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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·罗湖期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·衡阳期末） 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025八下·阳东期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
4．（2025八下·泸县期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·乐山期末）若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·平江期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC=1，AC=2，AB= B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
7．（2024八下·揭西期末）如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若的周长为18，，则的周长是（　　）
A．23 B．25 C．32 D．36
8．（2024八下·新会期末）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：；；；，从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
9．（2025八下·金东期末） 如图， 在 ABCD中， ， 在AC上取点P， 使， 连结BP， 过点P作交AB， CD分别于点E， F. 已知， ， ， 当x， y发生变化时， 下列代数式值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
10．（2024八下·揭西期末）如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·成都期末）已知实数x，y满足，则　 　．
12．（2025八下·成都期末） 如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为　 　．
13．（2025八下·惠来期末） 如图，线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，且 ，，则 的度数为　 　.
14．（2024八下·揭西期末）如图，在中，，，DE是中位线，，则DE的长是　 　．
15．（2024八下·大埔期末）已知，，则的值为　 　．
16．（2025八下·成华期末）对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·金沙期末）（1）解分式方程：；
（2）若，，且，求的取值范围.
18．（2025八下·宝安期末）如图，在四边形ABCD中，BE垂直平分AC，连接DE并延长，与BC交于
点F，且BE//AD，BF=FC.
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若∠ECF=60°，FC=1，求CD的长.
19．（2025八下·龙华期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本。
（1）科普书和文学书的单价各是多少元？
（2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？
20．（2023八下·凤翔期末）已知a、b、c是的三边，且满足，试判断的形状．阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴为④
（1）试问：以上解题过程是否正确：　 　
（2）若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）　 　
（3）本题的结论应为　 　．
21．（2025八下·贵阳期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
22．（2025八下·武鸣期末）某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
23．（2024八下·普宁期末）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：在边不与点重合，点在折线上运动，过点交边于点中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）取线段的中点，作射线当射线经过点时，求的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·罗湖期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集在数轴上表示，如图所示：
故选：B．
【分析】首先解不等式，求出解集，然后根据在数轴上表示解集的规范要求，大于等于要向右，且点为实心的点，正确表示解集即可得出答案。
2．（2025八下·衡阳期末） 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是平行四边形，
∴，，
∴.
∴是等腰三角形，且.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形以及角平分线先证明是等腰三角形，也就知道CE长，从而可以用BC长减去CE得到BE长.
3．（2025八下·阳东期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=BF=，
∵AB=6，
∴DE=BF=3，
同理可得：EF=BD=，
∵BC=8，
∴EF=BD=4，
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=，EF=BD=，即可求得四边形的周长．
4．（2025八下·泸县期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据图象，可得：
不等式的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据图象，不等式的解集就是直线y=kx高于直线y=-2x+4所对应的x的取值范围，结合图象中两直线的交点的横坐标即可求解．
5．（2025八下·乐山期末）若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
6．（2025八下·平江期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC=1，AC=2，AB= B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【解析】【解答】解：A、当BC=1，AC=2，AB= 时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=90°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形，
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
7．（2024八下·揭西期末）如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若的周长为18，，则的周长是（　　）
A．23 B．25 C．32 D．36
【答案】C
【解析】【解答】解：因为DE垂直平分线段BC，
所以DB=DC．
因为△ABD的周长为18，
所以AB+BD+AD=18，
则AB+CD+AD=AB+AC=18．
又因为BC=14，
所以△ABC的周长为：AB+AC+BC=18+14=32．
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DB=DC，进而将△ABD的周长转化为AB+AC，再结合BC的长即可解决问题。熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键。
8．（2024八下·新会期末）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：；；；，从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
条件1：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件2：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件3：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件4：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
9．（2025八下·金东期末） 如图， 在 ABCD中， ， 在AC上取点P， 使， 连结BP， 过点P作交AB， CD分别于点E， F. 已知， ， ， 当x， y发生变化时， 下列代数式值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC，
故∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5∠CAB=5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠D=180°-5α，∠DAC=∠ACB=∠DAB-∠CAB=180°-6α，
∵PC=BC，
∴，
∴∠PBE=∠ABC ∠CBP=5α 3α=2α，
在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，如图：
则∠GAP=∠APG=α，
故∠PGE=∠GAP+∠APG=2α，
即∠PGE=∠PBE，
∴PG=PB=AG=y，
∵PE⊥AB，PG=PB，
∴GE=EB=2，
即AE-AG=GE=2，
故x-y=2.
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的对角相等，得出∠D=∠ABC，设∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5α，根据平行四边形的对边平行，两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得出∠DAB=180°-5α，∠DAC=∠ACB=180°-6α，根据等边对等角和三角形内角和是180°得出∠CBP=∠CPB=3α，求得∠PBE=2α，在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，根据等边对等角得出∠GAP=∠APG=α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠PGE=2α，根据等角对等边得出PG=PB=AG=y，根据等腰三角形底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合得出GE=EB=2，即可推得x-y=2，得出结论.
