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21.3.3 正方形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．
B．
C．，，
D．，
2．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
3．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形菱形矩形 B．矩形正方形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形 D．平行四边形正方形平行四边形
4．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（ ）

A．一定会出现平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当，且时四边形为正方形
D．当，且时，四边形为菱形
5．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（ ）
；；；；
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形．
7．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________．
8．如图，在四边形中，，垂足为点．若四边形的面积为13，则__________．

9．在中，对角线与相交于点O．
（1）如果，那么一定是_________形；
（2）如果，那么一定是_________形；
（3）如果，那么一定是_________形
10．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论：
①连接，则有；
②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形；
③连接，相交于点，则；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有__________．
三、解答题
11．如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形．
12．【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形．请给出其证明．
【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究：
(2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明．
答案与解析
21.3.3 正方形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．
B．
C．，，
D．，
【答案】D
【解析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式：
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、不能判定为特殊的四边形；
B、只能判定为矩形；
C、只能判定为菱形；
D、能判定为正方形；
故选：D．
2．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
【答案】C
【解析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案．
解：A、∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形菱形矩形 B．矩形正方形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形 D．平行四边形正方形平行四边形
【答案】B
【解析】此题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决问题的关键．
根据得四边形是平行四边形，再根据得平行四边形是矩形，由此得在点的运动过程中，四边形始终是矩形，只有当时，矩形是正方形，据此即可得出答案．
解：∵
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
在点的运动过程中，四边形始终是矩形，
当时，矩形是正方形，
四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形．
故选：B．
4．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（ ）

A．一定会出现平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当，且时四边形为正方形
D．当，且时，四边形为菱形
【答案】A
【解析】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形、正方形和菱形的判定．先证明和，推出四边形是平行四边形，再根据矩形，菱形和正方形性质和判定定理逐一证明判断即可．
解：当时，
∵、、都是等边三角形；
∴，
，
∴，
故，
∵，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵当时
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意；
∵，
∴，
∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意；
∵，且，
∴，
∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意；
当，
∴，
即D，A，F三点在同一直线上，
∴四边形不存在，
故A不正确，选项A符合题意；
故选：A．
5．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（ ）
；；；；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可．
解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误；
平行四边形中，
∵，
四边形是矩形，故②正确；
平行四边形中，
∵，
四边形是矩形，不是菱形，故③错误；
矩形中，
∵，
四边形是正方形，故④正确；
菱形中，
∵，
四边形是正方形，故⑤正确；
综上，正确的有②④⑤共3个．
二、填空题
6．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形．
【答案】有一组邻边相等
【解析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键．
先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案．
解：如图所示：
在矩形中，，
由折叠性质可得，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），
故答案为：有一组邻边相等．
7．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________．
【答案】正方形
【解析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
解：如图所示：
在中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，，．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
设与交于点，与交于点，
在中，，分别是，的中点，
∴，同理，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形
8．如图，在四边形中，，垂足为点．若四边形的面积为13，则__________．

【答案】
【解析】作于F，如图，易得四边形为矩形，再证明得到，，则可判断四边形为正方形，四边形的面积=四边形的面积，然后根据正方形的面积公式计算的长．
解：作于F，如图，
，，
∴四边形为矩形，
，
即，
，
即，
，
在和中，
，
，
，，
∴四边形为正方形，
四边形的面积=四边形的面积，
四边形的面积为13，
．
故答案为：．
9．在中，对角线与相交于点O．
（1）如果，那么一定是_________形；
（2）如果，那么一定是_________形；
（3）如果，那么一定是_________形
【答案】 矩 菱 正方
解：（1）在中，根据三角形内角和可得，
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形；
（2），，
，即，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；
（3）四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，
又，
∴根据对角线相等的菱形是正方形，可得是正方形．
10．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论：
①连接，则有；
②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形；
③连接，相交于点，则；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有__________．
【答案】①③④
【解析】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可．
解：如图：连接，
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，故①正确；
∴，故③正确；
∴，若，则，故④正确；
∵，，
∴，
∴四边形不是正方形，故②错误，
综上可知，正确的有①③④．
三、解答题
11．如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质得到，从而证明四边形是矩形，再结合即可得证．
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
12．【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形．请给出其证明．
【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究：
(2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，理由见解析
【解析】（1）根据平分以及是的外角平分线，可得，即可；
（2）证明，即可解答．
解：（1）证明：如图，
，，
平分，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
（2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，证明如下：
在中，平分，
，
∵，
∴，
，
又四边形是矩形，
矩形为正方形．
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