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第2讲　常用逻辑用语
【备选理由】 例1考查充分条件与必要条件的判断,与复数的三角形式、复数的概念等知识相交汇;例2考查充分条件与必要条件的综合应用,以实际问题为背景,考查求解参数的值;例3考查含有量词命题的真假,求参数的取值范围.
1 [配合探究点一使用] [2026·河北石家庄模拟] 已知复数z=cos θ+isin θ(θ∈R),则“z·=1”是“θ=”的 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 由z=cos θ+isin θ(θ∈R)得z·=|z|2=1,显然对于任意的θ均成立,故“θ=”可以推出“z·=1”,但“z·=1”推不出“θ=”,比如当θ=0时,z==1,z·=1,故“z·=1”是“θ=”的必要不充分条件.故选B.
2 [配合探究点一使用] [2026·福建宁德模拟] 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:A={x|0<Δ×x<2},B={x|-3≤x≤5},C=,然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”表示的数字,并让丁同学猜出该数字,以下是甲、乙、丙三位同学的描述.甲:此数为小于5的正整数;乙:x∈B是x∈A的必要不充分条件;丙:x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“Δ”表示的数字是 ( C )
A.3或4 B.2或3
C.1或2 D.1或3
[解析] 因为Δ为小于5的正整数,所以A={x|0<Δ×x<2}=,
因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,x∈C是x∈A的充分不必要条件,
所以≤5且>,解得≤Δ<3,所以“Δ”表示的数字是1或2.故选C.
3 [配合探究点三使用] [2026·河南南阳联考] 已知a∈R,若“ x∈R,a=2x+1”为假命题,则a的取值范围是 ( C )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
[解析] “ x∈R,a=2x+1”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,其否定为“ x∈R,a≠2x+1”.而函数y=2x+1的值域为(1,+∞),由“ x∈R,a=2x+1”为假命题,得“ x∈R,a≠2x+1”为真命题,则a≤1,所以a的取值范围是(-∞,1].故选C.(共54张PPT)
第2讲 常用逻辑用语
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件、充要条件
的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关
系、数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量
词对存在量词命题进行否定.
◆ 知识聚焦 ◆
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若,则是的______条件,是 的______条件 是 的____________条件 且
是 的____________条件 且
是 的______条件
是 的__________________条件 且
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作__________,并用符
号“___”表示.
（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作__________,并
用符号“___”表示.
全称量词
存在量词
（3）含有一个量词的命题的否定：
全称量词命题：, ,它的否定：______________.
存在量词命题：, ,它的否定：______________.
,
,
常用结论
1.充分、必要条件的两个结论：
（1）若是的充分不必要条件,是的充分不必要条件,则是 的充
分不必要条件;
（2）若是的充分不必要条件,则是 的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
使成立的对象构成的集合为,使成立的对象构成的集合为 是 的充分条件
是 的必要条件
是 的充分不必要条件
是 的必要不充分条件
是 的充要条件
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题“三角形的内角和是 ”是全称量词命题.( )
√
[解析] 命题“三角形的内角和是 ”即为“所有三角形的内角和是
”，故为全称量词命题.
（2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.( )
√
[解析] 根据存在量词命题的判定可知其正确.
（3）是 的充要条件.( )
×
[解析] 由，可得，由，可得或 ，
故是 的充分不必要条件，故错误.
（4）,成立的一个必要不充分条件是 ( )
√
[解析] 由,，可得,
但当成立时， ,不一定成立.
因此是, 的一个必要不充分条件,故正确.
题组二 教材改编
1.下列不能说明“,, ”为真命题的条件是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A, ,此时；
对于B, ,此时；
对于C, ,此时；
对于D, ,
此时 .故选D.
√
2.下列命题中是假命题的是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 对于A，当时, ,故A中命题为真命题;
对于B，当时,,故B中命题为真命题;
对于C，当时, ,故C中命题为假命题;
对于D，由指数函数的性质知,, ,故D中命题为真命题.
故选C.
√
3.对于实数，“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，可以得到，但由，不一定能得到 ，
故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
探究点一 充分条件与必要条件的判断
例1（1）设，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为，所以,.
当 时,无意义,所以当时, 不一定成立；
当时，，所以“”能推出“ ”.
所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
（2）[2025·广东湛江期中]“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当，，时，满足 ，
此时，即不能推出；
当， ，时，满足，此时，
即 不能推出.
故“”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选D.
