资源简介

广东省清远市英德市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在△ABC中，若∠C是直角，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（3分）下列式子中，是不等式的是（　　）
A．x+3＝0 B． C．x2﹣2x＝4 D．2x+3＞0
3．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
5．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（3，﹣4）向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（1，﹣4） B．（5，﹣4） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
6．（3分）在数轴上表示不等式x＜2的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
8．（3分）如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF，若BC＝7，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
10．（3分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，连结AF，交BD于点E，若∠B＝45°，BD＝6，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB＝2，则CD＝　 　 ．
12．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm．
13．（3分）假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　 km/h．
14．（3分）不等式组的解集是　 　 ．
15．（3分）如图，将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是　 　 ．
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）下面是小明解不等式的过程：
解：第一步：x+5﹣2＞3x+1，
第二步：﹣2x＞﹣2，
第三步：x＞1．
小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
17．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
18．（7分）为应付英语听说考试，某校为两间电脑室购进了A，B两种型号的耳麦．已知购进每个A型耳麦30元，购进每个B型耳麦65元．若该校准备购进200个这两种型号的耳麦，总费用不超过10200元，那么最多可购进B型耳麦多少个？
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路OA和OB形成一个∠AOB．小区计划在∠AOB内部修建一个便民饮水点P，要求该饮水点到两个固定休息点C和D的距离相等且到两条小路OA和OB的距离也相等，在图中标出饮水点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
20．（9分）函数y＝x+2的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）利用图象求方程x+2＝0的解；
（2）利用图象求不等式x+2＜0的解集；
（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围；
（4）请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解．
21．（9分）根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　 　 元； 若林老师按方式二购买，共需　 　 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
四、解答题（三）（共2小题）
22．（13分）有一副三角板ABC和DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G．
（1）如图1，若EF∥AB，则∠CAD的度数为　 　 ；
（2）如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，AD平分∠BAC，过点E作EH∥BC，交DF的延长线于点H，求∠HEF的度数．
23．（14分）【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：AC＝AB+BD．
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴DB＝DE，
在Rt△ADB和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AE，
又∵∠C＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC，
∴AC＝AE+EC＝AB+BD．
（1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长．
（2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【拓展延伸】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图3，请你写出线段AC，AB，BD之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A A B B C A
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．
1．
12．
3．
13．
80（答案不唯一）．
14．
1＜x＜3．
15．
35°．
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）
16．
解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下：
，
去分母得x+5﹣2＞3x+1，
移项，合并同类项得﹣2x＞﹣2，
系数化为1得x＜1．
17．
解：∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．即∠DBC的度数是15°．
18．
解：设购进B型耳麦x个，则购进A型耳麦（200﹣x）个，
根据题意得：30（200﹣x）+65x≤10200，
解得：x≤120，
∴x的最大值为120．
答：最多可购进B型耳麦120个．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19．
解：如图，点P即为所求．
20．
解：（1）由图象知，方程x+2＝0的解是x＝﹣2；
（2）由图象知，不等式x+2＜0的解集是x＜﹣2；
（3）由图象知，当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）形如kx+b＝0的方程，它的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标，形如kx+b＞0（或kx+b＜0）的不等式，它的解集就是一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方（或下方）时对应的x的取值范围；三者本质上是同一个一次函数在不同条件下的表现：方程对应y＝0 的特殊点，不等式对应 y＞0或y＜0的区间，而函数则是整体的变化规律．
21．
解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）；
若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）．
故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m，
解得：m＞20，
又∵0＜m＜35，
∴20＜m＜35．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
四、解答题（三）（共2小题）
22．
解：（1）∵EF∥AB，∠DEF＝45°，
∴∠DAG＝∠DEF＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAG＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15；
（2）BC∥EF，理由如下：
如图，过点G作GM∥BC，
，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BGM＝∠ABC＝30°，
∵∠BGF＝75°，
∴∠MGF＝∠BGF﹣∠BGM＝45°，
∵∠DFE＝45°，
∴∠MGF＝∠DFE＝45°，
∴GM∥EF，
∴BC∥EF；
（3）过点A作AN∥BC，
，
∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAN＝180°，
∴∠CAN＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAN＝∠CAN﹣∠CAB＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠DAN＝∠BAN+∠BAD＝60°，
∴∠EAN＝180°﹣∠DAN＝120°，
∵EH∥BC，AN∥BC，
∴AN∥EH，
∴∠DEH+∠EAN＝180°，
∴∠DEH＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠HEF＝∠DEH﹣∠DEF＝15°．
23．
解：（1）∵AD是内角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠B＝90°，DB＝DE，AB＝AE，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝2＝BC，
∴AC＝2，DE+DC＝2，
∴CE＝2﹣2，
∴△DEC的周长为：DE+DC+CE＝2+2﹣2＝2；
（2）BD＝AB+AC；理由如下，
在CA的延长线上取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝45°，
∴∠EDC＝45°，
∴DE＝CE，
∴BD＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC；
（3）BD＝AB+AC；理由如下，
在CA上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，
∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+∠ABC＝180°，
∴∠FED＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠FED＝2∠C，
∵∠FED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC．

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