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第4讲　基本不等式
【备选理由】 例1考查基本不等式;例2考查常数代换法和消元法证明不等式;例3考查基本不等式与其他知识(解三角形)相交汇;例4考查基本不等式与其他知识(函数、解三角形)相交汇,提升解决综合问题的能力;例5考查基本不等式的实际应用,意在提升数学建模与数学运算的核心素养.
1 [配合探究点一使用] (多选题)[2026·浙江浙南名校联盟联考] 已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=3,以下说法正确的是 ( ABD )
A.a,b,c中至少有一个不大于1
B.ab+bc+ca≤3
C.(ac+bc)max=2
D.若a+b+c=0,则c≤
[解析] 对于A,假设a,b,c均大于1,则a2+b2+c2>3,与a2+b2+c2=3矛盾,所以假设不成立,
所以a,b,c中至少有一个不大于1,故A正确.
对于B, ab+bc+ca≤++=3,当且仅当a=b=c=±1时,等号成立,故B正确.
对于C,由a2+b2+c2=+≥2+2=(|ac|+|bc|)≥(ac+bc),得ac+bc≤,当且仅当a=b=,c=或a=b=-,c=-时,等号成立,故C错误.
对于D, 因为c2=(-b-a)2=b2+a2+2ab≤2(b2+a2),当且仅当a=b时,等号成立,所以c2≤2(3-c2),所以3c2≤6,解得-≤c≤,所以c≤,故D正确.故选ABD.
2 [配合探究点一使用] [2026·河北保定联考] 设正数a,b满足a+b=2.证明:
(1)a2+2ab-b<4;
(2)+≥2.
证明:(1)因为a>0,b>0,且a+b=2,
所以b=2-a>0,所以0而a2+2ab-b=a2+2a(2-a)-(2-a)=-a2+5a-2,
因为0所以-a2+5a-2<-22+5×2-2=4,即a2+2ab-b<4成立.
(2)+=+=a2+b2-a-b++=(a+b)2-2ab+-2=-2ab+2.
因为ab≤=1(当且仅当a=b=1时取等号),
所以ab+3≤4,-ab≥-1,≥,
所以-2ab+2≥8×-2+2=2,即+≥2.
3 [配合探究点二使用] (多选题)已知Rt△ABC的斜边长为1,则其内切圆半径取值可能为 ( CD )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
[解析] 设Rt△ABC的两直角边长为a,b,且a>0,b>0,显然a2+b2=1,即a2+b2=1≥2ab,当且仅当a=b=时,等号成立,可得ab≤.设Rt△ABC的内切圆半径为r,根据等面积法可得r(a+b+1)=ab,因此r=,所以r=≤==≤,当且仅当a=b=时,等号成立.易知<,<,即,符合题意.故选CD.
4 [配合探究点三使用][2025·湖北武汉期末] 设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20,其中AB=x,现将△ABC沿AC所在直线向△ADC折叠至△AB'C的位置,翻折后AB'交DC于点P.
(1)设DP=m,求m关于x的函数m=f(x)的解析式及其定义域;
(2)求△ADP面积的最大值及相应x的值.
解:(1)因为矩形ABCD(AB>AD)的周长为20,AB=x,所以AD=10-x.
又AB>AD,所以x>10-x,所以x>5.又x<=10,所以5易知△ADP≌△CB'P,所以AP=CP=x-m.
在Rt△ADP中,根据勾股定理得AP2=AD2+DP2,即(x-m)2=(10-x)2+m2,
整理得m=10-,5故m=f(x)=10-,定义域为(5,10).
(2)由题意得S△ADP=AD×DP=(10-x)=
≤=75-50,当且仅当x=5时,等号成立.
所以当x=5时,△ADP的面积取得最大值75-50.
5 [配合探究点三使用] 某足球比赛场地为矩形ABCD(如图),已知AB=42,AD=25,宽为7的足球门EF在边AD的中间放置,即AF=DE.比赛中,同学甲在边线BA上带球突破(视作点P在BA边上移动),准备起脚向球门EF射门,不考虑场上其他因素,要使该同学射门角度最佳(即当∠EPF最大时),AP的长应为　12　.
[解析] 设AP=x,x∈(0,42],由题知AF==9,AE=AF+EF=16,
在Rt△EAP中,tan∠EPA=,在Rt△FAP中,tan∠FPA=,
则tan∠EPF=tan(∠EPA-∠FPA)==≤,
当且仅当x=,即x=12时等号成立,
所以当x=12时,tan∠EPF最大.又正切函数y=tan θ在上单调递增,所以当x=12时∠EPF最大,
所以当AP=12时,该同学射门角度最佳.(共80张PPT)
第4讲 基本不等式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等
式解决简单的最大值或最小值问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.基本不等式
（1）基本不等式成立的条件：____________.
