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第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
（第1课时）
1．理解正方形的定义；
2．掌握正方形的性质；
3．能运用性质解决正方形的计算与证明问题．
1．说一说矩形的性质？
（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）边：对边平行且相等．
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
2．说一说菱形的性质？
（1）角：菱形的对角相等．
（2）边：菱形对边平行且四条边都相等．
（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形．
对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形．
正方形既是有一组邻边相等的矩形，
也是有一个角是直角的菱形．
因此
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
正方形既是特殊的平行四边形，
平行四边形
矩形
菱形
正方形
也是特殊的矩形、菱形，
探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论．
（1）边：四条边相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD．
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，
AO＝BO＝CO＝DO．
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系．
有一组邻边相等
矩形
菱形
正方形
平行四边形
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角且有一组邻边相等
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
正方形
平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系
正方形的定义
正方形的性质
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十三课时《21.3.3 正方形（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在矩形、菱形知识之后，是平行四边形知识体系的归纳与升华．正方形兼具矩形、菱形的全部特征，既是前面内容的综合汇总，也是梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形从属关系的关键内容．本课依托矩形、菱形的已有知识推导正方形定义与性质，实现知识的融会贯通，既巩固之前所学的边、角、对角线相关定理，又完善特殊四边形的知识框架．通过本节课学习，学生理清从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的一般到特殊的演变逻辑，内化类比、转化思想，提升综合推理能力，也为后续几何综合题型、中考几何题型的学习铺垫基础，在整章四边形内容中起到收官整合的作用．
学习者分析 学生已经扎实掌握平行四边形、矩形、菱形的定义与性质，熟悉特殊四边形的探究思路，具备基础的几何证明能力．学生在生活中频繁接触正方形实物，有直观认知，但不易理清四类四边形之间的包含关系，容易混淆正方形与矩形、菱形的性质边界．在综合运用性质解题时，难以灵活选用矩形或菱形的相关结论推导正方形问题，几何推理时条件选用易出现疏漏，需要依托从属关系框图对比辨析，借助例题实操加深理解．
教学目标 1．理解正方形的定义； 2．掌握正方形的性质； 3．能运用性质解决正方形的计算与证明问题．
教学重点 理解正方形定义，掌握正方形边、角、对角线的全部性质，能用性质完成基础证明与计算．
教学难点 厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，灵活综合多种四边形性质解决几何证明．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解正方形的定义； 2．掌握正方形的性质； 3．能运用性质解决正方形的计算与证明问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说矩形的性质？ 答案：（1）角：矩形的四个角都是直角． （2）边：对边平行且相等． （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 2．说一说菱形的性质？ 答案：（1）角：菱形的对角相等． （2）边：菱形对边平行且四条边都相等． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 回顾矩形与菱形的各项性质，搭建新旧知识桥梁，借助两种图形特征启发学生思考兼具二者特点的图形，自然引出正方形，渗透从一般到特殊的几何探究思路，激发探究新知的欲望．环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形． 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论． 预设：（1）边：四条边相等． （2）角：四个角都是直角． （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分． （4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线． 例：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O． 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD． ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， AO＝BO＝CO＝DO． ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系． 学生活动3： 学生小组合作探究后班内交流，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 新知依托矩形、菱形性质推导正方形定义与性质，理清四类四边形从属关系，完善知识体系；例题借助对角线证明，巩固性质应用，引导学生整合矩形、菱形结论解题，渗透类比思想，提升综合推理与几何论证能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.3 正方形（第1课时）一、正方形的定义 二、正方形的性质 三、平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．正方形具有，而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 答案：C 2．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 答案： 3．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 选做题： 4．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 解：（1）， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）设， ， ， ， 平分， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 答案：A 2．在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 答案：边长 3．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 选做题： 4．关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 解：（1）， 证明：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴．
教学反思 本课依托矩形、菱形引出正方形，多数学生能识记正方形性质．但部分学生对四类四边形的包含关系梳理模糊，解题时不会灵活选用矩形或菱形定理推导正方形结论．后续教学可增加关系结构图对比练习，补充分层变式题，强化性质的综合应用训练，通过归类题型帮助学生找准解题切入点，完善知识体系．
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同步探究学案
课题 21.3.3 正方形（第1课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解正方形的定义； 2．掌握正方形的性质； 3．能运用性质解决正方形的计算与证明问题．
重点 理解正方形定义，掌握正方形边、角、对角线的全部性质，能用性质完成基础证明与计算．
难点 厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，灵活综合多种四边形性质解决几何证明．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说矩形的性质？ 2．说一说菱形的性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平行四边形、矩形和菱形，研究正方形的定义和性质。 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边________，而且有一个角是_______，那么它就是正方形． 正方形既是有一组邻边相等的______，也是有一个角是直角______． 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论． 例：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．正方形具有，而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 3．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 选做题： 4．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 2．在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 3．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 选做题： 4．关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 5．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长．
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