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21.3.3 正方形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（ ）
A． B．4 C． D．8
2．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
4．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
5．如图，在菱形中，、相交于点，、分别为和上的点（不与点、、重合）．其中．过点作，分别交、于点、；过点作分别交、于点、；连接、，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着长度的变化，始终成立．
乙：随着长度的变化，四边形可能为正方形．
丙：随着长度的变化，四边形的面积始终不变，都是菱形面积的一半．
下列选项正确的是（　　）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对
二、填空题
6．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ．
7．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______．
8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____．
9．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米．
10．如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____．
三、解答题
11．如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数．
12．如图1，为等腰直角三角形，，F是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、．
(1)线段，的关系是__________；
(2)将图1中的正方形，放置于如图2的情形．交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将图1中的正方形，放置于如图3的情形．，，点E恰好落在边上，求正方形的边长．
答案与解析
21.3.3 正方形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可．
解：设正方形边长为，
，即，
解得（负值已舍去），
故正方形的周长为．
2．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【解析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案．
解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等，
∴A错误；
∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误；
∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确；
∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误．
4．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】本题考查正方形与平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
平行四边形的通用性质为：对边平行，对角相等，对角线互相平分，通过对比性质逐一判断即可得到答案．
解：A.对边平行，正方形和平行四边形都具有，不符合题意；
B.对角相等，正方形和平行四边形都具有，不符合题意；
C.对角线互相平分，正方形和平行四边形都具有，不符合题意；
D.正方形的对角线互相垂直平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，则对角线互相垂直是正方形具有而平行四边形不一定具有的性质，符合题意．
5．如图，在菱形中，、相交于点，、分别为和上的点（不与点、、重合）．其中．过点作，分别交、于点、；过点作分别交、于点、；连接、，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着长度的变化，始终成立．
乙：随着长度的变化，四边形可能为正方形．
丙：随着长度的变化，四边形的面积始终不变，都是菱形面积的一半．
下列选项正确的是（　　）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对
【答案】C
【解析】连接，交于点，根据轴对称的性质得出，，，，，过点作于点，过点作于点，证明得出，即可判断甲，进而得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可判断丙，反证法证明四边形不可能是正方形，即可求解．
解：如图所示，连接，交于点，

∵四边形是菱形，，，
∴，
根据菱形是轴对称图形，是，的垂直平分线，
∴，，，，
∵，，
∴，
如图所示，过点作于点，过点作于点，

则四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
即，故甲正确；
∵，又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即四边形的面积始终不变，都是菱形面积的一半，故丙正确；
同理可得，是平行四边形，
∴，
∵当是正方形时，则，
∴，
则四边形是正方形，
∵，
∴四边形不是正方形，即四边形不可能是正方形，故乙错误，
故选：C．
二、填空题
6．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ．
【答案】
【解析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得，再根据勾股定理算出，因为，所以，再在中，运用勾股定理列式计算，即可作答．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形对角线互相平分且相等，
∴
∴，
∴，
则，
∵，
∴在中，，
故答案为：．
7．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______．
【答案】
【解析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴．
8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____．
【答案】
【解析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．
如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可．
解：如图1，图2中，连接．
图1中，∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，∵四边形是正方形，
，
∴是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
9．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米．
【答案】
15
解：连接，
四边形为正方形，
∴垂直平分，
∴，
∵米，
∴米．
10．如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，连接，根据三角形中位线定理得，证明，根据全等三角形的性质推出，最后根据勾股定理可得答案．
解：如图，过点作于点，连接，
∴，
∵点、分别是、的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵在正方形中，，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴正方形的边长为．
三、解答题
11．如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数．
【答案】
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，根据题意得到，证明，求出，再由三角形内角和定理即可得到答案．
解：四边形是正方形，是对角线上一点，
．
又，
．
．
．
12．如图1，为等腰直角三角形，，F是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、．
(1)线段，的关系是__________；
(2)将图1中的正方形，放置于如图2的情形．交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将图1中的正方形，放置于如图3的情形．，，点E恰好落在边上，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)
【解析】对于（1），延长交于点G，根据等腰直角三角形和正方形的性质证明，可得答案；
对于（2），仿照（1）解答即可；
对于（3），作，连接，根据题意得，，再设，则，求出，即可得，然后根据列出方程，求出解可得，最后根据勾股定理可得答案．
解：（1）
∵为等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
延长交于点G，
∵，
∴．
∵，且，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
（2）成立，
证明：∵为等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
∵，
∴.
∵，且，
∴，
∴，
即.
故，；
（3）过点E作，交于点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
在中，，
设，则,
∴．
在中，，
∴,
由，
∴，
解得，
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理，得，
解得．
所以正方形的边长为．
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