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第1讲 集合·分类训练（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D C D B C
6 7 8 9 10
C A C B
11 12 13 14 15
BCD BC A C
16 17 18 19 20
B C D D C
21 22 23 24 25
D C C A
26 27 28 29 30
B C C B A
31 32 33 34 35
BC ABD C C
36 37 38 39 40
C C C
41 42 43 44 45
C ABC BD D C
46 47 48
B
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
1.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，即.
∵，
∴.
对应选项D.
【点拨】解一元二次不等式求出集合B的范围，再与离散集合A求交集即可.
2.（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，即；
，即.
∴，.
∴.
对应选项C.
【点拨】注意补集运算时端点值的取舍，开区间的补集端点为闭.
3.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即；
，即.
∴.
对应选项D.
【点拨】求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于0和被开方数非负.
4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由及，结合正弦函数图象可得.
∴.
对应选项B.
【点拨】结合正弦函数的图象或三角函数线，在给定区间内直接读出三角不等式的解集.
5.（2025·江西上进·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵且，
∴或或或，解得或或或.
∴.
由，得，即.
∴.
对应选项C.
【点拨】利用整除性质求出集合A的整数元素，结合对数不等式求出集合B的范围.
6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解绝对值不等式得，即.
指数函数的值域为，即.
∴.
对应选项C.
【点拨】认清集合的代表元素，集合B的代表元素是y，实质是求指数函数的值域.
7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
.
∴.
对应选项A.
【点拨】区分集合的代表元素，集合A求的是二次函数的值域，集合B求的是指数不等式的解集.
8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，即.
，即.
∴.
【点拨】解指数不等式求出集合N，再与集合M求交集.
考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算
9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集及其两个非空真子集，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据德·摩根定律，.
对应选项C.
【点拨】直接应用德·摩根定律（De Morgan's laws）展开即可.
10.（单选）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解得，即.
解得，即.
目标集合为.
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意.
对应选项B.
【点拨】先解不等式求出集合M和N，再将目标集合用M和N的运算表示出来，最后对应Venn图.
11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　）
A. B. C. 集合可能是 D.
【答案】BCD
【解析】由题意知，
∴.
对于A，∵，且，∴，A选项错误；
对于B，∵，∴，B选项正确；
对于C，已知，这意味着既属于A又属于B.若，当时，，，，此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，∵，又，∴，D选项正确.
对应选项BCD.
【点拨】利用德·摩根定律将补集的交并运算转化为交并集的补集运算，结合全集分析各元素归属.
12.（2026·湖南天壹名校联盟·5月模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是（ 　　）
A. B. 的真子集个数为
C. D.
【答案】BC
【解析】.
由，，，
作出Venn图可知，，.
故，A错误；，即，C正确；
集合A的真子集个数为个，故B正确；
∵，∴，D错误.
对应选项BC.
【点拨】画出Venn图，根据各部分的交并补关系将全集中的元素逐一填入对应区域是解题的关键.
13.（2026·浙江温州·二模）（填空）表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】根据容斥原理，.
【点拨】直接应用集合的容斥原理公式求解.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集，集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴.
又，
∴，解得.
对应选项A.
【点拨】根据补集的定义，集合A与它的补集构成全集，从而确定集合A的元素.
15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，而，
则且，即且，解得.
经验证，当时，，满足.
∴.
对应选项C.
【点拨】根据交集结果列出方程，求出参数后必须代回原集合检验是否满足元素的互异性.
16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】已知集合，，且，
∴，即，，此时.
又，即或.
若，则，此时，则，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
对应选项B.
【点拨】由交集元素确定参数关系，求出参数后必须检验交集是否恰好为已知集合.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由解得.
又，∴，集合中有个元素.
则集合的子集个数为.
对应选项C.
【点拨】先解一元二次不等式，结合整数集限制求出集合元素，再利用子集个数公式求解.
18.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合，集合中有个元素.
则集合的子集个数为.
对应选项D.
【点拨】列举出集合中的所有整数元素，再根据元素个数计算子集数量.
19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解不等式得.
∵，∴集合，有个元素.
则集合的子集个数为.
对应选项D.
【点拨】解不等式并筛选整数解，熟记个元素的集合有个子集.
20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合，，则符合条件的集合的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合.
∵，∴可能的取值为，即集合.
∵是的真子集，
∴集合的个数为.
对应选项C.
【点拨】真子集个数公式为，注意审题是求真子集个数.
21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合，，则的真子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的对称轴为，顶点为，且过点.
当时，上的点为.
作，的图象，由图可知，的图象与抛物线有个不同的交点.
则有个元素，从而的真子集的个数为.
对应选项D.
【点拨】将集合交集问题转化为两曲线交点个数问题，利用数形结合法画出草图判断交点数.
22.（2026·山东师大附中·3月阶段检测）（单选）已知集合，，则的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合.
.
∴集合，共有个元素.
∴子集个数为.
对应选项C.
【点拨】求函数定义域得到集合B，列举法表示集合A，求交集后计算子集个数.
23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则.
记，则.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
且当时，；时，，.
因此只有一个实数根时，.
