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沪科版2025—2026学年七年级下册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式组 仅有三个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． ≤a＜1 B． ≤a≤1 C． ＜a≤1 D．a＜1
4．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
5．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（　　）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
6．如图，，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于(　　)
A． B． C． D．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，，CB平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：　 　．
12．若关于x的分式方程 有增根，则m=　 　.
13．已知，，则　 　．
14．如图，已知：平分，如果，那么　 　．
15．已知数列，，……，，设，则与 最接近的整数为　 　．
16．如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1）；
（2）．
18．（1）解方程：；
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
19．如图，已知点O为直线上一点，平分．
（1）求的度数；
（2）如图，若，求的度数．
20．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求：
（1）这个长方体的底面边长；
（2）这个长方体的表面积．
21．下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：不等式①，去分母，得，（第一步）
移项，合并同类项，得，（第二步）
系数化为1，得，（第三步）
解不等式②，得，（第四步）|
所以原不等式组无解．（第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 ．
（3）解不等式组：
22．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互为补角
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线与交于点，延长与交于点，过点作垂足为，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，点是上一点，连接，使，作的平分线交于点，请画出图形．并直接写出的度数．
23．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
（1）若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
（3）若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪科版2025—2026学年七年级下册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：(xy)4÷(xy)4=1，故选项A错误，不符合题意；
(3x+y)(3x-y)=9x2-y2，故选项B错误，不符合题意；
2x2·x3=2x5，故选项C错误，不符合题意；
(2x-y)2=4x2-4xy+y2，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂相除的法则，单项式相乘法则，平方差公式，完全平方公式，即可求解.
2．将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
3．已知关于x的不等式组 仅有三个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． ≤a＜1 B． ≤a≤1 C． ＜a≤1 D．a＜1
【答案】A
【解析】【解答】解：由x＞2a﹣3，
由2x＞3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，
由关于x的不等式组 仅有三个整数：
解得﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得 ≤a＜1，
故答案为：A
【分析】把a看作已知数，求出不等式组的解集，根据不等式组仅有三个整数解可得﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解不等式组即可求解。
4．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
【答案】A
【解析】【解答】解：A、4x2+1+2x，无法运用完全平方公式分解因式，故符合题意；
B、4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
C、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=（2x+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
故答案为：A
【分析】完全平方公式：.根据公式即可判断。
5．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（　　）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴当x=52，y=28时，x+y=80，x-y=24；
∴产生的密码可以是528024，522480，805224，802452，245280，248052；
∴不可能是522824
故答案为：B.
【分析】先将代数式提取公因式分解因式，再利用平方差公式进行第二次分解化成三个整式相乘的形式，将x、y的值分别代入各个因式算出结果，然后排列即可得到所求的密码.
6．如图，，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠AFE，
∴AF∥DE， ，
∴；
故选：B．
【分析】根据，，得到，再根据两直线平行，同位角相等，通过等量代换即可作出选择．
7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(29-2x+2y )个、乙[(29+2x-(2x+2y)]个、丙（5+2x+2y-2y)个.
因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得
解得
故答案为：A.
【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组，求出2x与2y的值，进而求解.
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ，A不符合题意；
B. ，B不符合题意；
C. ，C符合题意；
D. ，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据因式分解结合题意对选项逐一分析即可求解。
9．如图，，CB平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④错误．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，从而得出，得出，即可判断①正确；
根据平行线的性质，得出，，再根据得出，即可判断②正确；
根据平行线的性质得出，从而得出，得出，即可判断③正确；
先求出，再根据，得出，即可判断④不正确．
10．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：图2中，右下角阴影部分为正方形，边长为(a－b)，面积为9，
，
（负值舍去），
，
图3中，大正方形的边长为(a+b)，
面积为：，
（负值舍去），
∴，.
∴，，
，
故答案为：B．
【分析】由图2可得，结合，得出，可得，.再用含a，b的式子表示并计算和，相见即可得到答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：．
【分析】商的乘方法则可得。
12．若关于x的分式方程 有增根，则m=　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：分式方程为： ，
方程左右两边同乘(x+2)，得：3=x+m+2，
∵方程有增根，
∴最简公分母x+2=0，即x=-2，
将x=-2代入3=x+m+2，得：m=3，
故答案为：3.
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+2=0，得到x=-2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值.
13．已知，，则　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：6.
【分析】关于多项式可知，每一项都含有公因式xy，提取公因式并将括号内的多项式用完全平方公式分解因式分解，然后整体代换即可求解.
14．如图，已知：平分，如果，那么　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故填：．
【分析】由可得，得出，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案.