（2）等号成立的条件：当且仅当______时取等号.
,
2.几个重要的不等式
（1） _____ . （2） ___,同号 .
（3） . （4） .
2
3.算术平均数与几何平均数
给定两个正数,,数____称为,的算术平均数;数称为, 的几何
平均数.基本不等式可叙述为：_________________________________
_____________.
两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数
4.利用基本不等式求最值问题
已知, .
（1）如果积是定值,那么当且仅当时, 取得最小值,是
_____.（简记：积定和最小）
（2）如果和是定值,那么当且仅当时, 取得最大值,是
_ __.（简记：和定积最大）
常用结论
1.若,则,当且仅当 时,等号成立.
2.若,则,当且仅当 时,等号成立.
3.若,,则,当且仅当 时,等号成立.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对任意,, 恒成立.( )
√
[解析] 由，
可得对任意, , 恒成立，故正确.
（2）若,，则 .( )
√
[解析] 由,，可得，即 ，
当且仅当 时，等号成立，故正确.
（3）当,同号时， .( )
√
[解析] 因为当,同号时，,，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故正确.
题组二 教材改编
1.已知，则 的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 由，得，
当且仅当 时等号成立，所以函数 的最小值为4.故选B.
√
2.已知,，且 ，则( )
A.的最大值为1 B. 的最小值为1
C.的最大值为 D.的最小值为
[解析] 因为,，且，所以 ，
当且仅当时，等号成立，所以 的最大值为1，
因为，且，所以 无最小值.
故选A.
√
3.已知，则 的最大值为( )
A. B. C. D.3
[解析] 由题意得，即 ，
当且仅当，即,或, 时等号成立，
所以的最大值为 .故选B.
√
探究点一 利用基本不等式求最值
题型1 配凑法求最值
例1（1）已知，则 的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为，所以 ，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
故 的最小值是3.故选C.
√
（2）[2026·湖南岳阳期末]已知,且 ，则
的最小值为( )
A. B. C.4 D.6
[解析] 方法一：由得 ，
则
，当且仅当,
即时取等号，此时 ，则的最小值为 .
√
方法二：由得 ，
则 ，
当且仅当，即， 时取等号，
则的最小值为 .故选B.
题型2 常数代换法
例2（1）已知两个正实数,满足,则 的最小值为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
[解析] 因为,是正实数且 ，
所以 ，
当且仅当，即， 时取等号.故选A.
√
（2）[2026·河北沧州联考]已知,，且 ，则
的最小值为( )
A. B.7 C. D.8
√
[解析] 由题意，
，
又 ，
当且仅当,时取等号，所以 ，
故选B.
题型3 消元法
例3 若,，且，则 的最小值是
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 由得，即 ，
所以，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故选B.
√
总结反思
1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法
凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方
法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
2.常数代换法主要解决形如“已知为不等于0的常数 ,求
的最值” 或“已知为不等于0的常数，求 的
最值”的问题,通常将转化为或将 转化为
，再利用基本不等式求最值.
3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略:当所求最值的代数式中
的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为
常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.#1.3
【对点演练1】（1）[2025·重庆江北区期末]若正实数， 满足
，则 的最大值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 由得，则，
当且仅当 时，等号成立.故选D.
√
（2）已知正实数,满足,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由得 ，
所以 ，
当且仅当，即，时等号成立，
故 的最小值为 .故选A.
√
（3）[2025·山东青岛期末]已知，若 ，则
的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得 ，
即，即 ，
所以或，即或.
因为 ，所以，则，
当且仅当, 时取等号.故选D.
√
探究点二 基本不等式的常见变形
例4 已知, ,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A,假设成立,则 ,
即 ,与事实不符,故假设不成立,故A错误;
对于B,假设成立,则,即,
即 ,与事实不符,故假设不成立,故B错误;
对于C,假设 成立,则,即 ,
与事实不符,故假设不成立,故C错误;
对于D,因为,所以 ,
所以,所以 ,故D正确.故选D.
总结反思
基本不等式的常见变形
（1） .
（2） .
【对点演练2】 （多选题）已知, ,则下列不等式一定成立
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,因为, ,所以,
当且仅当且 ,即 时取等号,
故A中不等式一定成立;
对于B，因为,当且仅当时取等号,
所以 ,故B中不等式不成立;
对于C，因为,当且仅当 时取等号,
所以
,
所以,当且仅当 时取等号，故C中不等式一定成立;
对于D，,当且仅当 时取等号,
故D中不等式一定成立.故选 .
探究点三 基本不等式的实际应用
例5 森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.某生
物小组研究表明某类昆虫在水平速度为 （单位：米/秒）时的跳跃
高度（单位：米）近似满足 的等量关系，则该类昆虫的
最大跳跃高度约为( )
A.0.2米 B.0.25米 C.0.45米 D.0.7米
[解析] 由可知，故 ，
当且仅当 时，等号成立.