由于有且只有个子集，则只有一个元素，故.
对应选项C.
【点拨】集合交集只有一个元素，等价于两函数图象只有一个交点，利用导数研究函数单调性与最值求解.
24.（2024·江西吉安六校协作体·5月联考）（填空）设集合，，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可得，
故的子集个数为.
【点拨】先求出交集中的元素，再利用子集个数公式求解.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合，，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则.
又因为集合，，
∴或，解得或.
∴“”是“”的充分不必要条件.
对应选项A.
【点拨】将交集结果转化为子集关系，求出参数的所有可能值，再判断充分必要性.
26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得或，即.
又，
∴，，，.
对应选项B.
【点拨】解一元二次不等式求出集合B，再结合数轴判断集合间的关系.
27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合，，若，则实数的值为（ 　　）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】∵，，，
∴或，解得或或.
当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，，满足；
当时，，满足.
综上，或.
对应选项C.
【点拨】根据子集关系列出方程，求出参数后必须检验集合元素的互异性.
28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合，，若，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，即，解得.
对应选项C.
【点拨】根据子集定义，集合A中的元素必须都在集合B中，从而建立方程求解.
29.（单选）设，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴集合是由所有奇数的一半组成.
而集合是由所有整数的一半组成，
∴.
对应选项B.
【点拨】通过对表达式变形，分析集合中元素的奇偶性特征，从而判断包含关系.
30.（单选）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合，.
要使，只需，解得.
对应选项A.
【点拨】将集合包含关系转化为区间端点的不等式关系，注意端点值是否能取等号.
31.（多选）若非空集合满足：，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由可得：.
由，可得，则推不出，故选项A错误；
由可得，故选项B正确；
∵且，∴，则，故选项C正确；
由可得：不一定为空集，故选项D错误.
对应选项BC.
【点拨】熟练掌握交集、并集与子集关系的等价转化：，.
32.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】集合.
由可得，则分或或或四种情况.
当时，；
当时，满足，解得；
当时，满足，解得；
当时，显然不符合条件.
∴的值可以为.
对应选项ABD.
【点拨】将并集关系转化为子集关系，特别注意不要遗漏集合为空集的情况.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
33.（2025·河南金科新未来·5月联考）（单选）设集合，，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则必有，同时也满足，故.
对应选项C.
【点拨】根据集合相等对应元素相等，求出参数后验证是否满足所有条件.
34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合只有一个元素，则实数的值是（ 　　）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】集合，表示关于的方程的解集.
当时，解得，则，符合题意；
当时，，解得，此时，符合题意.
综上可得或.
对应选项C.
【点拨】对于含参的一元二次方程解集问题，必须分类讨论二次项系数是否为零.
35.（2025·广东衡水金卷·3月联考）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意得或，
解得或.
当时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，满足集合元素的互异性，故.
【点拨】集合相等需考虑元素对应的两种情况，求出解后务必检验元素的互异性.
36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，
且且且.
或.
当时，且，，.
当时，解得，且，不成立.
综上可得，.
【点拨】同样是集合相等问题，注意利用元素的互异性排除无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
37.（单选）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作. 若集合，则中元素的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则，则中元素的个数为.
对应选项C.
【点拨】理解新定义运算规则，列举出所有可能的和，注意集合元素的互异性进行去重.
38.（单选）定义集合. 已知集合，，则中元素的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，因为，，所以.
对应选项C.
【点拨】与上一题类似，列举求和并去重.
39.（单选）对于集合，定义. 若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，所以.
相当于集合中除去形式的数，其前项包含了个这样的数，所以.
则.
对应选项C.
【点拨】理解差集定义，找出被剔除元素的规律（既是奇数又是被3除余1的数，即被6除余1），从而确定数列中的项.
40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，，.
对于集合，其横坐标，纵坐标.
但当时，只能取，
所以中元素的个数为.
【点拨】列举出集合A和B中的整点，分析横纵坐标相加后的取值范围，注意排除不可能取到的组合.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知均为有限实数集，记中的最大元素为，，若，则（ 　　）
A. B. C. 中所有元素的平均数为 D. 中所有元素的和为
【答案】C
【解析】设中元素有个，所有元素和为，平均数为.
所以，，则，，，故选项A错误；
易得，所以，，故选项B错误；
因为增加的数一定是的倍数，被整除的余数不等，故元素中不会出现重复，所以，所以.
又，两边除以，得，
累加得，所以，故选项C正确；
，所以，故选项D错误.
对应选项C.
【点拨】根据递推关系逐步写出集合元素，寻找最大元素、元素个数及元素和的递推规律.
42.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　）
A. 若，且，则
B. 若，则对任意，都有
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得
【答案】ABC
【解析】A选项，由，可得，，因为，所以，，故A错误；
B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，，，，故B错误；
C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误；
D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确.
对应选项ABC.
【点拨】理解集合“极差”的新定义，结合二次函数的性质、集合的并集运算进行分类讨论.
43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪. 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ 　　）
A. 是一个戴德金分割
B. 没有最大元素，有一个最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为，，故A错误；
对于B，若，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若有一个最大元素，设为，有一个最小元素，设为，则，则，而内也有有理数，则，故C错误；
对于D，若，，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确.