10．（2024八下·揭西期末）如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过O1作O1M⊥x轴于点M，
∵∠AOO1=45°，OO1=，
∴OM=O1M=1，
又∵OA=1，
∴点M与点A重合，
∴O1A⊥OA，
∴O1A的中点为第1个平行四边形的对称中心，其坐标为（1，）；
同理可得：A1B⊥AB，OB=OA+AB=1+2=3，A1B=AB=2，
∴A1B的中点为第2个平行四边形的对称中心，其坐标为（1+2，1）即为（3，1）；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心坐标为（1+2+3，）即为（6，）；
...，
则第8个平行四边形的对称中心坐标为（1+2+3+4+5+6+7+8，），即（36，4）．
故答案为：C．
【分析】过O1作O1M⊥x轴于点M，可求出OM=O1M=1，根据OA=1，可得点M与点A重合，即O1A⊥OA，确定出第1个平行四边形的对称中心坐标是O1A的中点坐标，通过求前三个平行四边形对称中心坐标可发现平行四边形的对称中心坐标的规律，即可确定出第8个平行四边形对称中心的坐标。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·成都期末）已知实数x，y满足，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知等式可得x+y=2xy，然后将待求式子分子、分母分别利用加法交换律、结合律及乘法分配律变形为含x+y的式子，从而整体代入，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
12．（2025八下·成都期末） 如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在△ABC内部作，且使得AE=AD，连接DE，CE，
设CE的延长交AD于点F，如图所示：
在△CAE和△BAD中，
∴△CAE △BAD(SAS)
∴BD=CE.
在△ABD中，，
∴AD=BD，
∵AE=AD
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠ACE
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠AEF=∠CAE+∠ACE=2∠ACE，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，
∴，
∵AE=AD，
∴△ADE是等边三角形
∵AE=DE，∠AED=60°，AE=CE
∴DE =CE
∴∠EDC=∠ECD
∵∠DEF是△EDC的外角，
∴∠DEF=∠EDC+∠ECD=2∠ECD
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=60°
∴2∠ACE+2∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠ECD=30°.
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=30°，
故答案为：30°.
【分析】在△ABC内部作，且使得AE=AD，连接DE，CE，设CE的延长交AD于点F，利用SAS证明△CAE △BAD，由全等三角形的性质可知BD=CE，利用等腰三角形性质、全等三角形性质、三角形外角性质以及等边三角形性质来求解角度.
13．（2025八下·惠来期末） 如图，线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，且 ，，则 的度数为　 　.
【答案】148°
【解析】【解答】解：如图所示，连接CE，
∵ 线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，
∴AC=BC，CD=CE，
∵ ，
∴∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC=∠EDC=72°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE=∠BAE+72°，
∵，
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-112°-∠BAE=68°-∠BAE，
∴∠EBD=360°-∠CBD-∠ABC-∠ABE=148°，
故答案为： 148°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AC=BC，CD=CE，再利用SAS证明△BCD≌△ACE，最后根据全等三角形的性质计算求解即可.
14．（2024八下·揭西期末）如图，在中，，，DE是中位线，，则DE的长是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵DE是中位线，
∴点D是AB的中点，BD=6，
∴AB=2BD=12，
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=AB=×12=6，
∵DE是中位线，
∴DE=BC=×6=3
故答案为：3．
【分析】根据三角形中位线定义可得AB的长，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BC的长，最后根据三角形中位线定理即可求解。
15．（2024八下·大埔期末）已知，，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
16．（2025八下·成华期末）对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：xm，
∴x<2-3m，
∵x有且只有一个正整数解，
∴1<2-3m≤2，
∴，
故答案为：.
【分析】由 xm<2 化简得x<2-3m，根据题目要求应当满足条件1<2-3m≤2，从而得解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·金沙期末）（1）解分式方程：；
（2）若，，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：方程两边都乘，得.
解这个方程，得.
检验：当时，，
所以是原方程的增根.
（2）解：，即，解得.
【解析】【分析】（1）方程两边先同时乘以x-3，再进行求解、检验；
（2）由题意列出不等式，并进行求解。
18．（2025八下·宝安期末）如图，在四边形ABCD中，BE垂直平分AC，连接DE并延长，与BC交于
点F，且BE//AD，BF=FC.
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若∠ECF=60°，FC=1，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵BE垂直平分AC
∴AE=CE
∵BF=FC
∴EFIIAB
即AB//DE
又∵BE//AD
∴四边形ABED是平行四边形
（2）解：∵BE垂直平分AC
∴，
∵
∴
∴，，
∴，
∴
∴.
在平行四边形ABED中，
∴
在中
.