15．已知数列，，……，，设，则与 最接近的整数为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：，
，
，
，
同理，
，
，
，
当时，，
故填：．
【分析】根据题意得到，同理得到，求出，得到，从而得出当时，，即可得到答案．
16．如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，然后再运用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式2，再运用完全平方公式分解因式；
18．（1）解方程：；
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【答案】（1）解：去分母，得，
去括号．得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得，
径检验，原方程的解为
（2）解：原式
，
且且，
而是满足条件的合适的非负整数，
，
当时，原式．
【解析】【分析】(1)去分母转化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；
(2)计算出括号内的加法同时因式分解即可化简，再代入符合条件的整数即可得结果.
19．如图，已知点O为直线上一点，平分．
（1）求的度数；
（2）如图，若，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
；
（2）解：，，
，
．
【解析】【分析】
（1）先由互为余角求，再根据角平分线定义求出，最后再由邻补角的概念计算即可；
（2）由（1）知可先求出，即可知，再利用角的倍积关系可得，再利用平角的概念及角的和差关系即可求得．
（1）解：，
，
平分，
，
；
（2）解：，，
，
．
20．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求：
（1）这个长方体的底面边长；
（2）这个长方体的表面积．
【答案】（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为，依题意得：，
∴，
∴．
∴这个长方体的底面边长为；
（2）解：∵，
∴，
∴这个长方体的长为，宽为，高为，
∴这个长方体的表面积为：．
【解析】【分析】（1）设这个长方体的底面边长为，则高为，根据长方体的体积计算公式可得出，解方程求解即可；
（2）根据（1）的结果，结合长方体表面积的计算公式，即可得出答案。
（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为，
依题意得：，
∴，
∴．
∴这个长方体的底面边长为；
（2）解：∵，
∴，
∴这个长方体的长为，宽为，高为，
∴这个长方体的表面积为：．
21．下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：不等式①，去分母，得，（第一步）
移项，合并同类项，得，（第二步）
系数化为1，得，（第三步）
解不等式②，得，（第四步）|
所以原不等式组无解．（第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 ．
（3）解不等式组：
【答案】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变
（3）解：∵∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
【解析】【解答】解：（1）依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
【分析】（1）我们可以依据不等式的基本性质，对对应问题进行分析推导，得到相应结论。
（2）我们通过观察题目给出的解题过程，就能找出问题并得到对应答案。
（3）求解不等式组时，我们只需要先分别求出组内每个不等式的解集，再取所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集。
（1）解：依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）解：在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
（3）解：∵
∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
22．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互为补角
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线与交于点，延长与交于点，过点作垂足为，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，点是上一点，连接，使，作的平分线交于点，请画出图形．并直接写出的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，，
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）解：由（1）得，，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵与的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
又∵，
∴∠HGE=90°，
∴∠EPF=∠HGE，
∴．
（3）解：如图所示：
∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK，
又∵∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK，
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，
∴，
．
【解析】【分析】 (1)根据角的等量代换，得出，根据同旁内角互补，两直线平行，得出直线与的位置关系.
(2)由(1)得，根据平行线性质和三角形内角和定理可得，由得∠HGE=90°，根据同位角相等，两直线平行，可证明 .
(3)根据角的运算与角平分线的性质，代入计算可得.
23．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
（1）若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
（3）若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
【答案】（1）解：，，，
与互为“关联分式”， “关联值”；
（2）①－3x－6；
②1
（3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”，∴
∵
∴
∴
∴
∵a，b为整数
∴当时，
当时，则
∵a，b为整数
∴，或，，
∴．
综上，c的值为6或22.
【解析】【解答】（2）解：①，，
，
与互为“关联分式”，且“关联值”，
，
，
②解：，
分式的值为正整数．
或，此时的值为1或，
为正整数，
的值为1．
【分析】（1）根据条件中的新定义，求出A+B并进行化简即可；
（2）①根据已知条件中的新定义，列出，然然后进行化简，求出M即可； ② 把 ① 中求出的M代入D ，然后化简，根据已知条件，求出x得知即可；
（3）根据条件中的新定义，求出E+F并化简，从而列出关于a，b的二元一次方程组，求出a，b，再代入c=a+b进行计算即可．
（1）解：，，
，
与互为“关联分式”， “关联值”；
（2）解：①，，
，
与互为“关联分式”，且“关联值”，
，
，
②，
分式的值为正整数．
或，此时的值为1或，
为正整数，
的值为1．
（3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”，
∴
∵
∴
∴
∴
∵a，b为整数
∴当时，
当时，则
∵a，b为整数
∴，或，，
∴．
综上，c的值为6或22．
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