对应选项BD.
【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，结合有理数的稠密性进行判断.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
44.（单选）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用表示集合中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨设，则的值为，显然，，所以集合中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合中至少有7个元素，所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
对应选项D.
【点拨】利用极端假设法和举反例法，结合组合数计算集合元素的最值.
45.（单选）已知集合满足，若，且表示两个不同的“互衬对”，则满足题意的“互衬对”个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为；
当时，集合可以为.
故满足题意的“互衬对”个数为27.
对应选项C.
【点拨】按集合A的元素个数分类讨论，列举出所有满足条件的集合B.
46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足：
①，；
②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
③中所有元素的和分别为，且.
则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由①知构成的一个划分.
由②知中全为奇数，中全为偶数，中包含中所有的倍数.
由③知，设总和为，则.
由于必须是的倍数，故只能是或的形式.
从小到大检验：
若，，，，含的倍数（无），全奇，全偶，无法满足；
若，，，，必含，此时，不符；
若，，，，必含，还需元素和为，只能取，即.剩下奇数给，，不符；
若，，，，必含，此时，不符；
若，，，必含，还需元素和为，可取，此时.剩下奇数给，.剩下偶数给，.满足条件.
故正整数的最小值为.
【点拨】利用集合的划分性质，结合元素和被3整除的特征，从小到大检验n的可能取值.
47.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）（填空）已知集合，，集合的子集，若对于任意的，都有，则符合条件的集合的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】不妨设，再设，，中元素由和有序数组决定.
，，中任意相邻几个之和也不属于，否则会出现.
若中没有，或只有个，则一定有，不符合题意.
若中有个或个，不满足中任意相邻几个之和也不属于，所以中有个.
考虑的排列情况和的取值情况：
若由组成，则的个数为；
若由组成，则的个数为；
若由组成，则的个数为；
若由组成，则的个数为.
故符合条件的集合的个数为.
【点拨】将集合元素的差值转化为差分数列，通过分析差分数列的取值限制，利用排列组合求解.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
48.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于条件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如，集合中有11个元素，
又，
，
则该集合满足条件①②，不符合条件③，
故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为100，最多有10个元素，
例如.
对应选项B.
【点拨】利用极值思想构造满足间距最小的数列，计算其前n项和，从而确定元素个数的上限.
第 2 页，共 17 页第1讲 集合·分类训练
考点一：集合的表示与基本运算 分类训练
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
1.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2025·江西上进·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合，，则＿＿＿＿＿＿.
考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算
9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集及其两个非空真子集，则（ 　　）
A. B.
C. D.
10.（单选）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ 　　）
A. B.
C. D.
11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　）
A. B. C. 集合可能是 D.
12.（2026·湖南天壹名校联盟·5月模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是（ 　　）
A. B. 的真子集个数为
C. D.
13.（2026·浙江温州·二模）（填空）表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集，集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　）
A. B. C. 或 D.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
18.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合，，则符合条件的集合的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合，，则的真子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
22.（2026·山东师大附中·3月阶段检测）（单选）已知集合，，则的子集个数为（ 　　）
A. B. C. D.
23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
24.（2024·江西吉安六校协作体·5月联考）（填空）设集合，，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合，，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合，，若，则实数的值为（ 　　）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合，，若，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
29.（单选）设，，则（ 　　）
A. B. C. D.
30.（单选）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
31.（多选）若非空集合满足：，则（ 　　）
A. B.
C. D.
32.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
33.（2025·河南金科新未来·5月联考）（单选）设集合，，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合只有一个元素，则实数的值是（ 　　）
A. 或 B. C. 或 D.
35.（2025·广东衡水金卷·3月联考）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿.
36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
37.（单选）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作. 若集合，则中元素的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
38.（单选）定义集合. 已知集合，，则中元素的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
39.（单选）对于集合，定义. 若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ 　　）
A. B. C. D.
40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知均为有限实数集，记中的最大元素为，，若，则（ 　　）
A. B. C. 中所有元素的平均数为 D. 中所有元素的和为
42.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　）
A. 若，且，则
B. 若，则对任意，都有
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得
43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪. 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ 　　）
A. 是一个戴德金分割
B. 没有最大元素，有一个最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 没有最大元素，也没有最小元素
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
44.（单选）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用表示集合中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
45.（单选）已知集合满足，若，且表示两个不同的“互衬对”，则满足题意的“互衬对”个数为（ 　　）
A. B. C. D.
46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足：
①，；
②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
③中所有元素的和分别为，且.
则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿.
47.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）（填空）已知集合，，集合的子集，若对于任意的，都有，则符合条件的集合的个数为＿＿＿＿＿＿.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
48.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第1讲 集合·配套讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
1、元素与集合 1
2、集合间的基本关系 2
3、集合的基本运算 3
4、集合的运算性质 3
三、解题通法 4
考点一：集合的表示与基本运算 4
考点二：集合间的关系与参数求解 4
考点三：集合的新定义与综合探究 5
四、典题精讲 5
考点一：集合的表示与基本运算 5
考点二：集合间的关系与参数求解 8
考点三：集合的新定义与综合探究 10
五、高考真题 13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考Ⅰ卷）中属于高频必考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1题或第2题，分值为5分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断.
