6时，，当x＝﹣6时，y＝﹣2，
∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，
∴0＜m＜6或﹣6＜m＜0，
∴n＞2或n＜﹣2．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E为AB的中点，连接EC交BD于点F，BC＝2BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若cos∠ABD，AB＝6，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线定义推出∠ABD＝∠ADB，得到AD＝AB，由线段的中点定义得到AB＝2BE，因此AB＝BC，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）过A作AH⊥BD于H，由锐角的余弦定义求出BH＝4，由等腰三角形的性质得到BD＝2BH＝8，判定△BFE∽△DFC，推出BF：FD＝BE：CD，求出BE：CD＝1：2，得到BF：BD＝1：3，即可求出BF的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∵E为AB的中点，
∴AB＝2BE，
∵BC＝2BE，
∴AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，
∵cos∠ABD，AB＝6，
∴BH＝4，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BD＝2BH＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△BFE∽△DFC，
∴BF：FD＝BE：CD，
∵E是AB的中点，
∴BE：AB＝1：2，
∴BF：FD＝BE：CD＝1：2，
∴BF：BD＝1：3，
∴BF．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，角平分线定义，关键是掌握菱形的判定方法，判定△BFE∽△DFC，推出BF：FD＝BE：CD．
23．（12分）威利斯开利（WillisHavilandCarrier）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求：
名称 ××品牌空调
安装 出风最小角：∠EFG＝133°，出风最大角：∠EFH＝154°．
示意图
技术参数 空调尺寸：795×200×273（宽×深×高，单位：mm）
安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部EF需与墙面垂直； （3）冷风不得直吹床铺．
小丽家房屋室内层高为2.8m，房间内的床长200cm，高50cm，空调安装在床头墙面．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）求空调安装的最低高度EC．（结果精确到1cm）
（2）为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由．
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】（1）空调安装的最低高度EC约为244cm．
（2）该安装方式在小丽房间内不能实现．
理由：如图，设空调出风口和墙面交于点M，则∠AMC＝43°，
∵AD＝200cm，
∴MD215.1cm，
∴CN＝MN+MD+CD＝27.3+215.1+50＝292.4cm，
∵292.4＞280，
∴该安装方式在小丽房间内不能实现．
【分析】（1）空调安装的最低，冷风不得直吹床铺，∠AFO＝43°，连接FA，过点F作FO⊥AD，垂足为点O，求得FO的长度，加上CD的长度即为空调安装的最低高度EC；
（2）设空调出风口和墙面交于点M，则∠AMC＝43°，求得MD的长度，加上CD的长度，MN的长度后与房间的高度比较即可判断该安装方式在小丽房间内能否实现．
【解答】解：（1）连接FA，过点F作FO⊥AD，垂足为点O，
由题意得：四边形EFOD是矩形，
∴DE＝FO，OD＝EF＝200mm＝20cm，
∴AO＝AD﹣OD＝200﹣20＝180（cm），
由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可，
∴当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘A处时，空调安装的高度最低，
此时∠AFO＝133°﹣90°＝43°，
∴DE＝FO＝180÷tan43°≈194cm，
∵CD＝50cm，
∴EC＝CD+DE＝50+194＝244（cm），
答：空调安装的最低高度EC约为244cm．
（2）该安装方式在小丽房间内不能实现．
理由：如图，设空调出风口和墙面交于点M，则∠AMC＝43°，
∵AD＝200cm，
∴MD215.1cm，
∴CN＝MN+MD+CD＝27.3+215.1+50＝292.4cm，
∵292.4＞280，
∴该安装方式在小丽房间内不能实现．
【点评】本题主要考查了直角三角形的三角函数应用．熟练掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义与实际计算，添加辅助线建立直角三角形，是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
【答案】（1）a＝6；
（2）t＝﹣3；
（3）8．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可；
（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得：
1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
25．（14分）解决下列问题：
问题探究
（1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　9　 ；
（2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数；
问题解决：
（3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号）
【答案】（1）9；
（2）30°；
（3）．
【分析】（1）连接OP，过点P作PZ⊥AB于点Z，可得PZ≤OP＝3，即得当点Z与点O重合时，点P到AB距离的最大值是3，再根据三角形面积公式解答即可求解；
（2）证明△ABD≌△CBE（SAS），可得∠ADB＝∠CEB，进而由∠CEB＝90°﹣∠DBE＝30°即可求解；
（3）过点D作DF⊥DC交BC于点F，连接AF，先证明△BFD∽△AFC，得∠FBD＝∠FAC，可得∠BEC＝135°，再根据“定弦定角”模型，作△BEC的外接圆，记为⊙O，连接OE、OB、OC，过点O作OK⊥BC于K，交于点E′，过点E作EH⊥BC于点H，过点O作ON⊥EH交EH延长线于点N，根据，可得，可知当点E，E′重合时，EH取最大值，最大值即为E′K的长，此时△BCE的面积最大，进而解答即可求解．
【解答】（1）解：如图1，连接OP，过点P作PZ⊥AB于点Z，
则，
∴PZ≤OP＝3，
∴当点Z与点O重合时，点P到AB距离的最大值是3，此时△ABP的面积最大，
∴△ABP面积的最大值为．
故答案为：9；
（2）解：∵△ABC与△BDE都为等边三角形，
∴BC＝BA，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠ADB＝∠CEB，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°﹣∠DBE＝30°，
∴∠ADB＝30°；
（3）解：如图3，过点D作DF⊥DC交BC于点F，连接AF，
∵∠BCD＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴DF＝DC，∠DFC＝45°，
∴，
∵，
∴FC+AB＝BC，
∵FC+BF＝BC，
∴AB＝BF，
∵∠ABC＝90°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠AFB＝45°，
∴，
∴，
∵∠AFB＝∠DFC＝45°，
∴∠BFD＝∠AFC，
∴△BFD∽△AFC，
∴∠FBD＝∠FAC，
∵∠FAC+∠ACF＝∠AFB＝45°，
∴∠FBD+∠ACF＝45°，
∴∠BEC＝135°，
∵BC＝400米，
∴如图3，作△BEC的外接圆，记为⊙O，连接OE、OB、OC，过点O作OK⊥BC于K，交于点E′，过点E作EH⊥BC于点H，过点O作ON⊥EH交EH延长线于点N，
则∠OKH＝∠KHN＝∠N＝90°，
∴四边形KONH为矩形，
∴NH＝OK，
∵∠BEC＝135°，
∴∠BOC＝360°﹣2∠BEC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴，（米），
∵（米），
∴，
当点E，E′重合时，EH取最大值，最大值即为E′K的长，此时△BCE的面积最大，
∴，
即△BCE面积的最大值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
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