于是该类昆虫的最大跳跃高度约为0.25米.故选B.
√
总结反思
利用基本不等式解决实际问题的策略：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数
的最值;
（2）解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;
（3）在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的
单调性求解.
【对点演练3】 [2025·安徽铜陵期末] 现有一家物流公司计划租地建
造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占
地费万元与仓库到车站的距离千米的函数关系近似为 ；
每月库存货物费万元与的函数关系近似为 .这家公司应该
把仓库建在距离车站___千米处，才能使两项费用之和最少.
4
[解析] 因为， ，所以总费用为
，
当且仅当时等号成立，
由，解得 或 （舍）.
故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处,才能使两项费用之和最少.
例1 ［配合探究点一使用］（多选题）[2026·浙江浙南名校联盟联考]
已知，，，且 ，以下说法正确的是( )
A.，，中至少有一个不大于1 B.
C. D.若，则
√
√
√
【备选理由】例1考查基本不等式；
[解析] 对于A，假设，，均大于1，则 ，
与 矛盾，所以假设不成立，
所以，， 中至少有一个不大于1，故A正确.
对于B， ，
当且仅当 时，等号成立，故B正确.
对于C，由
，
得，当且仅当，或 ，
时，等号成立，故C错误.
对于D，因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以，所以，
解得 ，所以 ，故D正确.故选ABD.
例2 ［配合探究点一使用］ [2026·河北保定联考］设正数， 满
足 ．证明：
（1） ；
证明：因为，，且 ，
所以，所以 .
而 ，
因为，在 上单调递增，
所以,即 成立．
【备选理由】例2考查常数代换法和消元法证明不等式；
（2） ．
证明：
.
因为（当且仅当 时取等号），
所以，， ，
所以，即 ．
例3 ［配合探究点二使用］（多选题）已知 的斜边长为1，
则其内切圆半径取值可能为( )
A. B. C. D.
√
√
【备选理由】例3考查基本不等式与其他知识（解三角形）相交汇；
[解析] 设的两直角边长为，，且， ，
显然，即，
当且仅当 时，等号成立，可得.
设的内切圆半径为 ，
根据等面积法可得，因此 ，
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
易知，，即， 符合题意.故选CD.
例4 ［配合探究点三使用］[2025·湖北武汉期末] 设矩形
的周长为20，其中，现将沿 所在
直线向折叠至的位置，翻折后交于点 ．
（1）设，求关于的函数 的
解析式及其定义域；
【备选理由】例4考查基本不等式与其他知识(函数、解三角形)相交汇，
提升解决综合问题的能力；
解：因为矩形的周长为20, ,所以 .
又，所以，所以 .
又，所以 .
易知，所以 .
在中，根据勾股定理得 ，
即 ，整理得， ，
故，定义域为 .
（2）求面积的最大值及相应 的值．
解：由题意得
，
当且仅当 时，等号成立.
所以当时，
的面积取得最大值 ．
例5 ［配合探究点三使用］某足球比赛场地为
矩形(如图),已知, ,宽为
7的足球门在边 的中间放置,即.
比赛中，同学甲在边线 上带球突破(视作点在边上移动),
准备起脚向球门 射门,不考虑场上其他因素,要使该同学射门角度最佳
(即当最大时)， 的长应为____.
12
【备选理由】例5考查基本不等式的实际应用，意在提升数学建
模与数学运算的核心素养.
[解析] 设， ，
由题知， ，
在中，，
在中， ，
则 ，
当且仅当，即 时等号成立，
所以当时， 最大.
又正切函数 在， 上单调递增，
所以当时 最大，
所以当 时，该同学射门角度最佳.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.设,，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 显然当时， ，
即 成立；
而 ，
当且仅当，即时，等号成立，不一定有 .
所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
2.已知,，且，则 的最小值为( )
A. B. C. D.5
√
[解析] 因为,，且 ，
所以
，
当且仅当,即,时,等号成立,
故 的最小值为 .故选A.
3.[2026·浙江衢州期末]已知实数,，则 的最小值为
( )
A. B. C.0 D.
[解析] ，， ，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为 .
故选B.
√
4.[2025·江苏淮安期末]已知,为正数，，则 的
最小值为( )
A. B.8 C. D.
√
[解析] 因为,为正数，，所以 ，
所以
，
当且仅当，即, 时等号成立，
故的最小值为 .故选C.
5.[2026·重庆八中期末]已知正数，满足，则
的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 因为，所以 .
因为，为正数，所以，得，
当且仅当 ,时等号成立，则，则，
故 的最小值为8.故选C.