年份 题号与题型 分值 考查内容
2024年 第1题（单选） 5分 三次不等式与离散集合求交集
2025年 第2题（单选） 5分 正整数集合的补集运算
2026年 第3题（单选） 5分 三角函数求值与交集运算
2. 命题角度与特色
核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定.
命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知识板块的交汇融合.
试题特点：侧重“反套路、重思维”的考查，如2024年与代数高次不等式结合，2026年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功.
3. 备考策略
夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和确定性.
突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力.
数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn图直观分析.
二、知识清单
1.元素与集合
（1） 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
· 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合 ，可知 ，在该集合中；，不在该集合中.
· 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.例如，集合 应满足 .
· 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合 和 是同一个集合.
（2） 元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3） 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn图）.
· 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
· 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
（4） 常见数集和数学符号：
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2.集合间的基本关系
（1） 子集：一般地，对于两个集合 、，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2） 真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3） 相等：如果集合 是集合 的子集（），且集合 是集合 的子集（），此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4） 空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若 ，当 为空集 时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，此情况极易被遗漏，导致漏解.
3.集合的基本运算
（1） 交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，即 .
（2） 并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，即 .
（3） 补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 .
4.集合的运算性质
（1） ，，.
（2） ，，.
（3） ，，.
（4） 德·摩根定律：，.
【知识拓展：子集个数规律】
若有限集 中有 个元素，则：
· 的子集个数为 个.
· 的真子集个数为 个.
· 的非空子集个数为 个.
· 的非空真子集个数为 个.
三、方法总结
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
· 审清代表元素：第一步必须看清竖线前的代表元素是 、 还是有序数对 代表求定义域或解不等式， 代表求值域， 代表求两曲线交点.
· 端点精确取舍：求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于 和被开方数非负.在进行交、并、补运算时，开区间的补集端点为闭，闭区间的补集端点为开.
考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算
· 德·摩根定律降维：面对复杂的补集与交并集混合运算，如 ，应优先利用德·摩根定律将其转化为 进行化简.
· Venn图直观定位：对于离散型数集，画出Venn图，从最内层的多个集合交集区域开始，由内向外逐层推算并填入各个区域的元素.
· 容斥原理公式：解决集合基数（元素个数）问题时，直接应用公式 .
考法3：已知集合运算结果逆求参数
· 代入、求解、检验三步法：先根据交集结果将已知元素代入集合中列方程求解，求出参数的所有可能值后，必须代回原集合，检验是否满足元素的互异性，并确认交集结果是否恰好为已知集合.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
· 等价转化交点问题：集合交集只有一个元素，等价于两曲线图象只有一个交点.常利用分离参数法转化为方程唯一解问题，结合导数研究单调性或数形结合求解.
· 熟记子集计数公式：直接套用 或 计算子集或真子集个数.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
· 等价转化子集关系：熟练掌握： ； .
· 空集排雷：处理 且 含有参数时，必须首先分类讨论 的情况（如方程判别式 或一次项系数为 导致无解），切记不能漏掉空集.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
· 对应分类讨论：根据两个集合相等，对应元素相等列出方程组.由于对应关系不唯一，需要分情况讨论.
· 互异性排雷：解出参数的所有可能值后，必须代回原集合中检验是否有重复元素，排除无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
· 规则翻译与试算：面对抽象新定义，先用具体数进行试算以理解运算规则.对于坐标或和差新定义，通过确定两个自变量范围，用枚举法或排除法列出所有可能组合，再利用互异性去重.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
· 性质推导与构造反例：新定义性质判定中，若涉及区间最值，需结合二次函数等在动区间上的最大、最小值进行作差分析.判断全称命题时，善于构造特殊的极值反例来快速排除错误选项.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
· 利用整除性缩小范围：当集合划分涉及元素和相等时，首要切入点是计算总和 ，利用其必须被相应组数整除的特征，过滤并确定参数 的取值边界，进而采用“从小到大”的枚举验证.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
· 极端构造法：若新定义限制了集合元素之间的差值（间距），要求元素个数最多，应使元素尽可能小且排列紧密.通常构造首项为最小自然数的等差数列模型，利用求和公式确定元素个数的上限.
四、典题精讲
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
例1.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】求解集合运算问题，第一步永远是看清集合的“代表元素”.集合A的代表元素是，且，所以集合A实质上是求二次函数的值域；集合B的代表元素是，实质上是解指数不等式.分别求出两个集合的区间表示后，再利用数轴求交集即可.
【解析】.
.
∴.
对应选项A.
【规律】求解此类问题时，第一步看清代表元素是还是（区分是求定义域还是值域）；第二步分别求出定义域、值域或不等式的解集，将其化为最简形式（通常表示为区间）；第三步利用数轴求交集或并集，注意端点值的取舍.