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得AE=CE，再根据直线平行判定定理可得AB//DE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，，根据直线平行性质可得，则，，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BE，再根据平行四边形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
19．（2025八下·龙华期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本。
（1）科普书和文学书的单价各是多少元？
（2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？
【答案】（1）解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元。
依题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解且符合实际。
∴1.5x=15。
（2）解：设购买a本科普书。
依题意得：15a+10(50-a)≤700
解得：a≤40
∵a是正整数，
∴a的最大值为40。
答：至多购买40本科普书。
【解析】【分析】（1）设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，根据 用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本即可得出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设购买a本科普书，根据 小亮可以使用的经费不超过700元， 得出不等式15a+10(50-a)≤700，解不等式，并求出最大正整数解即可。
20．（2023八下·凤翔期末）已知a、b、c是的三边，且满足，试判断的形状．阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴为④
（1）试问：以上解题过程是否正确：　 　
（2）若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）　 　
（3）本题的结论应为　 　．
【答案】（1）不正确
（2）③
（3）直角三角形或等腰三角形
【解析】【解答】解：（1）∵a4-b4=a2c2-b2c2，
∴（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，
当a2-b2=0时，无法得到c2=a2+b2，
故上题的解题过程错误；
故答案为：不正确；
（2）根据解题过程发现错误在第③步，
故答案为：③；
（3）∵a4-b4=a2c2-b2c2，
∴（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，∴此时三角形是直角三角形；
当a2-b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形，
综上△ABC是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形.
【分析】（1）根据等式的性质可判断得出答案；
（2）题目中②到③没有考虑到a2-b2=0的情况，从而可判断得出答案；
（3）当a2-b2≠0时，根据等式的性质可得c2=a2+b2，进而根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；当a2-b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形.
21．（2025八下·贵阳期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：平分，．
．
，
．
；
（2）解：，
．
，且，
．
．
，
．
，
∴．
【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由角平分线性质定理可得，依据可证明，可得；
（2）求出，根据证明，得到，，由得到，进而可求四边形的面积．
22．（2025八下·武鸣期末）某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
【答案】（1）8
（2）解：租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆
得
得
又为整数且不超过8辆，
解得
共有3种可行的租车方案．
方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．
方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．
方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆．
（3）解：下调后的租车费用为：
，
①当，即时，随的增大而增大，
则时，有最小值2160元，求得，
②当，即时，与题意不符，舍去．
③当，即时，随的增大而减小，
则时，有最小值2160元，
求得，不符题意，舍去．
综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40．
【解析】【解答】解：（1）每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。总人数为学生 + 教师：322+8=330人； 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。因此，必须租8辆车，每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。 总人数为学生 + 教师：322+8=330人。 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。 因此，必须租8辆车。
故答案为：8。
【分析】（1）这里有两个关键约束：一是总人数约束（330 人需要载客），二是教师跟车约束（8 名教师最多租 8 辆车）。先验证 7 辆车无法满足载客需求，再结合教师人数限制，直接锁定必须租 8 辆车，为后续建模打下基础。
（2）先设甲型客车数量为x，根据 “总费用 = 甲型车费用 + 乙型车费用”，写出一次函数关系式y=120x+2240；再根据载客量要求列出不等式，求出x的整数取值范围，从而得到所有可行的租车方案。这一步的核心是用函数和不等式，把实际问题转化为数学模型。
（3）租金下调后，费用函数的一次项系数发生了变化，需要根据系数的正负，分三种情况讨论函数的增减性：
当系数为正时，函数随x增大而增大，最小值在x=6处取得；
当系数为负时，函数随x增大而减小，最小值在x=8处取得；
当系数为零时，函数为常数，与题意不符。 再分别列方程求解m，并检验解是否符合对应情况的条件，最终确定唯一有效解。这一步的关键是利用一次函数的增减性分析最值，体现了分类讨论的数学思想。、
23．（2024八下·普宁期末）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：在边不与点重合，点在折线上运动，过点交边于点中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）取线段的中点，作射线当射线经过点时，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
轴，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，且，
是等腰三角形，
，
为中点，
，
当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，
此时点的坐标为；
当点在线段上时，连接，
四边形是平行四边形，
，且，
为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴，
，
设直线的解析式为，，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）解：连接，根据题意得，线段的中点在线段上，连接，
，，
四边形是平行四边形，
为线段中点，点为线段的中点，
四边形是平行四边形，
，，
同理，直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
，
的面积．
【解析】【分析】（1）由AB的坐标，可得AB∥x轴，AB=12，由C、O的坐标，可得CD=12，即得AB∥CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形；
（2）分两种情况：①当点在线段上时，此时点P在CD的中点处，②当点在线段上时，连接，推出四边形是平行四边形，则轴，再求出直线OA的解析式，求出y=2时x值即可；
（3）连接，证四边形、都是平行四边形，再求出直线AC的解析式，可求出点F坐标，继而求出EF的长，根据的面积进行计算即可．
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