资源简介

第5讲　一元二次方程、不等式
【备选理由】 例1考查分式不等式与对数不等式的求解,与集合的关系相交汇,提升学生处理交汇性问题的能力;例2考查一元二次不等式的解集及利用穿针引线法解决不等式问题;例3考查三个二次间的关系(含参的一元二次方程根的分布);例4考查一元二次不等式能成立问题(嵌套函数 ).
1 [配合探究点一使用] 已知全集U=R,集合A=,B={x|log2x≥a},若B UA,则实数a的取值范围是 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(2,+∞) D.[1,+∞)
[解析] 由≤0,得-2≤x<2,所以A={x|-2≤x<2},所以 UA={x|x<-2或x≥2}.
由log2x≥a,得x≥2a,所以B={x|x≥2a}.
又B UA,所以2a≥2,解得a≥1.故选D.
2 [配合探究点二使用] (1)[2025·云南师大附中期末] 若关于x的不等式x2+px+q<0的解集是{x|-10的解集是 ( B )
A.(-3,-2)∪(4,+∞) B.(-3,2)∪(4,+∞)
C.(-3,0)∪(2,4) D.(-∞,-2)∪(3,4)
(2)不等式(x-12)(x-22)(x-32)…(x-1002)≤0的整数解有 ( C )
A.100个 B.5000个
C.5100个 D.无穷多个
[解析] (1)由题意可得x2+px+q=(x+1)(x-2)=x2-x-2,
则p=-1,q=-2,则=>0,
所以(x2-x-12)(x-2)=(x+3)(x-4)(x-2)>0,解得-34.故选B.
(2)利用穿针引线法解不等式,示意图如图所示,
不等式(x-12)(x-22)(x-32)…(x-1002)≤0的整数解在[12,22]内的有22-12+1=(2+1)×(2-1)+1=4(个),在[32,42]内的有42-32+1=(4+3)×(4-3)+1=8(个),…,在[992,1002]内的有1002-992+1=(100+99)×(100-99)+1=200(个).
所以原不等式的整数解有4+8+…+200==5100(个).故选C.
3 [配合探究点二使用] (多选题)设m为实数,已知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0,则下列说法正确的是 ( BD )
A.当m=3时,方程的两个实数根之和为0
B.方程无实数根的一个必要条件是m>1
C.方程有两个不相等的正根的一个充分条件是0D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0
[解析] 对于A,当m=3时,方程为3x2+1=0,此时方程无实根,故A错误;对于B,由题意可得解得10的解集为(-∞,1)∪(9,+∞),解不等式->0可得04 [配合探究点三使用] [2025·江苏徐州期末] 已知函数f(x)=x-.
(1)求不等式f(x)>0的解集;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若关于x的不等式f[(a2+1)x2+1]+f(x2-6)>-2在(0,1)上有解,求实数a的取值范围.
解:(1)不等式f(x)>0,即x-=>0.
当x+1>0时,(x+2)(x-1)>0,解得x>1;
当x+1<0时,(x+2)(x-1)<0,解得-2综上可知,不等式f(x)>0的解集为(-2,-1)∪(1,+∞).
(2)证明:f(x)的定义域为A=(-∞,-1)∪(-1,+∞),
对任意的x∈A,都有-x-2∈A,
且f(-x-2)=-x-2-=-x-2,
从而f(x)+f(-x-2)=-2,
即f(x)的图象关于点(-1,-1)对称,所以曲线y=f(x)是中心对称图形.
(3)因为f(x)=x-(x≠-1),所以f'(x)=1+>0,
所以f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增.
由(2)可知,f(x)+f(-x-2)=-2,所以f(x2-6)=-f(4-x2)-2,
所以f[(a2+1)x2+1]-f(4-x2)-2>-2在(0,1)上有解,
即f[(a2+1)x2+1]>f(4-x2)在(0,1)上有解.
又因为x∈(0,1),所以(a2+1)x2+1,4-x2∈(-1,+∞),
所以(a2+1)x2+1>4-x2在(0,1)上有解,即a2+1>=-1在(0,1)上有解.
由x∈(0,1),得-1∈(2,+∞),故a2+1>2,即a>1或a<-1.
