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第一单元　预备知识
知识网络
第1讲　集合
【备选理由】 例1是集合的实际应用题,通过集合中元素个数的计算,解决实际问题;例2考查利用集合的运算求参数范围;例3考查集合的交集运算,以及指数不等式与对数不等式的应用;例4是新定义问题,意在提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
1 [配合探究点二使用] [2025·四川雅安期末] 某班有学生56人,同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人,同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人,同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组,则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.20 B.21 C.23 D.25
[解析] 如图,设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x,只参加其中一个小组的人数为y, 则(32-x)+(25-x)+(22-x)+x+y=56,即y=2x-23.因为x≤22,所以y≤21.故选B.
2 [配合探究点三使用] [2026·重庆九龙坡区质检] 已知集合 M={x|0A.[5,+∞) B.(5,+∞)
C.[3,+∞) D.(3,+∞)
[解析] 由x2-6x+5<0,可得(x-5)(x-1)<0,解得13 [配合探究点三使用] [2026·浙江宁波期末] 已知集合A={x∈N*|2x≤8},B={x∈Z|ln(x-1)≥0},则A∩B= ( C )
A.{1,2} B.{1,3}
C.{2,3} D.{1,2,3}
[解析] 由题意得,A={x∈N*|2x≤8}={x∈N*|2x≤23}={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x∈Z|ln(x-1)≥0}={x∈Z|ln(x-1)≥ln 1}={x∈Z|x≥2},于是A∩B={2,3}.故选C.
4 [配合探究点三使用] [2026·陕西西安模拟] 已知[x]表示不超过x的最大整数,集合A={x∈Z|0<[x]<3},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩( RB)= ,则集合B的子集个数为 ( C )
A.4 B.8 C.16 D.32
[解析] 由题可知,A={x∈Z|0<[x]<3}={1,2},
因为A∩( RB)= ,所以A B,所以1∈B,2∈B.
对于集合B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},
方程x2+ax=0的解为x=0或x=-a,显然x2+2x+b=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,且满足x1+x2=-2,
所以a≠0,则1是方程x2+ax=0的根,2是方程x2+2x+b=0的根,或1是方程x2+2x+b=0的根,2是方程x2+ax=0的根.
若1是方程x2+ax=0的根,2是方程x2+2x+b=0的根,则解得
此时B={0,1,2,-4};
若2是方程x2+ax=0的根,1是方程x2+2x+b=0的根,则解得
此时B={0,1,2,-3}.
综上,集合B总是有4个元素,
所以集合B的子集的个数为24=16.故选C.(共61张PPT)
◆ 知识网络 ◆
第1讲 集合
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画
集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用 图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽
象概念的作用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.集合的有关概念
（1）集合元素的三个特性：________、________、________.
（2）集合的三种表示方法： ________、________、________.
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为___；不属于，记为___.
确定性
无序性
互异性
列举法
描述法
图示法
（4）六个特定的集合及其关系图：或表示__________， 表示
非负整数集（或自然数集），表示________， 表示__________，
表示实数集， 表示________.
正整数集
整数集
有理数集
复数集
2.集合间的基本关系
（1）包含：一般地，对于两个集合，，如果集合 中任意一个元
素都是集合中的元素，就称集合为集合 的子集，记作_______
（或 ）.
（2）真包含：如果集合，但存在元素，且 ，就称
集合是集合的真子集，记作___（或___ ）.
（3）相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集
合是______的.
（4）空集是任何集合的子集，是__________集合的真子集.
相等
任何非空
3.集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于 ____属于 的元素组成 的集合 ,____ ______
并集 属于____属于 的元 素组成的集合 ,____ ______
补集 全集中____属于 的 所有元素组成的集合 ,且 ___ _____
且
且
或
或
不
4.集合的运算性质
（1）交集的运算性质：; ;
;___ .
（2）并集的运算性质：______; ;
;___ .
（3）补集的运算性质：;___;
___;___;_______ _______.
常用结论
（1）集合的关系
①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集.
②任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集.
③子集的传递性：若,,则 （真子集也满足）.
④若且 ,则有 和 两种可能.
（2）集合的子集个数和元素个数
①集合子集的个数：若有限集中有个元素，则的子集有 个，
真子集有个，非空子集有 个，非空真子集有
个.
②集合元素的个数：
， （常用在实际问题中）.
（3）集合的运算
.#2.3.1
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,,则或 .( )
×
[解析] 令，解得或，
当时， ，与集合元素的互异性相矛盾，所以舍去，
当 时，符合题意.故错误.
（2）集合，，， ，
则， .( )
×
[解析] 集合是数集，集合是点集，所以 .故错误.
（3）已知集合，，则 .( )
×
[解析] 由题可知，集合且，
集合 且,两集合中的元素均为除了0以外的全体实数，
则 .故错误.
