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人教版2025—2026学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·莲都期末） 下列等式不成立的是（　　）.
A． B．
C． D．
2．（2025八下·鹤山期末）已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4）
C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
3．（2024八下·昆明期末）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
4．（2024八下·深圳期末）直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·南皮期末）如图，甲、乙两地相距20千米，琳琳、佳佳两人沿相同路线从甲地去乙地，如图和分别表示琳琳、佳佳两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①佳佳晚出发1小时；②琳琳出发后3小时被佳佳追上；③佳佳的速度是4千米/时；④佳佳比琳琳先到乙地.其中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2024八下·凤山期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·雨花期末）如图，每个小正方形的边长都相等，是小正方形的顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·雨花期末）如图，在菱形中，点分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
9．（2025八下·江北期末）如图，正方形EFGH的顶点E在正方形ABCD上，四边形FGKD也是正方形，且点B，H，K在同一直线上，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·绵阳期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：
①；
②当时，四边形是平行四边形；
③当是正三角形时，四边形是菱形；
④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．
其中正确的有（　　）个
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·杭州期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为　 　.
12．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为　 　.
13．（2025八下·成都期末） 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为　 　．
14．（2025八下·杭州期末）方方参加“校园之声”歌唱比赛，其音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是90分、80分、80分.若将三项得分依次按2：5：3的权重确定最终成绩，则方方的最终成绩为　 　分.
15．（2025八下·富顺期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是　 　．
16．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
18．（2025八下·浦北期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
19．（2025八下·海宁期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9
（1）填写下表：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 　 8 0.4
小明 8 9 　 3.2
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”）
20．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
21．（2025八下·江门期末）如图，在□ABCD中，BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AE=AD.
（1）求证：四边形AEBC是矩形.
（2）F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB=6，BF⊥AF，求BF的长.
22．（2024八下·庄浪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
23．（2025八下·西湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数．
（2）如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值．
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人教版2025—2026学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·莲都期末） 下列等式不成立的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.该选项正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，符合题意；
C.该选项正确，不符合题意；
D.该选项正确，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可求解.
2．（2025八下·鹤山期末）已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4）
C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，
∴2k=1，
∴k=.
∴y=x。
分别把A，B，C，D中点的坐标代入y=x中，
A：当x=1时，y=，所以点（1，2）不在函数图象上，所以A不符合题意；
B：当x=2时，y=1，所以点（2，4）不在函数图象上，所以B不符合题意；
C：当x=4时，y=2，所以点（4，2）在函数图象上，所以C符合题意；
D：当x=-1时，y=-，所以点（-1，-2）不在函数图象上，所以D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】首先利用待定系数法，求得k的值，得出正比例函数关系式，然后分别验证各选项是不是适合该函数关系式，即可得出答案。
3．（2024八下·昆明期末）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
【答案】C
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
4．（2024八下·深圳期末）直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故答案为：A．
【分析】当直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
5．（2024八下·南皮期末）如图，甲、乙两地相距20千米，琳琳、佳佳两人沿相同路线从甲地去乙地，如图和分别表示琳琳、佳佳两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①佳佳晚出发1小时；②琳琳出发后3小时被佳佳追上；③佳佳的速度是4千米/时；④佳佳比琳琳先到乙地.其中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象知：直线经过（1，0），
∴当t=1时s=0，则佳佳晚出发1小时，故①正确；
由直线和交点的横坐标是3，可知：当t=3时，琳琳出发后3小时被佳佳追上； 故②正确；
佳佳的速度为12÷（3-1） =6千米/时，故③错误；
由图象知：当t＞3时，佳佳在琳琳的前面，
∴ 佳佳比琳琳先到乙地. 故④正确；
∴正确的有 ①②④ .
故答案为：C.
【分析】由直线经过（1，0）可得佳佳晚出发1小时，故①正确；由直线和交点的横坐标是3，可知琳琳出发后3小时被佳佳追上，故②正确；佳佳的速度为12÷（3-1） =6千米/时，故③错误；由图象知：当t＞3时佳佳在琳琳的前面，故④正确.
6．（2024八下·凤山期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，A不符合题意；
B、，
，
，
∴是直角三角形，B不符合题意；
C、，，
，
，
∴是直角三角形，C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B、D，根据三角形的内角和定理可判断C.