所以a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(共93张PPT)
第5讲 一元二次方程、不等式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实
根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不
等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用
集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程
的联系.
◆ 知识聚焦 ◆
1.一元二次不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一
元二次不等式，其一般形式为 或________________
，，均为常数， .
2.一元二次不等式的解法步骤
（1）将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式
或 .
（2）求出相应的一元二次方程的根.
（3）利用二次函数的图象与 轴的交点确定一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数 的图象
一元二次方程 的根 有两个不相等 的实数根 ， 有两个相等的 实数根 没有实数根
判别式
的解集 _____________ _________ _ ___________
的解集 _____________ __
或
续表
4.一元二次方程根的分布
设函数,且的两实根分别为,.
分布 情况 两实根都在 内 两实根有且仅有 一根在 内 一根在 内,另一
根在内
大致 图象 及结论 ___
或
分布 情况 两实根都在 内 两实根有且仅有 一根在 内 一根在 内,另一根
在内
大致 图象 及结论 ____________________________ ____________________________ ______________________________
或
续表
常用结论
1.一元二次不等式恒成立问题
（1）不等式，恒成立且
；
（2）不等式，恒成立且
.
2.简单分式不等式
（1）
（2） .
3.能成立问题的转化：能成立 ；
能成立 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）关于的一元二次方程的两实根分别是0， .( )
√
[解析] 由题意得，，方程的两实根分别是0， ，故正确.
（2）若关于的方程没有实数根，则关于
的不等式的解集为 .( )
×
[解析] 因为关于的方程 没有实数根，
且二次函数的图象开口向下，
所以 恒成立,则不等式的解集为 ,故错误.
（3）如果二次函数 的图象开口向上，那么不等式
的解集一定不是空集. ( )
√
[解析] 当二次函数的图象开口向上时, ，
则不等式 的解集不是空集，故正确.
（4）关于的不等式的解集可能是
为常数 .( )
√
[解析] 由题意，当,时,原不等式变为 ，
解得，此时，若，则 ，故正确.
题组二 教材改编
1.不等式 的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 原不等式可化为，解得 .故选B.
√
2.已知关于的不等式的解集是，则关于 的不
等式 的解集是_ ____________（用集合表示）.
[解析] 关于的不等式的解集为，
，且1，2是关于的方程 的两个实数根，
解得
关于的不等式 可化为，
又, ,解得,
所求不等式的解集为 .
3.若不等式对任意恒成立，则实数 的取
值范围为________.
[解析] 当时，恒成立,满足题意；
当 时，若不等式对任意 恒成立，
则解得.
综上可得，，则实数 的取值范围为 .
探究点一 一元二次不等式的解法
题型1 不含参数的不等式
例1（1）[2025·湖南邵阳期末]已知集合 ,
,,,0,1,2,，则 ( )
A.,, B., C. D.
[解析] 由不等式 ，
解得，即，
则或 ，所以,, .故选A.
√
（2）不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，即 ，
即解得，
故不等式 的解集为 .故选C.
√
题型2 含参数的不等式
例2（1）[2025·广东汕头质检]对于给定实数，关于 的一元二次不
等式 的解集可能是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时, ,此时所求解集为；
当时, ,此时所求解集为；
当时， ，此时所求解集为；
当时，不满足题意；
当时， ，此时所求解集为 ，故选A.
（2）当时，关于 的不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由得或 .
因为，所以，所以 .
又因为，
所以 等价于，
可得 ，
所以的解集为 .故选B.
总结反思
（1）解含参数的一元二次不等式的
一般步骤
（2）在处理分式不等式过程中，
如果不能确定分母正负,则可先
进行移项,将分式不等式转化为整式不等式，
可避免去分母过程中产生的分类讨论.
【对点演练1】（1）不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 不等式可化为 ，
则不等式的解集为 ，故选A.
√
（2）[2026·陕西安康期末]不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得，等价于
解得，故原不等式的解集为 .故选C.
