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第3讲 等式性质与不等式性质
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两个实数比较大小的方法
___ ,
___ ,
___ .
（2）作商法
___ ,
___
（1）作差法
2.等式的性质
（1）若，则 ；
（2）若,,则 ；
（3）若,则对任意 ,都有_____________或_____________或
________；
（4）若,则对任意不为零的 ,都有______.
3.不等式的性质
（1）对称性： ______（双向性）.
（2）传递性：, （单向性）.
（3）可加性：___ （双向性）.
（4）可乘性：,___ ;
,___ .
（5）, _____________（单向性）.
（6）,___ （单向性）.
（7）乘方法则：___ （单向性）.
常用结论
1.若,，则 .
2.已知,,都是正数,且 ,则
（1） ,即真分数越加越大,越减越小;
（2） ,即假分数越加越小,越减越大.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）实数不大于，用不等式表示为 .( )
×
[解析] 实数不大于，用不等式表示为 ，故错误.
（2）的充要条件是 .( )
√
[解析] 的充要条件为 ，故正确.
（3）若，则 .( )
×
[解析] 当时，不能推出 ，故错误.
（4）不等式的解集是 .( )
×
[解析] 原不等式可化为，解得或 ，
所以原不等式的解集为 ，故错误.
题组二 教材改编
1.已知,,都是实数，若 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，由，得，
但, 的正负无法判断，故A错误；
对于B，当时， ，故B错误；
对于C,,由,得,但 的正负无法判断,故C错误；
对于D，由，得 ，故D正确.故选D.
√
2.已知，，，为实数，且 ，则下列不等式一定成立
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，C，令，，，，则 ，
故A，C错误；
对于B，由不等式的基本性质可得 ，故B正确；
对于D，取，，则 ，故D错误.故选B.
√
3.已知，，则， 的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
[解析] 因为
，所以 ，
所以，即 .故选A.
√
4.已知，，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，，
所以 ，，所以 .故选D.
√
探究点一 比较数（式）的大小
例1（1）已知，均为正实数，若, ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，均为正实数，,，
得
，当且仅当时取等号，
所以 . 故选D.
√
（2）设,,，比较, 的大小.
解：方法一（作商法）因为，所以 ,
, ，
所以 ，所以 .
方法二（作差法）
.
因为，所以,,, ，
所以，所以 .
总结反思
比较数（或式）的大小可以利用不等式或函数的性质进行判断,也可
以用作差法或作商法进行判断.作差法要将最后的差值与0进行比较;
作商法首先判断两个量的正负,然后作商,最后将商值与1进行比较.
【对点演练1】 [2026·四川绵阳模拟]已知 ，
，则与 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
，
所以 .故选C.
√
探究点二 不等式的性质及应用
题型1 不等式的性质
例2（1）[2025·湖南益阳期末]已知, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A,若,,,,则 ,故A错误；
对于B，若,,,，则 ，故B错误；
对于C，由题意知，则 ，故C正确；
对于D，若,,,，则 ，故D错误.故选C.
√
（2）[2025·浙江温州期末]下列命题为真命题的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 对于A，当时， ，故A错误；
对于B，若，则， ，
则，则 ，故B正确；
对于C,若,则,所以,即 ,故C错误；
对于D，当,时，，但 ，
故D错误.故选B.
√
题型2 不等式的应用
例3 从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的
点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点
少，则下列对这些点的判断一定正确的是( )
A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多
C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少
√
[解析] 设第一象限的点（横坐标为正数且纵坐标为正数的点）有 个，
第二象限的点（横坐标为负数且纵坐标为正数的点）有 个，
第三象限的点（横坐标为负数且纵坐标为负数的点）有 个，
第四象限的点（横坐标为正数且纵坐标为负数的点）有 个.
因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，
纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，所以，
且 ，由不等式性质可知，可得 ，
即第二象限的点比第四象限的点少.故选D.
总结反思
1.在应用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件,不可强化
或弱化成立的条件;
2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可
逆性；
3.在解决与不等关系有关的实际问题时,要读懂题意,用适当的不等号
将相关数（或式）联系起来,还要注意字母的实际意义.
【对点演练2】（1）设,，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当,时，满足，但不满足 ；
当时，，则.
所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
（2）若,，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得, ，
则 ，故选D.
√
（3）[2026·广东惠州一中模拟]某校高一年级男生人数多于女生人数，
在选科后选报物理方向的人数多于选报历史方向的人数，则( )
A.选报物理方向的男生多于女生
B.选报历史方向的女生多于男生
C.选报物理方向的女生多于选报历史方向的男生
D.选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生
√
[解析] 根据已知条件，设选科后选报物理方向的男生人数为 ，
女生人数为；选报历史方向的男生人数为，女生人数为 .
根据题意可得
所以，即 ，
故选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生.故选D.
【备选理由】例1考查利用放缩法比较大小；
例1 ［配合探究点一使用］已知，， ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
，
，，所以 ，故选C.
√
例2 ［配合探究点二使用］[2026·四川南充模拟]火车站有某公司待
运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨.现计划用, 两种型号的货箱
共50节运送这批货物.已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节
型货箱,25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节 型货箱,据此安排
, 两种货箱的节数,下列方案中不能作为运输方案的是( )
A.货箱28节，货箱22节 B.货箱29节， 货箱21节
C.货箱31节，货箱19节 D.货箱30节， 货箱20节
√
【备选理由】例2考查不等式的性质及其实际应用,意在提升数学建模的
核心素养.