考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算
例2.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　）
A. B.
C. 集合可能是 D.
【答案】BCD
【思路】面对复杂的补集与交并集混合运算，首先想到利用德·摩根定律进行化简.题目中给出的可以直接转化为，从而轻松求出.结合已知的交集结果，我们就可以在全集范围内逐一判定各个元素的归属，进而对选项进行判断.
【解析】由题意知，
∴.
对于A，∵，且，∴，A选项错误；
对于B，∵，∴，B选项正确；
对于C，已知，这意味着既属于A又属于B.若，当时，，，，此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，∵，又，∴，D选项正确.
对应选项BCD.
【规律】处理复杂集合运算时，常利用德·摩根定律进行降维化简：，.结合Venn图，将全集中的元素逐一填入对应的区域，是解决此类交并补混合运算最直观的方法.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
例3.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【思路】已知交集结果为，说明元素元素必然同时属于集合A和集合B.我们可以分别让集合A和集合B中含参的元素等于2，从而建立方程求解.求出参数后，千万别忘了代回原集合进行检验，看看是否满足集合元素的互异性，以及交集是否恰好为.
【解析】已知集合，，且，
∴，即，，此时.
又，即或.
若，则，此时，则，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
对应选项B.
【规律】逆向求参数问题的核心步骤：
一“代”：根据交集或并集的结果，确定已知元素，将其代入含参集合列出方程；
二“解”：求解方程，得到参数的所有可能取值；
三“验”：将求得的参数代回原集合，检验是否满足元素的互异性，以及运算结果是否与题意完全一致.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
例4.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】集合有且只有2个子集，这意味着交集里面只有1个元素.从图形上看，集合A和B分别代表指数函数和直线的图象，交集只有1个元素等价于这两个函数的图象只有一个交点.我们可以将问题转化为方程有唯一解的问题，利用导数研究函数的单调性和极值，从而确定参数的值.
【解析】令，则.
记，则.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
且当时，；时，，.
因此只有一个实数根时，.
由于有且只有个子集，则只有一个元素，故.
对应选项C.
【规律】含有个元素的集合，其子集个数为，真子集个数为.当遇到函数图象交点与集合交集元素个数结合的问题时，常转化为方程根的个数问题.处理含参方程根的个数，最通用的方法是分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性与极值求解.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
例5.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【思路】题目给出，这实际上是隐晦地告诉我们集合是集合的子集.我们可以先解一元二次方程求出集合A的所有元素.在求参数时，一定要警惕一个极易被忽略的陷阱——集合可能为空集.我们需要分为空集和非空集两种情况进行全面讨论.
【解析】集合.
由可得，则分或或或四种情况.
当时，；
当时，满足，解得；
当时，满足，解得；
当时，显然不符合条件.
∴的值可以为.
对应选项ABD.
【规律】处理集合包含关系求参数时，必须牢记“空集是任何集合的子集”.首先进行关系转化：，.其次进行分类讨论，优先考虑子集为空集的情况，再考虑子集非空的情况，避免漏解.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
例6.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】两个集合相等，意味着它们包含的元素完全一样.观察集合A and B，两者都有元素，那么剩下的元素必须对应相等.由于对应关系不唯一，我们需要分情况列出方程组.解出参数后，互异性是检验解是否有效的唯一标准，必须将解代回原集合看是否有重复元素.
【解析】∵，
∴且且且.
∴或.
当时，∵且，∴，∴.
当时，解得，∵且，∴不成立.
综上可得，.
【规律】解决集合相等问题，通常根据元素对应相等列出方程组.由于对应方式可能有多种，需要进行分类讨论.解出参数后，务必将参数代回原集合，利用集合元素的互异性进行排雷检验，剔除产生重复元素的无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
例7.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】面对新定义运算，首先要“翻译”规则.本题的新运算实质是将两个集合中点的横纵坐标分别相加.我们可以先利用列举法找出集合A和B中的所有整点，然后分析相加后横纵坐标的整体取值范围.由于某些极端坐标的组合可能无法同时取到，最后需要用排除法剔除这些不可能的组合.
【解析】由题意，，.
对于集合，其横坐标，纵坐标.
但当时，只能取，
所以中元素的个数为.
【规律】解决新定义集合运算问题的关键是“读懂规则，举例试算”.对于坐标类或求和类新运算，通常先确定各部分的最值范围，得到一个宽泛的可能集合，再利用枚举法或排除法确定最终元素的个数，计算过程中要特别注意集合元素的互异性，做好去重工作.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
例8.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　）
A. 若，且，则
B. 若，则对任意，都有
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得
【答案】ABC
【思路】题目定义了一个集合的“极差”概念.我们需要将这个新定义逐一应用到各个选项中.对于A选项，直接计算极差即可；对于B选项，极差为2只能说明端点在集合内，中间的点不一定在，可以尝试构造反例；对于C选项，涉及二次函数在动区间上的极差，需要结合对称轴和区间端点分类讨论求最大值和最小值；对于D选项，考查并集的极差，只需让两个区间重合或包含即可.
【解析】A选项，由，可得，，因为，所以，，故A错误；
B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，，，，故B错误；
C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误；
D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确.
