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浙教版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·诸暨期末）若（x-2025）2+（x-2026）2=5，则（x-2025）（x-2026）的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．（2025七下·平武期末）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．（2024七下·黔南期末）为了了解某中学七年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽查了七年级50名同学1分钟跳绳的次数，并绘制成不完整的频数分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．抽查的每名学生是个体
B．抽查的50名学生是样本
C．跳绳次数在 160~180次的人数是10人
D．跳绳次数在120~160次的人数是30人
4．（2024七下·滨江期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
5．（2024七下·游仙期末）已知x、y满足方程组，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．（2024七下·越秀期末）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·惠州期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·贺州期末）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则小林共用长方形纸片C为（　　）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
9．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·邛崃期末）若，则　 　．
12．（2024七下·潮阳期末）如图，长方形中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为　 　．
13．（2024七下·钱塘期末）有40个数据，共分成6组，第1~4组的频数分别为8，5，10，6，第5组的频率是0.1，则第6组的频数是　 　．
14．（2024七下·西湖期末）如图，将沿方向平移2个单位后得到．若，则的长是　 　．
15．（2024七下·阳西期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则　 　．
16．（2025七下·绍兴期末） 已知方程组的解是，则方程组的解是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·金沙期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·吴兴期末） 解方程 (组)：
（1） ；
（2） .
19．（2025七下·长沙期末）去年3至8月份期间，三种品牌空调的销售情况如下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_______品牌空调销售量最多（填“A”“B”或“C”）；8月份C品牌空调销售量有_______台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是______度；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？
20．（2025七下·长沙期末） 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
21．（2025七下·柯城期末）小红计算和小明解方程的过程如下：
小红计算：解：原式． 小明解方程：解：方程两边同乘得化简得经检验，是原方程的解．
（1）在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是　 　（填写“小红”或“小明”)；
（2）请你写出正确的解答过程．
22．（2024七下·衡阳期末）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
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浙教版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·诸暨期末）若（x-2025）2+（x-2026）2=5，则（x-2025）（x-2026）的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：令a=x-2025，b=x-2026，可得a-b=1，
(x-2025)(x-2026)=ab=
故答案为：2.
【分析】用换元法分别将式子变成关于a、b的代数式，根据平方和与完全平方之间的关系可得结果.
2．（2025七下·平武期末）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠E=30°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=45°﹣30°=15°，
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质易得∠BCE=∠E=30°，所以∠ACE为∠ACB与∠BCE的差，可得结果。
3．（2024七下·黔南期末）为了了解某中学七年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽查了七年级50名同学1分钟跳绳的次数，并绘制成不完整的频数分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．抽查的每名学生是个体
B．抽查的50名学生是样本
C．跳绳次数在 160~180次的人数是10人
D．跳绳次数在120~160次的人数是30人
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 为了了解某中学七年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽查了七年级50名同学1分钟跳绳的次数，绘制成不完整的频数分布直方图，
∴七年级50名学生中每个学生1分钟跳绳的情况是个体，七年级50名学生1分钟跳绳的情况是一个样本，故选项AB错误，不符合题意
(人)，即跳绳次数在160~180次的人数是10人，选项C说法正确，符合题意；
跳绳次数在120~160次的人数是(人)，选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．观察频数分布直方图，找到跳绳次数在 160~180次以及 120~160次的人数，据此求解即可．
4．（2024七下·滨江期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：且，
故选：D．
【分析】根据分式的分母不等于零解答即可．
5．（2024七下·游仙期末）已知x、y满足方程组，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：，
两个方程相加，得：5x+5y=10，
∴x+y=2.
故答案为：C。
【分析】根据等式性质，两方程相加即可得出答案。
6．（2024七下·越秀期末）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
，
，，
即
平分，平分，
，，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点E作，先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得，，再结合，利用角的运算和等量代换可得.
7．（2024七下·惠州期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】
先由两直线平行，同旁内角互补得到，再利用角度的和差运算得到，即可根据对顶角相等的性质求解得到答案.
8．（2024七下·贺州期末）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则小林共用长方形纸片C为（　　）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
【答案】B
【解析】【解答】解：设共用长方形纸片C为张，则：拼成的大正方形的面积为，
∴为完全平方式，
∴或（舍去）；
∴共用长方形纸片C为4张；
故答案为：B．
【分析】利用完全平方式的特征可得或，再求出答案即可.
9．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
10．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·邛崃期末）若，则　 　．
【答案】10000
【解析】【解答】解：，
∴m=n－100.
