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北师大版2025—2026学年七年级下册期末真题汇编严选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（　　）
A． B．1 C．3 D．
2．（2025七下·揭西期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E、F分别是AD、AB上的动点，若AB＝6，△ABC的面积为12，则BE＋EF的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2025七下·深圳期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·武侯期末）下列哪幅图可以用来近似的刻画生活中的情境“一杯越晾越凉的水”（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·东源期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（　　）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
6．（2025七下·临湘期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
7．（2024七下·福田期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，现利用一块含30°角的透明直角三角板，画AC边上的高，下列三角板摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·金华期末）如图，已知，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·江北期末）若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
10．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·成华期末）芯片，又称微电路（）、微芯片（microchip）、集成电路（英语：i，）．是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分．某芯片采用5纳米制造工艺，5纳米是0.0000005厘米，将数据0.0000005用科学记数法表示为　 　．
12．（2024七下·黄埔期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是　 　度．
13．（2024七下·越秀期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为　 　．
14．（2024七下·温州期末）若不论x为何值，，则　 　．
15．（2024七下·连州期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点Q，E，平分，交于G，若，则　 　．
16．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·钱塘期末）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025七下·普宁期末） 在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示.
游戏规定：随意转动转盘，
（1） 指针指到1的可能性是多少？
（2） 若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去，若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
19．（2025七下·深圳期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC，DE相交于点G，，，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的度数.
20．（2025七下·余姚期末）在计算 时，甲错把 b 看成了 6，得到的结果是 ，乙错把 a 看成了 -a，得到的结果是 .
（1） 求 a、b 的值；
（2） 将 a，b 的值代入 并化简，求出正确的结果.
21．（2024七下·黔西南期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题：
（1）求y与x之间的关系式；
（2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？
22．（2025七下·盐田期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点P为射线BC上一动点，连接AP，在直线AB的左上方作，且，连接CQ交射线AB于点M。
（1）如图1，当点P在线段BC上时，过点Q作于点H，则QH　 　AB，QM　 　CM；（填“=”、“>”或“<”）
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请写出你的理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的值。
23．（2024七下·瓯海期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：， ，之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值.
②已知，求.
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末真题汇编严选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（　　）
A． B．1 C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
2．（2025七下·揭西期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E、F分别是AD、AB上的动点，若AB＝6，△ABC的面积为12，则BE＋EF的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作点F关于AD的对称点M，连接BM，EM，过点 B作 BN⊥AC 于点 N
∴EF = EM
∴ BE + EF = BE + EM >BM
∵所以当BM 最小时，BE +EF 最小
∴当BM ⊥AC 时，BM 最小，即点 M 与点 N 重合，最小值为 BN 的长
∵S△ABC=AC×BN=12 AB=AC=6
∴BN=2×12÷6=4
即BE +EF的最小值是4.
故答案为：C.
【分析】通过作对称将BE+EF转化为BE+EM从而化为求点到线段的距离问题，根据三角形边和面积进行推导即可。
3．（2025七下·深圳期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，
故B，C，D一定成立，不符合题意，
当∠E＝∠EAC时，AF＝EF，
∴A不一定成立．
故答案为：A
【分析】先根据题意进行角的运算得到∠BAC＝∠DAE，进而根据三角形全等的判定与性质（SAS）证明△ABC≌△ADE（SAS）得到∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，从而对比选项即可求解。
4．（2024七下·武侯期末）下列哪幅图可以用来近似的刻画生活中的情境“一杯越晾越凉的水”（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、热水放出热量，温度不可能先升高后降低．
∴此选项不符合题意．
B、热水放在空气中，不断放出热量，温度保持不变．
∴此选项不符合题意．
C、热水放出热量，温度不断升高．
∴此选项不符合题意．
D、热水放出热量，温度不断降低．
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据实际情况分析与函数图象比较即可判断求解．
5．（2025七下·东源期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（　　）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在△ABC的三条角平分线的交点处，
故答案为：．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得△ABC的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，据此解答即可.
6．（2025七下·临湘期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
【答案】B
【解析】【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，
将xy=6代入得：x2+12+y2=25，
则x2+y2=13．
故选B．
【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．
7．（2024七下·福田期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，现利用一块含30°角的透明直角三角板，画AC边上的高，下列三角板摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B向它所对的边AC所在直线画垂线，点B到直线AC的垂线段叫做△ABC边AC上的高，选项中A、B、C不符合条件，D符合条件.
故答案为：D.
【分析】本题考查钝角三角形作高线方式，注意“所对的边所在直线”而不是"所对的边".
8．（2024七下·金华期末）如图，已知，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求得．
9．（2024七下·江北期末）若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
10．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·成华期末）芯片，又称微电路（）、微芯片（microchip）、集成电路（英语：i，）．是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分．某芯片采用5纳米制造工艺，5纳米是0.0000005厘米，将数据0.0000005用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
12．（2024七下·黄埔期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是　 　度．
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：当点在点的左侧时，如图所示：
，，
；
当点在点的右侧时，如图所示：
，，
；
综上分析可知：的度数为：或．
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，先分别画出图形并利用角的运算求解即可.
13．（2024七下·越秀期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：当时，，分以下两种情况：
如图1所示，
，
；
如图2所示，
，
综上所述，的度数为或
根据答案为：或．
【分析】分类讨论，先分别画出图形，再利用平行线的性质及角的运算和等量代换分析求解即可.
14．（2024七下·温州期末）若不论x为何值，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴x2+(a+1)x+a=x2+kx+6，
∴a=6，a+1=k，
∴k=7.