[解析] 设，货箱分别需要， 节，则
对于A，满足， 两种型号的货箱共50节，
且 ，
，能作为运输方案；
对于B，满足， 两种型号的货箱共50节，
且 ，
，能作为运输方案；
对于C，满足， 两种型号的货箱共50节，
且 ，
，不能作为运输方案；
对于D，满足， 两种型号的货箱共50节，
且 ，
，能作为运输方案.故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，则，则，即；
若 ，则，则，即.
故“”是“ ”的充要条件.故选C.
√
2.[2026·安徽合肥一中期末]已知， ，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，
，所以，即的取值范围是 .
故选C.
√
3.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，则，所以；
若 ，比如,，但是.
所以“”是“ ”的充分不必要条件，故选A.
√
4.设,，已知 ，则下列不等式中不一定成立的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以，则 ，
A选项中不等式一定成立；
因为，所以,，则 ，
故 ,B选项中不等式一定成立；
因为，所以, ，
则，故 ,C选项中不等式一定成立；
取,,则，此时 ，
D选项中不等式不一定成立.故选D.
5.已知 ，则下列式子一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，当时， ，所以A错误；
对于B，当,时，满足，但 ，所以B错误；
对于C，因为,所以,则 ,所以C正确；
对于D，当,,时， ，
所以D错误.故选C.
√
6.[2026·河北石家庄质检]如果，那么“”是“ ”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若,,则,则 ,即,
充分性成立；
若,,则 ,所以,即,必要性成立.
所以如果，那么“ ”是“ ”的充要条件.故选C.
√
7.[2025·浙江教研联盟调研]若， ，则下列结论正确的
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当,时， ，A选项错误；
当,,,时， ，B选项错误；
当时，，C选项错误；
因为 ，所以，又因为，所以 ，
D选项正确.故选D.
√
8.（多选题）[2025·辽宁辽阳期末]下列命题为真命题的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
√
√
[解析] 对于A，因为，所以,则 ，
故A中命题为真命题；
对于B，因为，所以, ,
则 ，故B中命题为假命题；
对于C，因为，所以 ，
，故C中命题为真命题；
对于D，因为，所以，故D中命题为假命题.
故选 .
9.已知实数，，则___（用“ ”或“ ”填空）.
[解析] .
因为， ，所以，，
因此，即 .
10.[2025·广东深圳实验学校模拟] 现有两种不同的黄金购买策略：
第一种是每次购买黄金定量克 ；第二种是每次购买黄金定
额万元 .在黄金价格有波动的情况下，选择其中一种策略购
买黄金两次，两次单价不同，以平均单价衡量，哪种购买方式更有
利于控制投资成本？
解：设两次黄金的单价分别为， .
对于第一种购买方式，黄金的平均单价为 ；
对于第二种购买方式，黄金的平均单价为 .
而，因为，， ，
所以，即 ,则第二种购买方式黄金的平均单价较低.
故第二种购买方式更有利于控制投资成本.
◆ 综合提升 ◆
11.若 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 选项A中，若，则, ,
,,因为 ，
所以，故A正确；
选项B中，取,, ，则，故B错误；
选项C中，若 ，则，
所以 ，则，故C错误；
选项D中，取，则 ，故D错误.故选A.
12.（多选题）[2025·河北石家庄期末]若 ,则( )
A. B. C. D.
[解析] A选项，因为，所以 ，
所以，即，故A正确；
B选项，因为， ，所以，故B错误；
C选项，由A知， ，则,
又，所以，所以 ，故C正确；
D选项,当,,,时, ,故D错误.故选 .
√
√
13.[2026·黑龙江哈尔滨四中模拟] 若 ，设
，，则， 的大小关系是
_______.
[解析] 由题可知
.
因为，所以 ，，
所以，所以 .
14.（1）设，，比较与 的大小；
解:因为 , ，
所以
，故，当且仅当 时取等号.
（2）已知，求证：
证明：因为，所以，， ，
所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
所以，即 ，
所以 .
【知识聚焦】1.（1） （2）
2.
3.
【课前演练】（1）× （2）√ （3）× （4）× 1. D 2. B 3. A 4. D
课堂考点探究
例1（1）D （2） 【对点演练1】C
例2（1）C （2）B
例3 D 【对点演练2】（1）B （2）D （3）D
教师备用习题
例1 C 例2 C
夯实基础
1. C 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C 7. D 8. AC 9.
10. 第二种购买方式更有利于控制投资成本
综合提升
11. A 12. AC 13.
14.（1）【备选理由】 例1考查利用放缩法比较大小;例2考查不等式的性质及其实际应用,意在提升数学建模的核心素养.
1 [配合探究点一使用] 已知a=log3,b=lo3,c=,则 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
[解析] 因为a=log3log28=3,c=>20=1,c=<21=2,所以b>c>a,故选C.
2 [配合探究点二使用] [2026·四川南充模拟] 火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱,25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数,下列方案中不能作为运输方案的是 ( C )
A.A货箱28节,B货箱22节
B.A货箱29节,B货箱21节
C.A货箱31节,B货箱19节
D.A货箱30节,B货箱20节
[解析] 设A,B货箱分别需要x,y节,则
对于A,满足A,B两种型号的货箱共50节,且35×28+25×22=1530≥1530,15×28+35×22=1190>1150,能作为运输方案;
对于B,满足A,B两种型号的货箱共50节,且35×29+25×21=1540>1530,15×29+35×21=1170>1150,能作为运输方案;
对于C,满足A,B两种型号的货箱共50节,且35×31+25×19=1560>1530,15×31+35×19=1130<1150,不能作为运输方案;
对于D,满足A,B两种型号的货箱共50节,且35×30+25×20=1550>1530,15×30+35×20=1150≥1150,能作为运输方案.故选C.
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