对应选项ABC.
【规律】处理新定义性质判断题，需严格按照定义进行逻辑推演.若涉及函数的最值差（极差），需结合函数的单调性、对称性进行分类讨论；在判断全称命题（“对任意……”）真假时，善于构造特殊的极值反例来快速排除错误选项.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
例9.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足：
①，；
②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
③中所有元素的和分别为，且.
则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】题目要求将集合划分成三个互不相交的部分，且三部分的元素和相等.这意味着中所有元素的总和必须是3的倍数.我们可以利用这个必要条件，先写出总和公式，通过整除性质缩小的取值范围.然后采用从小到大逐一验证的方法，结合奇偶性和3的倍数等条件，直到拼凑出满足所有条件的最小正整数.
【解析】由①知构成的一个划分.
由②知中全为奇数，中全为偶数，中包含中所有的倍数.
由③知，设总和为，则.
由于必须是的倍数，故只能是或的形式.
从小到大检验：
若，，，，含的倍数（无），全奇，全偶，无法满足；
若，，，，必含，此时，不符；
若，，，，必含，还需元素和为，只能取，即.剩下奇数给，，不符；
若，，，，必含，此时，不符；
若，，，必含，还需元素和为，可取，此时.剩下奇数给，.剩下偶数给，.满足条件.
故正整数的最小值为.
【规律】当集合划分问题涉及元素和相等时，首要切入点是计算所有元素的总和，利用总和的整除性质过滤参数的可能取值.随后采用“从小到大”的枚举验证法，结合集合元素的特定属性（如奇偶性、倍数关系）进行分配试探.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
例10.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】题目要求集合元素个数最多，且元素之间差的绝对值至少为2.为了在总和为100的限制下塞入尽可能多的元素，我们应该让这些元素尽可能小，且排列尽可能紧密.这自然引导我们构造一个首项为0、公差为2的等差数列来进行极值探究，算出前几项和，从而确定元素个数的上限.
【解析】对于条件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}，集合中有11个元素，
又，
，
则该集合满足条件①②，不符合条件③，
故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为100，最多有10个元素，
例如.
对应选项B.
【规律】求解集合元素个数的最值问题，常采用“极端假设法”.为了使元素个数最多，应使集合中的元素尽可能小且紧凑，通常构造等差数列模型，利用求和公式确定边界条件.
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）（单选）已知集合，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】化简集合，由交集的概念即可得解.
∵，且注意到，
∴.
故选：A.
2.（2025·全国一卷）（单选）设全集，集合，则中元素个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据补集的定义即可求出.
∵，
∴，中的元素个数为.
故选：C.
3.（2026·全国一卷）（单选）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
，
，
∴集合.
又，
∴.
故选：C.
第 2 页，共 17 页第1讲 集合·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B C D D B
6 7 8 9 10
B B D AC ABD
11 12 13 14 15
BC 或 （1）①是，②是，③不是 （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析
16 17 18 19
（1） （2）证明见解析 （3）当时，和为；当时，和为 （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1）不能，理由见解析 （2）不能，理由见解析 （3）①，；②， （1） （2）
逐题详解
1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】虚数不能比较大小，，，故.
【点拨】复数比较大小的陷阱.虚数不能比较大小，只能比较模长.
2.（2026·泰山教育·4月模拟）集合的真子集的个数为（ 　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】C
【解析】，，且，.
，可取.
当时，；
当时，；
当时，.
集合.
集合中含有3个元素，其真子集的个数为.
【点拨】求集合的真子集个数时，需先通过列举法确定集合中的元素，注意不要遗漏的情况.
3.（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，故A正确；
对于任意，则，又，，，故B正确；
若，则，又，则，则，与矛盾，，同理，故，故C正确；
若时，可得不成立，故D错误.
【点拨】利用集合的交、并、补运算性质进行推理，可借助韦恩图辅助分析，直观判断各区域的元素归属.
4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解可得，，
.
【点拨】解对数不等式时，务必注意对数函数的定义域，即真数大于0这一隐含条件.
5.（2025·河北·联考）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，由，得，
集合，
易知，
.
【点拨】集合求的是函数的定义域，集合求的是函数的值域，明确集合元素的属性是解题的关键.
6.（2026·强基联盟·3月联考）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ 　　）
A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位
【答案】B
【解析】参加竞赛的总人数：（位），
根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：（位）.
【点拨】利用容斥原理解决集合的基数问题，公式为.
7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集，，，，，那么为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
.
【点拨】理清数系之间的包含关系，实数集与虚数集互为复数集中的补集，有理数集与无理数集互为实数集中的补集.
8.（2026·湖北·5月模拟）已知集合，且，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可知或；
当时，即，此时，不能满足题意；
当时，解得或（舍），
时，，满足题意，
故.
【点拨】处理集合包含关系时，分类讨论后必须代入原集合检验，确保满足集合元素的互异性.