题组二 教材改编
1.设集合 ，则下列四个关系中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，集合表示所有不小于 的实数组
成的集合，所以1是集合中的元素，故 .故选A.
2.已知全集,,0,1,2,，集合，则
( )
A.,0, B.,2, C.,, D.,0,
[解析] ,,，则,2, .故选B.
√
√
3.已知集合,，，则集合，
间的关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，，
又，所以 .故选D.
√
探究点一 集合的概念及表示
例1（1）设集合.若，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，所以 .故选C.
√
（2）（多选题）下列表示同一集合的是( )
A.，且，
B.，
C.，
D.，，， }
√
√
√
[解析] 对于A，由,，得 ,2,3,4，
,且,4,6, ,故A正确；
对于B， ，，
，故B正确；
对于C，集合是数集,是点集，
，故C不正确；
对于D，,,2,3,,
,,2,3,,，故D正确.故选 .
总结反思
（1）用描述法表示集合时,要确定构成集合的元素是什么及这些元素
的限制条件是什么.
（2）注意对集合中的元素是否满足互异性进行检验.
（3）遇到含参问题的选择题，可以从选项入手，利用排除法，可把
逆向思维问题转化为正向思维问题进行求解.
【对点演练1】（1）已知集合，若且 ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一:由且 ,,得解得 .故选C.
方法二:取，则，符合题意，所以 成立，
排除A，B，D，故选C.
√
（2）[2026·河北衡水联考] 设集合,，, ，若
，则 __.
[解析] 在,中，，则且，
而 ,，，显然，因此 解得
所以 .
探究点二 集合间的基本关系
例2（1）若集合， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得,， ，
所以.集合与之间没有包含关系， ,
A，B，C都错误，故选D.
√
（2）[2026·山东青岛模拟]若集合 ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合 ,
，所以 .故选A.
√
（3）已知集合 ,，
，若集合 有3个真子集，则实数 的值可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为有3个真子集，所以中有2个元素，故 中有两个元素，
故且 ，
则解得且 .故选C.
总结反思
判断集合间的基本关系的常用方法
定义法:根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的
异同,从而找出集合间的关系.
图示法:（1）在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小
关系,从而确定集合间的关系；（2）借助 图来表示集合间的包
含关系.
【对点演练2】（1）[2026· 湘豫名校联考]已知集合 ，
，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为但,但 ，所以A，B均错误；
因为，所以C错误；
因为 ，所以D正确.故选D.
√
（2）设集合,，,，若，则 ( )
A. B.0 C.1 D.
[解析] 由可知，解得 .故选C.
√
（3）已知集合,0,，，若，则 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以解得，
故 的取值范围是 .故选D.
√
探究点三 集合的基本运算
题型1 集合的运算
例3（1）[2025· 全国二卷]已知集合,0,1,2,, ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ,,，则 .
√
（2）[2025· 全国一卷]已知集合是小于9的正整数 ，
，则 中元素个数为( )
A.2 B.3 C.5 D.8
[解析] 因为,,所以 ，
共有5个元素.故选C.
√
（3）[2024·北京卷]已知集合 ，
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 ，故选C.
√
题型2 利用集合的运算求参数的值（范围）
例4（1）已知集合, .若
，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，解得 ，
所以.
因为，所以.
又 ，所以,所以的取值范围为 .故选A.
√
（2）[2025· 陕西安康模拟]已知集合 ，
，若，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] .
因为 ，所以.
又，所以 .故选C.
√
总结反思
1.对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接
求解,也可结合数轴以及 图求解.
2.根据集合运算求参数,要把集合语言先转换为方程或不等式,然后解
方程或不等式,再利用数形结合求解.解题过程中要注意的几点：（1）
端点值能否取到；（2）讨论二次项系数等是否为零；（3）使用根
与系数的关系的前提应满足 .
【对点演练3】（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知集合
,,,0,2,，则 ( )
A., B. C.,, D.,0,
[解析] 因为,,,0,2, ,且，
所以, .故选A.
√
（2）已知集合,0,,,，若 ，
则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为，所以，所以，
则 ，解得.
此时,0,,,，满足 ，
所以 符合题意.故选A.
√
例1 ［配合探究点二使用］[2025·四川雅安期末]某班有学生56人，
同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小
组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学
生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参
加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是
( )
A.20 B.21 C.23 D.25
√
【备选理由】例1是集合的实际应用题,通过集合中元素个数的计算,
解决实际问题;
[解析] 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文
小组的人数为 ，只参加其中一个小组的人数为 ，
则 ，
即.因为，所以 .故选B.
例2 ［配合探究点三使用］[2026·重庆九龙坡区质检]已知集合
,，若 ，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，
解得 ，所以.
由，可得 .又，所以，
所以实数的取值范围是 .故选A.
