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苏科版2025—2026学年七年级下册期末模拟进阶训练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是(　　)
A． B． C． D．
3． 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，7 B．3，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10
5．已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
6．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
8．如图， 两个一样的直角三角形重叠在一起， 将其中一个三角形沿着点 到点 的方向平移到三角形 的位置， ， 平移距离为 7 ， 求阴影部分的面积为 ( )
A．56 B．54 C．52 D．50
9．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且.点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点.设点运动的时间为，若三角形的面积为，则的值为（　　）
A．或 B．或或
C．或6 D．或6或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知不等式组的解集是 ，则关于 x 的方程 的解为　 　.
12．因式分解：　 　.
13．如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
14．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　折出售．
15．图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则　 　度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时，　 　度．
16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 计算：
（1） ；
（2） .
18．解方程组与不等式组：
（1）
（2）
19．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜．
（1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简）
（2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本．
20．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
（1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
（2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
22．如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．
（1）如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值；
（2）如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长；
（3）如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系．
23．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，温州某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
C型大米 8 12
（1）该超市在6月份购进A、B型两种大米共30袋，进货款恰好为800元，问这两种大米各购进多少袋？
（2）该超市在7月份的销售A、C两种大米的销售总额为1200元，求该超市7月份已售出这两款大米的进货款为多少元？
（3）为刺激销量，超市决定在进货款仍为800元的情况下，8月份增加C型大米作为赠品，进价为每袋8元，并出台了“买4袋B型大米送1袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少
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苏科版2025—2026学年七年级下册期末模拟进阶训练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
2．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：把 代入方程 7x-4y=★，
得
设●为a，把 代入方程 ax-2y=5，
得-9a-2×(-16)=5，
解得 a=3.
∴原方程组是
由①×2-②，得 -x=-1，
解得 x=1.
把 x=1代入①，得3×1-2y=5，
解得 y=-1.
∴原方程组的解是
故选：C.
【分析】解题思路：“将错就错”，即看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含此系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解.
3． 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于
【答案】D
【解析】【解答】解：解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
第一步应先假设每一个内角都小于 60°，
故答案为：B.
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立，据此解答即可.
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，7 B．3，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10
【答案】D
【解析】【解答】解：A、3+3=6<7，
长度为3、3、7的三条线段不能组成三角形，A错误；
B、3+4=7<8，
长度为3、4、8的三条线段不能组成三角形，B错误；
C、5+6=11，
长度为5、6、11的三条线段不能组成三角形，C错误；
D、5+6=11>10，
长度为5、6、10的三条线段不能组成三角形，D正确，
故答案为：D.
【分析】三角形任何两边的和大于第三边.
5．已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
，，
又∵，
∴，
∴b＞c＞a＞d；
故答案为：C.
【分析】逆用幂的乘方运算法则将几个数变形为指数相同的幂的形式，根据幂的意义，底数越大，其幂就越大即可判断得出答案.
6．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】【解答】设它是n边形，
根据题意得，（n-2) 180°=540°，
解得n=5．
故选：C．
【分析】 根据多边形的内角和公式（n-2) 180°列式计算即可得解．
7．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得
故选A．
【分析】
设绳长x尺，竿长y尺， 根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．
8．如图， 两个一样的直角三角形重叠在一起， 将其中一个三角形沿着点 到点 的方向平移到三角形 的位置， ， 平移距离为 7 ， 求阴影部分的面积为 ( )
A．56 B．54 C．52 D．50
【答案】A
【解析】【解答】解：由平移的性质得，BE=7，DE=AB=10，
∵
∴HE=DE-DH=10-4=6，
∵
∴S四边形HDFC=S梯形ABEH=（AB+EH）×BE=（10+6）×7=56．
故答案为：A.
【分析】根据平移的性质得，推出阴影部分的面积等于直角梯形ABEH的面积，再利用平移性质和梯形的面积公式计算即可.
9．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
10．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且.点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点.设点运动的时间为，若三角形的面积为，则的值为（　　）
A．或 B．或或
C．或6 D．或6或
【答案】C
【解析】【解答】解：如图①，当点在上，即时.
∵四边形是长方形，
∴，.
∵，
∴，
∴；
①②
如图②，当点在上，即时，
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，
解得；
如图③，当点在上，即时，.
∴，
解得（舍去）.
综上，当的值为或6时，三角形的面积为.
故答案为：C.