√
总结反思
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法:根据, 进行判断.适用于定义、定理判断性问题.
（2）集合法:根据, 对应的集合之间的包含关系进行判断.多适用于
条件中涉及参数范围的推断问题.
【对点演练1】（1）已知，，则“”是“ ”
的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为，，所以，解得 ，
即充分性成立；
若，不妨取，则 不等于2，即必要性不成立.
故“”是“ ”的充分不必要条件.故选B.
√
（2）[2026·河北保定质检] 已知集合 ，
，若“”是“ ”的充分不必要条件，
则实数 的取值范围为_ _______.
[解析] 由，解得，故.
因为“ ”是“”的充分不必要条件，所以，
所以 解得，故的取值范围为 .
探究点二 充分、必要条件的应用
例2（1）[2026·湖北武汉期末]已知或,，且
是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，设使，成立的对象分别构成集合， ，
则或,.
又是 的充分不必要条件，所以且，则 .故选D.
√
（2）已知,，若“”是“ ”的必要
条件，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 是的必要条件，， .故选B.
√
总结反思
应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法:
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后
根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解;
（2）检验区间的端点值,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,
处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【对点演练2】（1）[2025·江西赣州期末]“ ”的充分不必
要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 要求“”的充分不必要条件，
只需求 的非空真子集即可，
由选项可知，只有B满足题意，故选B.
√
（2）已知或，或，若 是 的
必要条件，则实数 的取值范围是_ __________.
[解析] 设集合或，或.
若 是 的必要条件，则 .
当，即时，， 成立；
当，即时，若，则
此时该不等式组无解.综上所述，实数的取值范围是 .
探究点三 全称量词与存在量词
题型1 含量词命题的否定
例3 [2025·浙江杭州期末]命题“, ”的否定是
( )
A., B.,
C., D.,
[解析] “,”的否定是“ ,
”.故选D.
√
题型2 含量词命题的真假判定
例4 [2026·陕西延安模拟]已知命题, ，命题
, ，则( )
A.和都是真命题 B.和 都是真命题
C.和都是真命题 D.和 都是真命题
[解析] 因为,，
所以命题, 为假命题，则命题为真命题.
当时， ，所以命题,为真命题，
则 为假命题.故选B.
√
题型3 由含量词命题的真假求参数的取值范围
例5（1）[2025·山东百师联盟联考]若“， ”是
假命题，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由“,”是假命题，
得“ ,”是真命题，
因此，解得 ，
所以实数的取值范围是 .故选D.
√
（2）[2026·江苏苏州期末]若命题“, ”是假命题，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为命题“,”是假命题，
所以“ , ” 是真命题，
因此,解得 ，
所以实数的取值范围是 .故选B.
√
总结反思
1.全称量词命题的否定是把“全称量词”改为“存在量词”,然后对原命
题的结论进行否定;存在量词命题的否定是把“存在量词”改为“全称量
词”,然后对原命题的结论进行否定.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:对于全称量词命题,
所有对象都能使命题为真,则这个全称量词命题为真命题;对于存在量
词命题,只要有一个对象使命题为真,则这个存在量词命题为真命题.
3.由含量词命题的真假求参数的取值范围的方法：先把含有量词的命
题转化为真命题，再转化为解不等式的恒成立问题或有解问题，通
过求最值，即可得参数的取值范围.
【对点演练3】（1）命题“，，和 至少有
一个成立”的否定为( )
A.，，和 至少有一个成立
B.，，和 都不成立
C.，，和 至少有一个成立
D.，，和 都不成立
√
[解析] “，，和 至少有一个成立”的否定
为“，，和 都不成立”.
（2）命题“,”为假命题，则实数 的取
值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由已知可得，命题“, ”的否定，
即命题“, ”为真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，
解得 .故选C.
√
（3）[2026·江苏南京期末]若“， ”是真命
题，则实数 的最大值为( )
A. B.3 C. D.
[解析] 因为“， ”是真命题，
所以, 恒成立，所以 .
因为，当且仅当 时，等号成立，
所以，所以实数 的最大值为 .故选C.
√
例1 ［配合探究点一使用］[2026·河北石家庄模拟]已知复数
，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
【备选理由】例1考查充分条件与必要条件的判断,与复数的三角形式、
复数的概念等知识相交汇;
[解析] 由得 ，
显然对于任意的 均成立，故“”可以推出“”，
但“ ”推不出“”，比如当时，，，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
例2 ［配合探究点一使用］[2026·福建宁德模拟]甲、乙、丙、丁四
位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:
，， ，
然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该
数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述.甲：此数为小于5的正整数；
乙：是的必要不充分条件；丙：是 的充分不必要条件.