√
（3）（多选题）已知关于的不等式
的解集为 ，则下列结论正确的是( )
A. 可能为空集
B. 中可能只有一个元素
C.若，则 中的元素为负数
D.若，则
√
√
√
[解析] 对于A，由题意得 ，
则 不可能为空集，A错误；
对于B，由，得 ，
当，即时，，得 ，
此时，B正确；
对于C，当，即 时，，C正确；
对于D，当，即 时，，
因为，所以，得 ，D正确.故选 .
探究点二 三个二次间的关系
例3（1）若关于的不等式 的解集为
，则 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由关于的不等式的解集为 ，
得即
所以不等式 可化为，
又，所以，解得 或.
所以不等式的解集为 .故选B.
（2）[2026·江苏南京期中] 关于的方程 的
一根在内，另一根在内，则实数 的取值范围是______.
[解析] 设 ，其图象开口向上，
由题意得解不等式组得，
故实数 的取值范围是 .
总结反思
一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根或函数的零点之间
是相通的，这是构成三个二次之间关系的桥梁.
在求解根的分布问题时,要结合根与系数的关系或方程所对应的函数
的函数值大小,转化为代数问题进行求解.
【对点演练2】（1）已知关于 的一元二次方程
的一根比1大，另一根比1小，则实数 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 记 ，其图象开口向上.
因为原方程的根一个大于1一个小于1，
所以当时, ,即,解得，
所以实数 的取值范围是 .故选C.
√
（2）（多选题）[2025·山东菏泽期中]已知为任意实数，关于 的
方程 ，则( )
A.当 时，方程有两个实数根
B.当 时，方程有两个异号的实数根
C.当时，方程有两个实数根，，且
D.若方程有两个实数根，，则
√
√
[解析] .
对于A,当 时, ,此时方程有两个实数根，故A正确；
对于B,若方程有两个异号的实数根,则解得 ,
即当时，方程有两个异号的实数根，故B正确；
对于C，当 时， ，方程无实数根，故C错误；
对于D，若方程有两个实数根，，则，即，
当 时，方程的两根，，
显然 无意义，故D错误.故选 .
探究点三 一元二次不等式恒（能）成立问题
题型1 在 上恒成立问题
例4（1）[2026·江西临川联考]当 时，一元二次不等式
恒成立，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.或
[解析] 由一元二次不等式 恒成立，
可得解得 .故选A.
√
（2）[2026·辽宁辽阳期末]函数 的定义域
为，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得恒成立.
当时， ，符合题意；
当时，需满足解得.
综上， 的取值范围是 .故选C.
√
题型2 在给定区间上的恒成立问题
例5（1）[2025·福建三明期末]已知 ，当
时，恒成立，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 依题意,.
令 ，当时，，
不等式 可化为，
则对任意的, 恒成立.
当时，恒成立，此时；
当 时,,函数在上单调递减，
当 时，，因此；
当 时，，而 ，
当且仅当时取等号，因此.
所以 的取值范围是 .故选B.
（2）已知函数，且 的解集为
，求函数在区间上的最小值 .
解：因为的解集为，
所以1，3为关于 的方程 的两根，
所以解得所以 .
因为图象的对称轴为直线，
所以 在区间上单调递减，在上单调递增.
当时， 在区间上单调递增，
此时 ；
当，即时，在区间 上单调递减，
在区间上单调递增，此时 ；
当，即时，在区间 上单调递减，
此时 .
综上所述，
题型3 给定参数范围的恒成立问题
例6 [2025·湖北武汉武钢三中检测]已知对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 对任意，不等式 恒成立，
即对任意， 恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意 ，，
所以 ，解得，
故实数的取值范围是 .故选D.
题型4 不等式能成立问题
例7 若存在,，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，不等式为，即 ，
显然在上有解，符合题意；
当 时，抛物线开口向下，
显然 在上有解，符合题意；
当 时，抛物线开口向上，
若存在 , ，
则只需 ，解得或，
又，所以或 .
综上，实数的取值范围是 .故选D.
总结反思
1.一元二次不等式在 上恒成立的情况：
恒成立
恒成立
2.（1）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等
式恒成立转化为最大（小）值问题,即若 的图象连续不断，则
恒成立等价于 ,
恒成立等价于 .