√
【备选理由】例2考查利用集合的运算求参数范围;
例3 ［配合探究点三使用］[2026·浙江宁波期末]已知集合
,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，
，
，
于是 .故选C.
√
【备选理由】例3考查集合的交集运算,以及指数不等式与对数不等式的
应用;
例4 ［配合探究点三使用］[2026·陕西西安模拟]已知 表示不超过
的最大整数，集合 ，
，且 ，则集合
的子集个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
√
【备选理由】例4是新定义问题,意在提升数学抽象、逻辑推理和数学
运算的核心素养.
[解析] 由题可知， ，
因为 ，所以，所以， .
对于集合 ，
方程的解为或，
显然 有两个不相等的实数根，
设为,，且满足 ，所以，
则1是方程的根，2是方程 的根，
或1是方程的根，2是方程 的根.
若1是方程的根，2是方程 的根，
则解得 此时,1,2, ；
若2是方程的根，1是方程 的根，
则解得 此时,1,2, .
综上，集合 总是有4个元素，
所以集合的子集的个数为 .故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知集合,, ，则下列判断错误的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意可得,0,，所以,,, .故选A.
√
2.[2026·广东惠州调研]已知集合，集合 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
所以 .故选C.
√
3.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,，
所以 .故选D.
√
4.[2026·江苏南通四模]已知集合， ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，则，
又 ，所以 .故选B.
√
5.已知集合，，则 的子集的
个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 由，解得，
又 ，所以 ，集合中只有一个元素，
则其有 （个）子集.故选C.
√
6.已知集合,,,,1,，若 ，则
( )
A. B.2 C. D.6
√
[解析] 因为集合,,,,1,， ，
所以或
解得,或, .
当,时， ，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当,时，,3,,,, ，符合题意，
此时 .故选A.
7.已知集合,,，,，，则 中的
元素个数至少为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由中元素的互异性，得,，即且 ，
而，
则当且时，与0, , 均互异，
因此 中至少有4个元素.
取时，,，则，1，2， ，
其中有4个元素，故 中的元素个数至少为4.故选C.
√
8.[2026·湖南长沙模拟] 若集合 中只有
一个元素，则 ______.
0或1
[解析] 当时，方程为，解得 ，
此时集合，则 符合题意；
当时，由，解得，
当 时，集合，则符合题意.
综上，或 .
9.已知集合,2,, 中数值最大的元素等于该集合的所有元素之和，
则实数 ____.
[解析] 根据集合中元素的互异性可得，且 .
当时，集合,2,,中最大元素为；
当时，集合 ,2, ,中最大元素为4.
集合,2,,的所有元素之和为 ，
则或 解得 .
◆ 综合提升 ◆
10.已知集合， ，若
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
，所以1是方程 的根，
则，解得 ，
故，符合题意，
故 .故选C.
√
11.（多选题）[2025·河南豫北六校模拟]已知全集 ,
，集合,2,，,1,2,，,,2, ，若
，则( )
A. 的取值有3个
B.,
C.,,0,1,2,
D. 所有子集的个数为4
√
√
√
[解析] 对于A选项，因为,2,，,1,2,，且 ，
所以或，且，，解得，
故 的取值只有1个，故A错误；
对于B选项，由A选项知,2,，,,2, ，
所以, ，故B正确；
对于C选项，由A选项知,1,2,，则,,0,1,2, ，
故C正确；
对于D选项，,,
, ,,0,1,2, ，
所以,,1,，,, ，
则,，
则的子集的个数为 ，故D正确.故选 .
12.已知集合恰有一个元素，则 的取值集合为
_________.
[解析] 方程可化为
由于集合 中只有一个元素，所以方程组只有1个解.
，解得 ，
则方程，即的解为 ，符合题意；
②若是方程的一个根，则 ，
方程即为 ，
此方程的解为 ，符合题意；
③若是方程的一个根，则 ，
方程，即，此方程的解为 ，符合题意.
综上，的取值集合为 .
【知识聚焦】1.（1）确定性 无序性 互异性 （2）列举法 描述法 图示法
（3） （4）正整数集 整数集 有理数集 复数集
2.（1） （2） （3）相等 （4）任何非空 3.且 且 或
或 不 4.（1） （2） （3）
【课前演练】（1）× （2）× （3）× 1. A 2. B 3. D
课堂考点探究
例1（1）C （2）ABD 【对点演练1】（1）C （2）
例2（1）D （2）A （3）C 【对点演练2】（1）D （2）C （3）D
例3（1）D （2）C （3）C 例4（1）A （2）C
【对点演练3】（1）A （2）A
教师备用习题
例1 B 例2 A 例3 C 例4 C
夯实基础
1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. A 7. C 8. 0或1 9.
综合提升
10. C 11. BCD 12.

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