9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若集合，则
B. 若集合，则
C. 若集合，则
D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为, 的最大值为，则
【答案】AC（全部选对得6分，部分选对得部分分）
【解析】选项A，，A正确；
选项B，解方程得：，二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误；
C选项，设，求导得，
时，递增；时，递减；
最大值，且，一个零点；
又，另一个零点，
则，C正确；
选项D，集合元素差为3或8，均小于11，因此可将按每11个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可，
时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和；
每组（第组，）的和为，时总和：
，
，D错误.
【点拨】本题是集合新定义与数列、导数、组合最值的综合.处理新定义问题需紧扣“模”的定义，将其转化为求和问题.
10.（2025·广东六校·5月联考）设有有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ 　　）
A. 集合不是“可拆等和集”
B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
【答案】ABD（全部选对得6分，部分选对得部分分）
【解析】对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列，
且.
所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求；
当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求.
综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确；
对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得，
此时因集合已含有元素2，故舍去；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有.
综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确；
对于C项，将中所有元素同时除以后可得，
根据等比数列前项和公式，可得.
，，，有.
当时，中所有元素之和也小于，
不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足；
当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误；
对于D项，易知集合中的元素个数为，，
根据等差数列的性质可知，，，
共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组.
从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中；
又，则，
而，
不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确.
【点拨】理解“可拆等和集”的本质是集合元素能平分为和相等的两部分.对于等比数列，最大项大于其余所有项之和，故不可能平分.
11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BC（全部选对得6分，部分选对得部分分）
【解析】由可得：，
由，可得，则推不出，故选项A错误；
由可得，故选项B正确；
且，，则，故选项C正确；
由可得：不一定为空集，故选项D错误；
故选BC.
【点拨】将集合的交并运算转化为子集关系是解题关键，即，.
12.（2024·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】或
【解析】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或.
【点拨】对于一元二次方程形式的集合元素个数问题，切忌忽略二次项系数为0的情况.
13. 2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人. 其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
【点拨】利用韦恩图解决集合基数问题，从三个集合的交集开始，由内向外逐层推算各区域的人数.
14.（2024·湖北· 二模）已知为包含个元素的集合．设为由的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，集合中共有7个元素，从中任取两个不同的元素共有对.
集合中的每一个三元子集包含对不同的元素.
中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，
集合中三元子集的个数为.
【点拨】将集合问题转化为组合计数问题，通过计算元素对的总数与每个子集包含的元素对数，利用除法即可求得子集个数.
15.（13分）（2026·山东·5月联考）对于集合 ,定义 ,若 ,则称为理想集.例如,不是理想集,而是理想集.
（1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由;
① ;② ;③ .
（2）若存在个非空理想集 ,且,使得,则称是可分的,记.
（i）证明:;
（ii）证明:.
【答案】（1）①是，②是，③不是
（2）（i）证明见解析
（ii）证明见解析
【解析】（1） ① 是理想集；② 是理想集；③ 不是理想集. 3 分
（2） （i） 证明：.
取，
则，
故. 6 分
（ii） 证明：.
集合①②是理想集，③不是理想集.
（i）构造集合，
或者构造. 8 分
（ii） 若存在个非空理想集，且，使得，
则对于，取，其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合.
取，此时存在个非空理想集，
且，使得. 10 分
设，则有，则，
，于是，
即. 11 分
于是，
当时，成立； 12 分
当时，.
综上所述，. 13 分
【点拨】本题考查集合新定义与数列不等式证明的综合.处理递推关系时，通过构造等比数列式求出通项下界，再利用裂项放缩法证明不等式.
16.（15分）（2026·山东济南·二模）给定正整数,集合满足对于任意,都存在,使得.
（1）若,且,求;
（2）证明:对于任意,都有;
（3）若,且,求集合中所有元素的和.(用含有的式子表示)
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）当时，和为；当时，和为
【解析】（1） 对于或或时命题显然成立，
又，解得或或，
结合题意可得. 3 分
（2） 当时，命题显然成立.
当时，若既不是中最大的元素，也不是中最小的元素，
不妨设为中的最大元素，为中最小的元素，
则且，，等号成立当且仅当，
故矛盾！
故为中的最大元素或最小元素. 6 分
若为最大元素，则，有，故，
同理可得，若为最小元素，.
命题得证. 8 分
（3） 若，，，故是中最小元素，
下证成等差数列.
，故成立时，
有，成等差数列. 10 分
若，对于成立，
，
即，
故成立时，，
而中，两个元素的最大差值为，
，故，
即，从而有.
从而，对于成立.
故时，中元素之和为. 13 分
当时，为最大元素，同理可证为等差数列，
其中，故此时中元素之和为.
综上所述，当时，中元素之和为；当，中元素之和为. 15 分
【点拨】处理集合元素的距离问题，关键在于利用最值元素的性质.通过反证法确定是最值，再利用数学归纳法证明集合元素构成等差数列.
17.（15分）（2025·燕博园·3月联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
（1）当，时，直接写出的“相邻元”；
（2）当，时，求证：是“好数”；
（3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1） 的“相邻元”为：. 3 分
（2） ，.
设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”.
设，构造，则集合中的元素个数为. 6 分
对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个，
满足，从而在集合中至少有8个“相邻元”，
所以是“好数”. 9 分
（3） 设，.
①当时，集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”.