【分析】根据题意， 点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点，分点P在线段CD上时；点P在线段AD上时，点P在线段AE上时三种情况，结合三角形的面积公式，分别求出点P的路程，进而求出t的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知不等式组的解集是 ，则关于 x 的方程 的解为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
解①得：，
解②得：，
此不等式组的解是．
此不等式组的解是，
，
，
　解的：
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组的含参问题和不等式组和一元一次方程的综合应用，先解不等式组得不等式组的解，再结合题目所给的不等式组的解可求出a、b的值，把a、b的值代入方程可得其解．
12．因式分解：　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】本题是一个多项式因式分解问题，涉及两项的差，其中一项是立方项，另一项是线性与平方的乘积。关键在于提取公因式后，剩余部分是否可继续分解。
13．如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中线的性质得到，，则，代入数值即可求解。
14．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　折出售．
【答案】8
【解析】【解答】解：设打折出售，由题意得：
，
解得：，
答：最低可打8折出售．
故答案为：8．
【分析】设打折出售，根据单件利润不低于24元以及等量关系“单件利润=单件的售价×折扣－进价”，列出不等式并进行求解即可．
15．图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则　 　度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时，　 　度．
【答案】155；65
【解析】【解答】解：延长，交于点N，延长，交于点M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：155；65；
【分析】延长，交于点N，延长交于点M．根据垂直得到，然后利用三角形外角求出∠EDB的度数，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEF，进而求出∠PMN的值，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
【答案】
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∴，
∵∠MQF+∠MFQ+∠QMF=180°=∠A''MF+∠QMF，
∴∠MQF+∠MFQ=∠A''MF，
∴180°－2α+180°－2α=α，
∴
故答案为：
【分析】由折叠得，，再表示出∠MQF和∠MFQ，利用三角形的内角和定理可得关于α的方程，求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂，再根据有理数的加法法则即可求解；
(2)将多项式中的每一项分别除以单项式，逐项化简.
18．解方程组与不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
整理得：，
可得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
所以原方程组的解是：．
（2）解：
解不等式得：
解不等式得：，
则不等式组的解集为：．
【解析】【分析】（1）先将方程组的方程去分母，去括号，再利用加减消元法求解方程组即可；
（2）先求解不等式组中每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
（1），
整理得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以原方程组的解是：．
（2）解：
解不等式得：
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
19．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜．
（1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简）
（2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本．
【答案】（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．

（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
【解析】【分析】（1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积列出代数式解答即可；
（2）把，代入（1）中的结果计算即可．
（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．
（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
20．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
（1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
（2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
【答案】（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）
【解析】【解答】（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题，然后连接对角线得到交点是对称中心；
（2）根据中心对称图形的性质解题即可．
（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
22．如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．
（1）如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值；
（2）如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长；
（3）如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系．
【答案】（1）解：由最大长方形的宽可得：
；
由最大长方形的长可得：
，从而．
．
（2）解：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
比较图中正方形的面积可得：；
当时，．
（3）解：设最大长方形的长为，则．
∴
，
当时，为定值．
∴为定值时，．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出 小正方形的边长为，大正方形的边长为， 再根据正方形的面积求出 小正方形的边长为，大正方形的边长为， 最后计算求解即可；
（3）先求出 ，再计算求解即可。
23．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，温州某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
C型大米 8 12
（1）该超市在6月份购进A、B型两种大米共30袋，进货款恰好为800元，问这两种大米各购进多少袋？
（2）该超市在7月份的销售A、C两种大米的销售总额为1200元，求该超市7月份已售出这两款大米的进货款为多少元？
（3）为刺激销量，超市决定在进货款仍为800元的情况下，8月份增加C型大米作为赠品，进价为每袋8元，并出台了“买4袋B型大米送1袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少
【答案】（1）解：设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋，
依题意得：，
解得：．
答：A型大米购进10袋，B型大米购进20袋；
（2）解：设7月份 销售A型大米m袋，销售C型大米n袋，
由题意得，30m+12n=1200，
化简得，5m+2n=200，
∴7月份已售出这两款大米的进货款为： 20m+8n=4（5m+2n）=4×200=800（元）.
（3）解：设购进A型大米a袋，C型大米b袋，则B型大米4b袋，
由题意得，20a+30×4b+8b=800，
化简得，5a+32b=200，
a=，
∴，
∴4b=20，
答： 购进A型大米8袋，B型大米20袋，C型大米5袋.
【解析】【分析】（1）设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋，利用总价=单价×数量，结合购进两种大米共30袋且进货款恰好为800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设7月份售出A型大米m袋，C型大米n袋，利用总价=单价×数量，结合两种大米的销售总额为1200元，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出5m+2n=200，再将其代入20m+8n=4（5m+2n）即可求出结论；
（2）设7月份该超市购进A型大米a袋，C型大米b袋，则购进B型大米4b袋，利用总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案.
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