（2）用分离参数法可避免分类讨论,直接求出参数的取值范围.
【对点演练3】（1）[2026·重庆期末]若不等式
对一切恒成立，则实数 的取值
范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，恒成立，则满足题意；
当 时，由题可得解得 .
综上，实数的取值范围为 .故选D.
√
（2）对任意，不等式恒成立，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为对任意，不等式 恒成立，
所以， ，
设，，
因为 ，
所以当时，函数， 取得最小值，
最小值为，所以 ，故选B.
（3）“”是“在 上恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若在上恒成立，
则 在上恒成立.
由对勾函数的性质可知，函数在 上单调递增，
所以当时，，所以 ，
所以“在上恒成立”的充要条件是“ ”.
因为，
所以“”是“ 在 上恒成立”的充分不必要条件.
故选A.
（4）[2025· 河北廊坊期末]函数，则 在
上有解的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 在上有解，即在 上有解，
又当时，,当且仅当,即 时取等号，
所以.
因为，
所以在 上有解的一个充分不必要条件是 .故选B.
√
例1 ［配合探究点一使用］已知全集，集合 ，
，若，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，所以 ，
所以或 .
由，得，所以 .
又，所以，解得 .故选D.
√
【备选理由】例1考查分式不等式与对数不等式的求解，与集合的关
系相交汇，提升学生处理交汇性问题的能力；
例2 ［配合探究点二使用］
（1）[2025·云南师大附中期末]若关于的不等式 的
解集是，则关于的不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例2考查一元二次不等式的解集及利用穿针引线法解决
不等式问题；
[解析] 由题意可得 ，
则，，则 ，
所以 ，
解得或 .故选B.
（2）不等式 的整数解有
( )
A.100个 B.5000个 C.5100个 D.无穷多个
√
[解析] 利用穿针引线法解不等式，示意图如图所示，
不等式的整数解在
内的有（个），
在 内的有（个）， ，
在 内的有
（个）.
所以原不等式的整数解有 （个）.
故选C.
例3 ［配合探究点二使用］（多选题）设为实数，已知关于 的方
程 ，则下列说法正确的是( )
A.当 时，方程的两个实数根之和为0
B.方程无实数根的一个必要条件是
C.方程有两个不相等的正根的一个充分条件是
D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
√
√
【备选理由】例3考查三个二次间的关系(含参的一元二次方程根的分布);
[解析] 对于A,当时,方程为 ,此时方程无实根,故A错误；
对于B，由题意可得
解得 ，而，故B正确；
对于C,由题意可得
由B可知不等式的解集为，
解不等式 可得，所以不等式组的解集为，
而 ，故C错误；
对于D，由题意可得解得，故D正确.故选 .
例4 ［配合探究点三使用］[2025·江苏徐州期末] 已知函数
．
（1）求不等式 的解集；
解：不等式,即 ．
当时，，解得 ；
当时，，解得 ．
综上可知，不等式的解集为 ．
【备选理由】例4考查一元二次不等式能成立问题（嵌套函数 ）.
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
证明：的定义域为 ，
对任意的，都有 ，
且 ，
从而 ，
即的图象关于点对称，
所以曲线 是中心对称图形．
（3）若关于的不等式在
上有解，求实数 的取值范围．
解：因为，所以 ，
所以在， 上单调递增．
由（2）可知， ，
所以 ，
所以在 上有解，
即在 上有解．
又因为，所以， ，
所以在 上有解，
即在 上有解．
由，得，故，
即 或 ．
所以的取值范围是 ．
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·安徽江南十校联考]已知集合 ,
，则 ( )
A. B. C. D.,0,1,
[解析] 由题意得， ，
，则 .故选B.
√
2.[2026·重庆沙坪坝模拟]不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 原不等式等价于或
解得 或，
故原不等式的解集为 .故选D.
√
3.若关于的不等式 的解集为非空集合
，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为的解集为 ，
所以且，故 .故选D.
√
4.若不等式对任意实数均成立，则实数
的取值范围是( )
A. B.或
C. D.
√
[解析] 不等式 可化为
.
当,即 时,不等式为,恒成立,故满足题意；
当，即 时，要使不等式恒成立，
则需 解得.