则“ ”表示的数字是( )
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
√
【备选理由】例2考查充分条件与必要条件的综合应用，以实际问题为背景，
考查求解参数的值；
[解析] 因为 为小于5的正整数，
所以 ，
因为是的必要不充分条件,是 的充分不必要条件，
所以且，解得，所以“ ”表示的数字是1或2.
故选C.
例3 ［配合探究点三使用］[2026·河南南阳联考]已知 ，若“
，”为假命题，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] “, ”是存在量词命题,其否定为全称量词命题，
其否定为“，”.而函数 的值域为，
由“，”为假命题，得“ ，”为真命题，
则，所以的取值范围是 .故选C.
√
【备选理由】例3考查含有量词命题的真假，求参数的取值范围.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.“是有理数”是“ 是有理数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若是有理数，则是有理数；
若是有理数，如 ，此时不是有理数.
故“是有理数”是“ 是有理数”的必要不充分条件.故选B.
√
2.命题，，则命题 的否定是
( )
A.，
B.，
C.，
D.，
[解析] ，，
则 的否定是， ，故选B.
√
3.[2026·河北邯郸模拟]已知，，若是 的必要不
充分条件，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是的必要不充分条件，
且， 或，所以 .故选C.
√
4. 吉林长春模拟］已知定义域为的函数 不是偶函数，
则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 定义域为的函数是偶函数, ，
所以定义域为的函数不是偶函数, .
故选D.
√
5.[2025·浙江温州十校联合体联考]已知命题是无理数,
是无理数；命题，使得 是奇数，则( )
A.和都是真命题 B.和 都是真命题
C.和都是真命题 D.和 都是真命题
[解析] 对于命题，是无理数，但 是有理数，
所以命题是假命题，则是真命题.
对于命题， ，
因为和是两个连续的整数，所以必是偶数，
故命题 是假命题，则 为真命题.故选D.
√
6.是 的( )
A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.充分不必要条件
[解析] 由，解得；
由 ，解得且.
因为，
所以 是 的充分不必要条件.故选D.
√
7.[2026·广东揭阳期末]已知命题， 为真
命题，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.
[解析] 当时,恒成立,符合题意；
当 时,抛物线开口向上,符合题意；
当 时,由,得或,所以 符合题意.
综上所述, .故选A.
√
8.“， ”为真命题的一个必要不充分条件是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，，，即 .
当时，，所以 .
结合选项可知，所求的一个必要不充分条件是 .故选D.
√
9.（多选题）下列结论正确的是( )
A.若，则,
B.若，则,
C.“,”的否定是“, ”
D.“, ”是真命题
√
√
√
[解析] 对于A,因为集合是的真子集,所以, ,故A正确；
对于B,设,,满足,但 , ，
故B错误；
对于C，“,”的否定是“ , ”,故C正确；
对于D，当时， ，故D正确.
故选 .
◆ 综合提升 ◆
10.[2025·四川绵阳模拟]命题“， ”的否定形式是
( )
A.，
B.，
C.，或
D.，或
[解析] 命题“，”的否定是“， 或
”.故选C.
√
11.（多选题）使不等式对一切实数 都成立的一个
充分条件是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 当时，原不等式变为 ，
这个不等式对于一切实数 恒成立.
当时，要使不等式对一切实数 都成立，
则二次函数的图象需开口向下，且与 轴无交点，
则解得.
综上， ，结合选项可知，A，C，D符合题意.故选 .
12.设，，若 是 的必要不充分条
件，则实数 的取值范围为______.
[解析] 因为 是 的必要不充分条件，
所以，
所以 且等号不同时成立，解得.
因此实数的取值范围是 .
【知识聚焦】1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要
2.（1）全称量词 （2）存在量词 （3）, ,
【课前演练】（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 1.D 2.C 3.A
课堂考点探究
例1（1）B （2）D 【对点演练1】（1）B （2）
例2（1）D （2）B 【对点演练2】（1）B （2）
例3 D 例4 B 例5（1）D （2）B 【对点演练3】（1）D （2）C （3）C
教师备用习题
例1 B 例2 C 例3 C
夯实基础
1. B 2. B 3. C 4. D 5. D 6. D 7. A 8. D 9. ACD
综合提升
10. C 11. ACD 12.

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