故答案为：7.
【分析】利用多项式乘多项式将等号左边展开，可得x2+(a+1)x+a=x2+kx+6，从而得出a=6，a+1=k，继而得解.
15．（2024七下·连州期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点Q，E，平分，交于G，若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CEM=∠AQM=36°，∠AQF=∠QFE，
∵平分，
∴∠FQA=∠FQE=18°，
∴∠QFE=18°，
∵QF⊥GF，
∴∠QFG=90°，
∴18°+90°=108°，
故答案为：108°.
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠CEM=∠AQM=36°，∠AQF=∠QFE，进而根据角平分线的性质即可得到∠FQA=∠FQE=18°，然后结合题意即可求解。
16．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：　 　
【答案】12（答案不唯一）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·钱塘期末）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=1+（-2）=-1
（2）解：原式=y-2x
【解析】【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂计算后，再求和即可；
（2）先计算积的平方，再根据多项式除以单项式计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2025七下·普宁期末） 在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示.
游戏规定：随意转动转盘，
（1） 指针指到1的可能性是多少？
（2） 若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去，若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【答案】（1）解：∵ 将一个转盘（均质的）均分成6份，
∴指针指到1的可能性是.
（2）解：不会同意，因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是，所以游戏不公平.
【解析】【分析】（1）根据转盘（均质的）均分成6份，求解即可；
（2）判断游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，根据题意，计算求解即可.
19．（2025七下·深圳期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC，DE相交于点G，，，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∴。
（2）解： 由①可知，，
∴，，
∴.
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同位角相等得到，进而进行线段的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质（SAS）证明得到，再根据同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到，，再进行角的运算即可求解。
20．（2025七下·余姚期末）在计算 时，甲错把 b 看成了 6，得到的结果是 ，乙错把 a 看成了 -a，得到的结果是 .
（1） 求 a、b 的值；
（2） 将 a，b 的值代入 并化简，求出正确的结果.
【答案】（1）解：依题意
∴
由于乙把a看成了-a，所以
∴
（2）解：原式=.
【解析】【分析】
（1）本题只要抓住没看错的字母，将错就错，顺着题意就能分别把两个字母的值求出来；
（2）在第(1)问的基础上进行整式乘法运算，考查基本运算能力。
21．（2024七下·黔西南期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题：
（1）求y与x之间的关系式；
（2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，的面积为，
∴，
∴y与x之间的关系式为
（2）解：∵，，
∴，
∴的面积，
∵的面积比的面积大，
∴，
解得：，
∴当时，的面积比的面积大
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用三角形面积公式即可求解；
（2）先求出，然后利用三角形面积公式表示出的面积，从而得关于x的一元一次方程，进而解方程求出x的值即可求解.
（1）解：∵cm，的长为，
∴
∵高cm，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴的面积 ，
∵的面积比的面积大3
∴，
解得：，
∴当时，的面积比的面积大3
22．（2025七下·盐田期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点P为射线BC上一动点，连接AP，在直线AB的左上方作，且，连接CQ交射线AB于点M。
（1）如图1，当点P在线段BC上时，过点Q作于点H，则QH　 　AB，QM　 　CM；（填“=”、“>”或“<”）
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请写出你的理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的值。
【答案】（1）=；=
（2）解：成立，理由如下
过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H
∴∠H=∠ABP=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
在Rt△ABP中，∠BAP+∠P=90°
∴∠QAH=∠P
在△AQH和△PAB中
∴△AQH≌△PAB(AAS)
∴QH=AB
∵AB=BC
∴QH=BC
在△QHM和△CBM中
∴△QHM≌△CBM(AAS)
∴QM=CM
（3）解：设BM=a，则AB=3BM=3a
∴BC=3a
∴AM=AB+BM=4a
∵△QHM≌△CBM
∴HM=BM=a
∴AH=AM+HM=5a
∵△AQH≌△PAB
∴AH=PB=5a
∴CP=PD-BC=2a
∴
【解析】【解答】解：（1）QH=AB，QM=CM，理由如下
∵∠ABC=90°，QH⊥AB于点H
∴∠AHQ=∠QHM=∠PBA=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
∴∠HQA=∠BAP
在△AQH和△APB中
∴△AQH≌△APB(AAS)
∴QH=AB
∵BA=BC
∴QH=BC
在△QMH和△CMB中
∴△QMH≌△CMB(AAS)
∴QM=CM
故答案为：=；=
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠HQA=∠BAP，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△APB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QMH≌△CMB(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（2）过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据角之间的关系可得∠QAH=∠P，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△PAB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QHM≌△CBM(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（3）设BM=a，则AB=3BM=3a，根据边之间的关系可得AM=AB+BM=4a，根据全等三角形性质可得HM=BM=a，则AH=AM+HM=5a，再根据全等三角形性质可得AH=PB=5a，则CP=PD-BC=2a，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024七下·瓯海期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：， ，之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值.
②已知，求.
【答案】（1），
（2）
（3）1，3，2
（4）解：①根据（2）题可得，
∵，，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.
【解析】【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：；
（3）拼图如下：
观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；
（2）由（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长为，宽为的矩形，再将该图形纵向分割成长为a、b、b的三个小矩形，进而再横向分割成长为a、b的两个矩形，观察图形可得答案；
（4）①利用和，然后整体代入计算即可；
②设m=x-021，n=x-023，则m-n=2，利用m2+n2=(m+n)2-2mn可求出2mn的值，再由(m+n)2=m2+n2+2mn求出(m+n)2的值，最后把m、n还原后求解即可.
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