综上所述，的取值范围为 .故选C.
5.若关于的不等式的解集为 ，
且，则实数 的值为( )
A. B. C.1 D.4
[解析]因为关于的不等式 的解集为，
所以 ，
,，得 .
因为，所以，解得 .故选B.
√
6.已知方程的两根都在区间内，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，设的两根为, ，
由,都在区间 内,得解得，
所以实数 的取值范围为 .故选D.
7.（多选题）“存在，使 ”的必要不充分条件可以
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由存在，使 ，可得，
解得 .
分析选项知A，C符合题意，故选 .
√
√
8.不等式 的解集为________________.（答案写成区间形式）
[解析] 由，得，则 ，
即，解得或 .
9.[2025·辽宁沈阳期末] 若函数的定义域为，则 的
取值范围是________.
[解析] 由题意，，则恒不为零，
即关于 的方程没有实根，
则，解得 .
10.[2026·江西赣州模拟] 已知二次函数 .
（1）若的解集为，求， 的值；
解：由的解集为，
可知1， 是方程的根，且，
则 ，解得 .
由，解得 ，
所以, .
（2）解关于的不等式 .
解：由二次函数，知 .
不等式整理得 ，
即 .
当时，①式等价于 .
若，即，则由②式可得或 ；
若，即，则由②式可得 ；
若，即，则由②式可得或 .
当时，①式等价于，解得 .
综上，当时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为 .
◆ 综合提升 ◆
11.对任意的，不等式 恒成立，则
的最小值为( )
A.6 B. C. D.
√
[解析] 对任意的，不等式 恒成立.
当时，不恒成立，不符合题意；
当 时，需满足且，
即 ，所以，所以，所以, ，
则，当且仅当 时，等号成立，
故的最小值为 .故选B.
12.（多选题）已知关于的方程 ，则下列
说法正确的是( )
A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
B.方程无实数根的一个必要条件是或
C.方程有两个正根的充要条件是
D.当 时，方程的两个实数根之和为0
√
√
[解析] 对于A,当时,方程为,解得 ,
只有一根,故A错误；
对于B，若关于 的方程无实数根，
则 解得或 ，故B正确；
对于C,方程有两个正根等价于
解得 ,故C正确；
对于D，当时，方程为，方程无实根，故D错误.故选 .
13.[2026·江苏南通期末] 已知命题“对任意的 ，
”为假命题，则实数 的取值范围为__________.
[解析] 由题意可得命题“， ”为真命题，
即当时，有解.
令 ，，则，
在上单调递减，
所以，
所以 ，即实数的取值范围为 .
14.已知关于的不等式 .
（1）若不等式的解集为，求， 的值；
解：因为关于的不等式 的解集为 ，
所以关于的方程的两根为1，2，且 ,
所以解得
（2）若 ，求不等式的解集；
解：因为，所以,即 .
①当时，不等式为，解得 ；
②当时，不等式可化为，解得或 ；
③当，即时，不等式可化为 ，
解得 ；
④当，即时，不等式可化为，解得 ；
⑤当，即时，不等式可化为 ，
解得 .
综上，当时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为 .
（3）在（1）的条件下，若对任意的 ，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）知不等式对任意的 恒成立，
即对任意的 恒成立，
只需 .
因为，所以 ,
所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以，即，解得 ，
故实数的取值范围为 .
【知识聚焦】1. 3.或
【课前演练】（1）√ （2）× （3）√ （4）√ 1.B 2. 3.
课堂考点探究
例1（1）A （2）C 例2（1）A （2）B 【对点演练1】（1）A （2）C
（3）BCD 例3（1）B （2） 【对点演练2】（1）C （2）AB
例4（1）A （2）C 例5（1）B （2）m>
例6 D 例7 D 【对点演练3】（1）D （2）B （3）A （4）B
教师备用习题
例1 D 例2（1）B （2）C 例3 BD 例4（1）．
（2）证明略 （3）
夯实基础
1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. AC 8. 9.
10.（1）,（2）当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
综合提升
11. B 12. BC 13. 14.（1）
（2）综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为
（3）

展开更多......

收起↑