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上海市2025—2026学年七年级下册期末综合素养提升卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．4，4，8 C．5，4，10 D．6，7，14
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
3．如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于x，y的二元一次方程组，若满足，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
5．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，相交于点，，要使，则补充下列其中一个条件后，不一定能推出的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，下列不等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
9． 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于的不等式组，不等式②的解集如图所示，则该不等式组的解集为　 　．
12．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
13．当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为　 　．
14．如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，则∠BCD的大小为 　 　．
15．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，则　 　．
16． 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）解不等式组．
18．如图，已知和，与交于点P，点C在上．
（1）试说明：；
（2）若．求的度数．
19．如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，．
（1）判断和的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
20．已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值；
（2）若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
21．已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，．
（1）如图1，与的数量关系是________，理由是________；
（2）如图1，点在上，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值．
23．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．4，4，8 C．5，4，10 D．6，7，14
【答案】A
【解析】【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形；
B、4+4=8，不能组成三角形；
C、5+4＜9，不能组成三角形；
D、6+7＜14，不能组成三角形．
故答案为：A
【分析】根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断即可。
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【解析】【解答】解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项不符合题意；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项不符合题意；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
3．如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A．，，不符合题意；
B．，，不符合题意；
C．，不能判断，符合题意；
D．，∠2＝∠5，∴∠4＋∠2＝180°，，不符合题意；
故选：C
【分析】
平行线的判定定理：判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
4．已知关于x，y的二元一次方程组，若满足，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
，得
，
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】先观察二元一次方程组的两个方程，根据已知条件，选择用①-②得到x-y=k-1，然后得到关于k的不等式并解不等式即可.
5．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上辨识出不等式的解集，然后作出选择.
6．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可得，∠ABC=45°，∠EDF=30°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB=∠ABC=45°，
∴∠EDB=∠FDB-∠EDF=45°-30°=15°，
故答案为：B．
【分析】由图可得∠ABC=45°，∠EDF=30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB=∠ABC=45°，根据角的和差即可求出∠EDB的度数。
7．如图，，相交于点，，要使，则补充下列其中一个条件后，不一定能推出的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
A、添加时，可根据“”判断，∴A不符合题意；
B、当添加时，可根据“”判断，∴B不符合题意；
C、如果添加，则根据“SSA”不能判定，∴C符合题意；
D、当添加时，可根据“SAS”判断，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
8．已知，下列不等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵， ∴，故不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故符合题意；
C、∵， ∴ ，故不符合题意；
D、∵， ∴ ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
9． 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
10．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①错误；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，的周长最小，
此时，∴，
即当时，的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，即可推出，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于的不等式组，不等式②的解集如图所示，则该不等式组的解集为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：．
解①，得；
解②，得．
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】
先解一元一次不等式组：解①得；解②得；根据数轴可得，再根据不等式求解集的方法：同大取大，即可求得不等式组的解集．
12．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
【答案】32
【解析】【解答】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【分析】
设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可．
13．当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为　 　．
【答案】50度
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得；由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”得可求出的度数，结合已知可求得的度数．
14．如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，则∠BCD的大小为 　 　．
【答案】140°
【解析】【解答】解：由四边形ABCD是轴对称图形，有
故答案为
【分析】根据轴对称性质可得，根据三角形内角和定理可得∠ACB，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，则　 　．
【答案】75
【解析】【解答】解：∵把绕着点顺时针方向旋转，得到，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据旋转性质得到∠CAC' = 30° 且 AC = AC'，再利用等腰三角形 “等边对等角” 及三角形内角和定理求出∠C' 的度数。
16． 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　．
【答案】-17≤p＜-7
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3个整数解，
∴，且三个整数解为1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案为：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：9x-1＞7x+3，
移项，得：9x-7x＞3+1，
合并同类项，得：2x＞4，
系数化为1，得：x＞2.
（2）解：，
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x≤3，
将不等式①②的解集在数轴上表示：
∴原不等式组的解集为-1＜x≤3.
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集并在数轴上表示即可求出不等式组的解集．
（1）解：，
移项，合并同类项，得，
解得；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
18．如图，已知和，与交于点P，点C在上．
（1）试说明：；
（2）若．求的度数．
【答案】（1）解：，
，
即．
在和中，
，
，
（2）解：，
，
，
．
，
，
【解析】 【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用三角形的内角和及角的运算求出∠CAE的度数，再利用AC=AE求出即可.