设，则中含有个元素.
设，.
则中含有个元素，. 并且两两交集为空集.
设，则共有：个元素. 12 分
②对于，有在每一个 ()中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设，，且均是的“相邻元”.
由于，则与，不同元素在前位，且后位相同，即，，后位相同.
设与不同位置为，即；与不同位置为，即.
当相同时，又中与差为1的只有一个数，则.
当时，，.
在每一个中，至多有一个“相邻元”. 14 分
③不能在，中均有“相邻元”，. 下面证明该结论：
元素中第，，，都是中元素.
中第，，都是中元素.
故，中至少有3个元素属于不同的和.
所以不存在，，均是的“相邻元”.
由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”. 15 分
【点拨】理解“相邻元”即为曼哈顿距离为1的向量.通过构造特定集合的补集，计算补集中元素相邻元的个数，运用容斥原理和抽屉原理进行证明.
18.（17分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.
（1）判断集合，是否构成一个戴德金分割，并说明理由；
（2）在一个戴德金分割中，能否出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况？请说明理由；
（3）请分别举出一个戴德金分割的具体例子，使得：①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素.
【答案】（1）不能，理由见解析
（2）不能，理由见解析
（3）①，；②，
【解析】（1） 集合，不能构成一个戴德金分割.
理由：，但且，，不满足戴德金分割的定义. 5 分
（2） 在一个戴德金分割中，不能出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况.
理由：假设有一个最大元素，有一个最小元素，
中的每一个元素都小于中的每一个元素，.
，，且.
，或.
若，则与是的最大元素矛盾；
若，则与是的最小元素矛盾.
故假设不成立. 10 分
（3） ①令，.
此时，，且中任意元素小于中任意元素.
没有最大元素，有最小元素1. 13 分
②令，.
此时，，且中任意元素小于中任意元素.
是无理数，没有最大元素，也没有最小元素. 17 分
【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，即利用有理数集的划分来定义实数.有理数的稠密性决定了不可能同时存在最大和最小元素.
19.（17分）对于集合，定义．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列.
（1）写出集合中的元素组成的集合（用描述法表示）；
（2）求与的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 集合表示所有正奇数，即.
集合表示被3除余1的非负整数，即.
设，则存在，使得，即.
和互质，必须是的倍数，设 ().
则 ().
集合中的元素组成的集合为. 6 分
（2） 集合表示在集合中但不在集合中的元素，即正奇数中剔除被3除余1的数.
，即.
集合中的元素依次为.
剔除中的元素后，得到的元素依次为：. 10 分
观察发现，数列的项可以分组，每组2个元素，第组的元素为 ().
，是第组的第个元素，即时的.
. 13 分
，是第组的第个元素，即时的.
. 17 分
【点拨】处理集合差集与数列结合的问题，关键是找出集合元素的周期性规律.通过列举前几项，发现每6个连续整数中包含2个目标元素.
第 2 页，共 17 页第1讲 集合·综合测试
注意事项
1. 本卷为综合测试卷，建议用时120分钟，满分150分. 答题前请先通览全卷，合理分配时间.
2. 答题时注意审清题意，挖掘隐含条件，避免因审题不清导致失分. 遇到卡壳的题目先跳过，完成会做的题目后再回头思考.
3. 完成试卷后务必检查：选择题是否漏选、错位，填空题答案是否化简到最简形式，解答题关键步骤是否完整.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数，，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·泰山教育·4月模拟）集合的真子集的个数为（ 　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3.（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2025·河北·联考）已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·强基联盟·3月联考）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ 　　）
A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位
7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集，，，，，那么为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·湖北·5月模拟）已知集合，且，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若集合，则
B. 若集合，则
C. 若集合，则
D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值
不等于3，也不等于8，若的最大值为, 的最大值为，则
10.（2025·广东六校·5月联考）设有有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ 　　）
A. 集合不是“可拆等和集”
B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等
和集”
D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ 　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2024·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为＿＿＿＿＿＿.
13. 2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人. 其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿.
14.（2024·湖北·二模）已知为包含个元素的集合．设为由的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东·5月联考）对于集合 ,定义 ,若 ,则称为理想集.例如,不是理想集,而是理想集.
（1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由;
① ;② ;③ .
（2）若存在个非空理想集 ,且,使得,则称是可分的,记.
（i）证明:;
（ii）证明:.
16.（15分）（2026·山东济南·二模）给定正整数,集合满足对于任意,都存在,使得.
（1）若,且,求;
（2）证明:对于任意,都有;
（3）若,且,求集合中所有元素的和.(用含有的式子表示)
17.（15分）（2025·燕博园·3月联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
（1）当，时，直接写出的“相邻元”；
（2）当，时，求证：是“好数”；
（3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”.
18.（17分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.
（1）判断集合，是否构成一个戴德金分割，并说明理由；
（2）在一个戴德金分割中，能否出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况？请说明理由；
（3）请分别举出一个戴德金分割的具体例子，使得：①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素.
19.（17分）对于集合，定义．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列.
（1）写出集合中的元素组成的集合（用描述法表示）；
（2）求与的值.
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