7．（2024八下·雨花期末）如图，每个小正方形的边长都相等，是小正方形的顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设小正方形的边长为1，则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故答案为：B．
【分析】连接，先根据勾股定理求出BC、AC、AB，再根据勾股定理逆定理证出是等腰直角三角形即可.
8．（2024八下·雨花期末）如图，在菱形中，点分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵E、F分别是的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：A．
【分析】先根据三角形中位线定理求出BC，再根据菱形的边长都相等求出周长即可.
9．（2025八下·江北期末）如图，正方形EFGH的顶点E在正方形ABCD上，四边形FGKD也是正方形，且点B，H，K在同一直线上，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：延长GF交CD于点P，连接PE，如图所示：
∴四边形EFGH和四边形FGKD都是正方形，
∴EH=EF=FG=DF， ∠DFP =∠DFG=∠FEH=∠EHB=90°，
∴ PG是线段DE的垂直平分线，
∴DP= PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠C=90°，
∴∠PDF+∠DEC=90°，
∵∠FEH = 90°，
∴∠BEH+∠DEC =90°，
∴∠PDF =∠BEH，
在△DPF和△EBH中，
∴设 其中
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比为 ，
故答案为：C.
【分析】延长GF交CD于点P，连接PE，依题意得PG是线段DE的垂直平分线，则证明 全等得进而得 则则 进而由勾股定理得 由此求出 即可得出答案.
10．（2024八下·绵阳期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：
①；
②当时，四边形是平行四边形；
③当是正三角形时，四边形是菱形；
④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．
其中正确的有（　　）个
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，故①正确；
当时，，
∵DF∥AB，∴∠FDC=∠A，
∴∠FDC=∠C，
∴FC=FD
四边形是菱形，
，
∴ED=FC，
又，
四边形是平行四边形，故②正确；
当△ABC是正三角形时，AC=BC
又∵BD平分∠ABC，
∴DB⊥AC，CD=AC
又∵EF⊥BD，
∴EF∥AC，
又∵ED∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴ED=FC，
∵四边形BEDF是菱形，
∴ED=BF=FC=BC，
∴CD=CF
四边形是菱形，故③正确；
当点是中点时，，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，故④错误.
故答案为：C．
【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形BEDF是平行四边形，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，由等角对等边得BE=DE，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得四边形BEDF是菱形，进而根据菱形的对角线垂线垂直可判断①；由等边对等角得∠A=∠C，由二直线平行，同位角相等得∠FDC=∠A，则∠FDC=∠C，由等角对等边得FD=FC，由菱形四边相等得ED=FD，则ED=FC，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，据此可判断②；由等腰三角形的三线合一得DB⊥AC，CD=AC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得EF∥AC，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EDCF是平行四边形，由平行四边形及菱形的四边相等得ED=BF=FC=BC，则CD=CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出四边形DEFC是菱形，据此可判断③；根据菱形性质及中点定义可得ED=FC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得EF∥AC，由平行线的性质及菱形性质推出BD⊥AC，进而结合结合等腰三角形的三线合一可推出AB=BC，据此可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·杭州期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为　 　.
【答案】1080°
【解析】【解答】解：(8-2)×180°=1080°，
即该正八边形内角和的度数为1080°，
故答案为：1080°.
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可.
12．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：当a=-1时，二次根式，
故答案为：1.
【分析】直接把a的值代入进而得出答案.
13．（2025八下·成都期末） 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
又∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∴AB =AE=7，
同理可得：CD=DF=7，
∴EF=AE+DF-AD7+7-10=4，
故答案为：4.
【分析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，由题意可以推导出AE=AB、DF=CD，再利用线段和差计算EF即可.
14．（2025八下·杭州期末）方方参加“校园之声”歌唱比赛，其音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是90分、80分、80分.若将三项得分依次按2：5：3的权重确定最终成绩，则方方的最终成绩为　 　分.
【答案】82
【解析】【解答】解：总权重为：2+5+3=10
音准与节奏得分：
音色与音质得分：
表现力与情感表达得分：
最终成绩：18+40+24=82分
故答案为：82.
【分析】三个项目的分数和对应的权重，需要将分数与权重相乘后求和，再除以总权重.