19．如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，．
（1）判断和的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵∠1=∠B，
∴AB//GD，
∴∠2=∠BAD，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠BAD+∠3=180°，
∴EH//AD；
（2）解：根据（1）可得AB//GD，
∴∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC，
∵∠DGC=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠4=60°-28°=32°，
∵EH//AD，
∴∠2=∠H，
∴∠H=∠BAD=32°，
故答案为：.
【解析】【分析】（1）先利用平行线的判定方法和性质可得∠2=∠BAD，再结合∠2+∠3=180°，利用等量代换可得∠BAD+∠3=180°，即可证出EH//AD；
（2）利用平行线的性质可得∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC，再利用角的运算求出∠BAD=∠BAC-∠4=60°-28°=32°，最后利用平行线的性质及等量代换可得∠H=∠BAD=32°，从而得解.
20．已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值；
（2）若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形。
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则，5 减 2 小于 c 小于 5 加 2，也就是 3 小于 c 小于 7。因为 c 是整数，所以 c 可以取 4、5、6。把 c 的可能值代入，当 c=4 时周长最小，为 5+2+4=11；当 c=6 时周长最大，为 5+2+6=13。
（2）把等式 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 移项，整理成 (a b)2 + (b c)2 = 0 的形式。两个平方数相加等于 0，说明每个平方数都为 0，即 a b=0 且 b c=0，由此可得 a=b=c，所以这个三角形是等边三角形。
（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形．
21．已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
∴；
（2）解：，，，
平分，
，
∵，
．
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义，得到，进而得到，再由同位角相等，两直线平行，即可证得结论；
（2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补，求得，由角平分线求得，根据两直线平行内错角相等，即可求解．
（1）证明：，
，
，
∴；
（2）解：，，
，
平分，
，
∵，
．
22．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，．
（1）如图1，与的数量关系是________，理由是________；
（2）如图1，点在上，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值．
【答案】（1）；同角的余角相等
（2）解：，
，
，
，
，
；
答：∠1的度数为；
（3）解：点在直线的上方且在直线右侧，
当这两块三角尺存在一组边互相平行时，有以下三种情况：
①时，过点作，如图2所示：
，
，，
，
；
②时，如图3所示：
，
；
③当时，如图4所示：
，
．
综上可得：所有可能的值或或．
【解析】【解答】
（1）
解：依题意得：，，
，，
（同角的余角相等），
故答案为：；同角的余角相等．
【分析】
（1）根据同角的余角相等可求解；
（2）由得，由角的和差可求得∠BDC的度数，然后再由三角形内角和定理可求解；
（3）根据点在直线的上方且在直线右侧，则有以下三种情况：
①时，过点作则，进而得，，由此可得的度数；
②时，则，由此可得的度数；
③当时，则，由此可得的度数，综上即可得出所有可能的值．
23．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）①
（2）解：不等式组，
解得：，
解关于的方程，
解得：，
∵关于的方程是不等式组的“相依方程”，
∴，
解得：；
（3）解：由，解得：，
解关于的不等式组，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有个整数解，
令整数的值为，，，，，，，
则有：，，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，
∴，解得：，
∴的取值范围是．
【解析】【解答】解：①，解得：，
②，解得：，
不等式组，解得：，
∵在范围内，不在范围内，
∴方程①是不等式组的“相依方程”，
故答案为：①；
【分析】（1）先求出各方程的解以及不等式组的解集，结合 “相依方程” 的定义，判断即可；
（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出的范围即可；
（3）先分别求解方程和不等式组，根据不等式组整数解个数确定其解集范围，再结合“相依方程”定义确定的取值范围．
（1）解：方程①，
解得：，
②，
解得：，
不等式组，
解得：，
∵在范围内，不在范围内，
∴方程①是不等式组的“相依方程”，
故答案为：①；
（2）不等式组，
解得：，
解关于的方程，
解得：，
∵关于的方程是不等式组的“相依方程”，
∴，
解得：；
（3）解关于的方程，
解得：，
解关于的不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有个整数解，
令整数的值为，，，，，，，
则有：，，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
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