．
故答案为：10000．
【分析】先移项得，代入代数式并利用完全平方公式进行展开，再合并同类项即可得到结论．
12．（2024七下·潮阳期末）如图，长方形中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为　 　．
【答案】18
【解析】【解答】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得
，
解得
故，
故答案为：18．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，列出二元一次方程组，结合，计算求值，即可得到答案．
13．（2024七下·钱塘期末）有40个数据，共分成6组，第1~4组的频数分别为8，5，10，6，第5组的频率是0.1，则第6组的频数是　 　．
【答案】7
【解析】【解答】∵ 第5组的频率是，
∴ 第5组的频数为：，
∵第1～4组的频数分别为8，5，10，6，
∴第6组的频数是；
故答案为：7．
【分析】根据频率=频数÷总数，先求出第5组的频数，再用总数减去前五组的频数，即可求得.
14．（2024七下·西湖期末）如图，将沿方向平移2个单位后得到．若，则的长是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的概念得到，再求线段的和即可得到答案．
15．（2024七下·阳西期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵平行光线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质可得，，再结合，利用角的运算和等量代换求出即可.
16．（2025七下·绍兴期末） 已知方程组的解是，则方程组的解是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
【分析】本题先将所求方程组变形，使其在形式上与条件相近，再根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·金沙期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算的运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方、整式的除法的运算法则计算即可。
18．（2024七下·吴兴期末） 解方程 (组)：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：将①代入②解得：
将代入①解得：；
∴方程组的解为：
（2）解：去分母得：x-2(x-3)=-2
解得：x=8
经检验，x=8是原方程的解
【解析】【分析】(1)利用代入消元法，解二元一次方程组即可；
（2）去分母，解方程并检验即可得解.
19．（2025七下·长沙期末）去年3至8月份期间，三种品牌空调的销售情况如下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_______品牌空调销售量最多（填“A”“B”或“C”）；8月份C品牌空调销售量有_______台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是______度；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？
【答案】（1）B，275，
（2）解：8月份，A品牌空调销售量为台，A品牌空调占，
所以，8月份空调的总的销售量为（台）．
其它品牌的空调有：（台），
答：其他品牌的空调销售总量是台．
【解析】【解得】（1）解：观察条形统计图可得3至8月三种品牌空调销售量总量最多的是B品牌；
8月份，C品牌的销售量为275台；
扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是，
故答案为：B；275；；
【分析】（1）从条形统计图可得销售量最多的品牌、由折线统计图可以得8月份C品牌空调的销售量；由扇形统计图即可得到A品牌对应的圆心角度数.
（2）根据A品牌空调销售量及A品牌空调所占的百分比即可求出月份空调的总销售量，再减去A，B，C品牌的销售量即可得出答案．
（1）解：3至8月三种品牌空调销售量总量最多是B品牌；
8月份，C品牌的销售量为275台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是，
故答案为：B，275，；
（2）解：8月，A品牌空调销售量为台，A品牌空调占，
所以，8月份空调的总的销售量为（台）．
其它品牌的空调有：（台），
答：其他品牌的空调销售总量是台．
20．（2025七下·长沙期末） 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明： ∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∵∠AMN+∠ACE = 180°，
∴∠A=∠ACE，
∴CE∥AB
（2）解：由 (1) 知∠A=∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECD+∠ACE=∠A+∠B，
∴∠ECD=∠ACE=∠B=65°，
∴∠A=∠ACE=65°，
∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∴∠AMN =180°-65°=115°.
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得∠AMN+∠A =180°， 由∠AMN+∠ACE=180°可得∠A =∠ACE， 根据平行线的判定即可得CE∥AB；
(2)由 (1) 知∠A =∠ACE， 由CE平分∠ACD以及三角形外角的性质得∠ECD=∠ACE=∠B=65°， 则∠A =∠ACE=65°， 根据平行线的性质即可得∠AMN的度数.
21．（2025七下·柯城期末）小红计算和小明解方程的过程如下：
小红计算：解：原式． 小明解方程：解：方程两边同乘得化简得经检验，是原方程的解．
（1）在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是　 　（填写“小红”或“小明”)；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）小红
（2）解：
【解析】【解答】（1）
解：原式
=2x-3+x
=3x-3．
【分析】（1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤；先去分母得2x-（3-x），去括号得2x-3+x，合并同类项得3x-3．
（2）方程两边去分母，得，化简得.
（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误，
故答案为：小红；
（2）解：
22．（2024七下·衡阳期末）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
【答案】（1）解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或．
【解析】【分析】（1）根据“理想点”的定义，将点A，B，C分别代入二元一次方程中，若为该方程的解则符合“理想点”，反之不符合；
（2）同理将代入方程，与构成二元方程组，将视作整体解方程组即可得出m.n的值；
（3）同理将点代入两方程中，构成含参数k的二元一次方程组，用含参数k表示该二元一次方程组的解，根据“理想点”的定义分析，即解x与y均为整数分类分析对应取值即可.
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
【答案】（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
【解析】【分析】
（1）根据非负性，得到，，解方程组即可解答；
（2）作，由平行公理的推论可得；设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质建立方程，计算即可解答．
（3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程：；；计算即可解答．
（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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