√
6.（多选题）[2025·河北张家口模拟]已知，，且 ，若
，则( )
A. B.的最小值为
C.的最小值为 D.的取值范围为
√
√
√
[解析] 对于A,由题可知,,,则 ,故A错误；
对于B，由A可知，,，则 ，
当且仅当时,等号成立,故的最小值为 ,故B正确；
对于C,,当且仅当,即 时，
等号成立，故的最小值为 ,故C正确；
对于D，，当时，, 均单调递增，
且当时， ，则在区间 上单调递增，
且当时取得最大值5，当时， ，
所以的取值范围为，故D正确.故选 .
7.甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车
每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成.可变部
分与汽车速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部
分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是____千米/时.
60
[解析] 设运输成本为 元，
则 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
8.已知,,且,则 的最小值为____.
13
[解析] 由 ，可得.
因为,所以 ,所以,所以,
所以 .
又因为，所以，所以,
则 ，
当且仅当,即时,取等号,此时,故 的最小值为13.
9.若正实数,满足，且 恒成立，
则实数 的取值范围是________________.
[解析] 因为正实数,满足，所以 ，
所以 ,所以 ，
当且仅当，即,时取等号.
因此 的最小值为4，又恒成立，所以，
解得 ，即实数的取值范围是 .
10.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本（单位：万元）
由两部分构成：
①固定成本（与生产产品的数量无关）20万元；
②生产所需材料成本：万元，其中 （单位：万套）为每
月生产产品的套数.
（1）该企业每月产量 为何值时，平均每万套的成本最低？最低成
本为多少？
解：设平均每万套的成本为 （单位：万元），
则,当且仅当 时取等号.
故该企业每月产量为20万套时，平均每万套的成本最低，
最低成本为12万元.
（2）若每月生产万套产品,每万套售价为 万元,假设每套产品都能
够售出,则该企业应如何制定计划,才能确保该套装每月的利润不低于625万元.
解：设该套装每月的利润为 （单位：万元），
则 ，
由 ，
可得 ，所以 ，
即该企业每月至少生产30万套该套装产品,才能确保每月的利润不低于625万元.
◆ 综合提升 ◆
11.已知，若对任意正数,，不等式
恒成立，则实数 的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] ，，
恒成立等价于恒成立.
又， ，
,
当且仅当时取等号，
，即，解得（舍去）或，
的最小值为 ，故选B.
12.（多选题）[2025·福建三明质检]以下结论正确的是( )
A.若，则的最大值为
B.若，则
C.若，，则的最小值为
D.若，则
√
√
√
[解析] 对于A, ，
当且仅当时，等号成立，所以 ，故A正确；
对于B， ，
所以，当且仅当 时，等号成立，
所以，
解得（当且仅当 时，等号成立）
或（当且仅当 时，等号成立），故B错误；
对于C，因为， ，所以，
当且仅当 即时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即 ，，即时，
等号成立，故D正确.故选 .
13.若，，且，则 的最小值是___.
[解析] 因为,，且，所以 ，
即，即，所以 ，
所以
，
当且仅当 ,即,时,取等号,所以的最小值为 .
14.[2025·江苏宿迁期末] 为了节能减排，某企业决定安装一个可使
用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备
的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积 （单位：平方米）
成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电
能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费
（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 （单位：平方米）
之间的函数关系是（ 为常数）.
已知太阳能电池板面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，
记 （单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与
该企业15年所消耗的电费之和.
（1）求常数 的值；
解：依题意得，，所以，解得，
故 的值为200.
（2）写出 的解析式；
解：依题意可知 ，
由（1）得，
当 时，
；
当 时， .
所以
（3）当为多少平方米时， 取得最小值 最小值是多少万元
解：当 时， ，
因为在上单调递增，在 上单调递减，
所以 ；
当 时, ，
当且仅当，即 时，等号成立.
而，所以 .
故当为35平方米时， 取得最小值，最小值是37.5万元.
【知识聚焦】1.（1）, （2） 2. 2
3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.（1） （2）
【课前演练】（1）√ （2）√ （3）√ 1. B 2. A 3. B
课堂考点探究
例1（1）C （2）B 例2（1）A （2）B 例3 B 【对点演练1】（1）D （2）A （3）D
例4 D 【对点演练2】ACD 例5 B 【对点演练3】4
教师备用习题
例1 ABD 例2（1）证明略 （2）略 例3 CD
例4（1），定义域为.
（2）当时，的面积取得最大值．
例5 12
夯实基础
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. BCD 7. 60 8. 13 9.
10.（1）该企业每月产量为20万套时，平均每万套的成本最低，最低成本为12万元.
（2）该企业每月至少生产30万套该套装产品，才能确保每月的利润不低于625万元.
综合提升
11. B 12. ACD 13.
14.（1）200 （2）
（3）当为35平方米时，取得最小值，最小值是37.5万元.

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