15．（2025八下·富顺期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△AEO≌△CFO，即可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
16．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴解得，
∴函数解析式y=x-1，
∵函数图象过点且平行于x轴的直线交于点C，
∴当y=x-1=-3时x=-2，
∴点C（-2，-3），
把点C（-2，-3)代入得，
∴要满足当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时m 的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题先运用待定系数法求得一次函数与正比例函数的解析式，要满足在时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，图象中必须当x每取一个值，一次函数表示的点在正比例函数表示的点的上方.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式化简，进而即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，进而计算即可求解。
18．（2025八下·浦北期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
【答案】解：（1）∵点C（m，4）在正比例函数y=x的图象上，
∴4= m
解得m=3，即点C坐标为（3，4）．
∵一次函数 y=kx+b经过A（3，0）、点C（3，4）
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）由图象可得不等式x＜kx+b的解为：x＜3
【解析】【分析】（1）将点C坐标代入反比例函数解析式可得点C坐标为（3，4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）当反比例函数图象在一次函数图象下方时，有x＜kx+b，结合函数图象即可求出答案.
19．（2025八下·海宁期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9
（1）填写下表：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 　 8 0.4
小明 8 9 　 3.2
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）变小
【解析】【解答】（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）平均数、众数、中位数都是反应数据集中趋势的量，平均数越大，表示出成绩越好，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，作为参赛选手，肯定是推荐成绩好且稳定的选手，据此作答即可；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此计算出新方差，与原方差比较大小即可．
（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
20．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出BD2=45，即可解答。
(2)由勾股定理求出BD2=45，再证BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，
∠BCD=90°，即可得出结论。
21．（2025八下·江门期末）如图，在□ABCD中，BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AE=AD.
（1）求证：四边形AEBC是矩形.
（2）F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB=6，BF⊥AF，求BF的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC， AD=BC，
∵AE=AD，
∴AE// BC， AE=BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE ⊥ AD，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AEBC是矩形.
（2） 解：由(1)得四边形AEBC是矩形，AD=BC，
∴∠CAD=∠CAE=90°，
∵F为CD的中点，
∴AF=CD =AB= 3，
∵BF⊥AF
∴∠AFB=90° ，
由勾股定理得BF=
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD// BC， AD=BC，结合已知条件得到四边形AEBC是平行四边形，即可根据一个直角的平行四边形判定四边形AEBC是矩形，解答即可；
(2)利用矩形的性质得到AF=CD =AB= 3，再利用勾股定理得计算即可解答.
22．（2024八下·庄浪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点是直线与 直线的交点，
．
即．
将点，代入直线中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：。
（2）解：设点的坐标为（，），
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，；
点的坐标为或。
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，设．
点在直线上，设点的坐标为．
∴M点的坐标为（x，0），
，．
，解得x=1，
点的坐标为．
【解析】【分析】本题综合考查一次函数解析式以及相关的实际应用．
（1）首先从图上可以直接得出A点的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标和点的坐标代入直线，列出二元一次方程组即可求出和的值，函数解析式即可得出；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，这样列出面积等式即可求得的值，点的坐标即可求出；
（3）从图上首先可以确定点和点的横坐标相同，然后根据两条函数解析式可以分别假设出点、点和点M的坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
23．（2025八下·西湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数．
（2）如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形ABCD的边长是，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∴
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用正方形性质得AB=BC，∠BAC=∠ABD=45°，由轴对称性质得BF=BC=AB，从而由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAF=67.5°，最后根据角的构成，由∠CAF=∠BAF-∠BAC可算出答案；
（2）DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：延长BE交CF于G，由轴对称的性质可得，，进而由二直线平行，内错角相等得，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BCG=∠CDF，从而利用“AAS”证△BCG≌△CDF，由全等三角形的对应边相等得CG=FD，从而即可得出结论；
（3）作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD交AC于O；不妨设正方形ABCD的边长是2，由正方形的性质得BD⊥AC，∠ACB=45°，OB=OD=BD，利用勾股定理及等腰直角三角形性质算出BD；由轴对称的性质得，，，，由三角形面积公式及等底等高三角形面积相等推出BG=OB，又由平角定义推出∠HFB=45°，则△BHF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质可求出BH，进而再利用勾股定理算出DH，利用线段构成求出DF，最后再利用三角形面积公式分别表示出S1与S2，即可求出S1与S2的比值.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，
不妨设正方形的边长是，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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