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知识网络
第6讲 函数的概念及其表示
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对
应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻
画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列
表法、解析法等）表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.函数的概念
一般地，设，是非空的________，如果对于集合 中的______一
个数，按照某种确定的对应关系，在集合 中都有__________的
数和它对应，那么就称为从集合到集合 的一个函数，
记作， .
实数集
任意
唯一确定
2.函数的定义域、值域
（1）在函数，中，叫作自变量，的取值范围 叫作
函数的________；与的值相对应的 值叫作函数值，函数值的
__________________叫作函数的______.
定义域
集合
值域
（2）如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，那
么这两个函数为同一个函数.
定义域
对应关系
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有________、图象法和________.
解析法
列表法
4.分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用
几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
（2）分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数
的定义域等于各段函数的自变量的取值范围的并集，值域等于各段
函数的函数值的取值范围的并集.
对应关系
常用结论
1.常见函数的定义域
（1）分式函数的定义域为使分母不等于0的自变量的取值范围.
（2）偶次根式函数的定义域为使被开方式大于或等于0的自变量的
取值范围.
（3）一次函数、二次函数的定义域为 .
（4）函数的定义域为,且 .
（5）且,,的定义域均为 .
（6）且的定义域为 .
（7）的定义域为 .
2.基本初等函数的值域
（1）的值域是 .
（2）的值域:当 时,值域为
;当时,值域为 .
（3）的值域是 .
（4）且的值域是 .
（5）且的值域是 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( )
√
[解析] 根据函数的概念可知，已知定义域和对应关系就可以确定一
个函数，故正确.
（2）两个函数的定义域和值域分别对应相同就表示同一个函数.( )
×
[解析] 两个函数的定义域和值域分别对应相同不一定表示同一个函
数，如,的定义域和值域均为 ，但两个函数的对应关
系不同，不是同一个函数，故错误.
（3）若，则 .( )
×
[解析] 对于，令，得 ，
则 ，故错误.
（4）分段函数至少由两个函数组成.( )
×
[解析] 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数，故错误.
题组二 教材改编
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据函数解析式可得解得
所以该函数的定义域为 .故选C.
√
[解析] 根据题中关于 的函数关系的图象可知，周老师先离家越来
越远，然后有一段时间和家的距离相同，再回家（离家越来越近），
只有D选项符合题意.故选D.
2.如图是周老师散步时离家距离与行走时间 之间的函数关系的图
象，则周老师散步的路线可能是（以下各图中
黑点表示家，箭头方向为散步方向，实线部分
代表路线）( )
A. B. C. D.
√
3.下列各组函数是同一个函数的为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 对于A，因为的定义域为，的定义域为 ，
所以这两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，
所以A错误；
对于B，，的定义域都为 ，因为 ，
所以这两个函数不是同一个函数，所以B错误;
对于C，，的定义域都为 ，因为
，所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误；
对于D，因为,的定义域都为 ，且对应关系相同，所以
, 是同一个函数，所以D正确.故选D.
4.已知，则 的定义域为________,值域为________.
[解析] 因为，,所以， ，
故的定义域为，值域为 .
探究点一 函数的定义域
例1（1）[2026·浙江金华联考]函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得解得或，
故 的定义域为 .故选A.
√
（2）已知函数的定义域为，则函数 的定义域为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，所以 ，
解得，
故函数的定义域为 .故选B.
√
总结反思
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式
子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际
问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
（1）若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义
域可由不等式组 求出；
（2）若已知函数的定义域为，则 的定义域为
的值域.
【对点演练1】（1）函数 的定义域是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可得 即
解得或 ，
所以函数的定义域是 .故选C.
√
（2）[2026· 辽宁葫芦岛期末]已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于函数，，则 ，
所以函数的定义域为.
对于函数 ，则所以
解得 .
因此所求的定义域为 .故选D.
√
（3）[2026·广东惠州质检] 若函数的定义域为 ，
则实数___，实数 的取值范围为__________.
2
[解析] 由题得解得
又函数的定义域为，所以，
即 ,且 .
探究点二 求函数的解析式
题型1 待定系数法
例2 已知对任意的,，都有 ，则
一次函数 的解析式为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，则
.
因为 ，
所以，
则 解得所以 .故选C.
题型2 换元法
例3 [2025·江苏盐城期中] 若函数，则
______________.
[解析] 令，则 ，
则，故 .
题型3 构造法
例4 [2025·辽宁大连期末] 已知函数满足 ，
则 _ ________________.
[解析] 对于 ，
将①中替换成，可得，
再将①中 替换成，可得
相减可得 ，
③④相加可得，
所以 .
题型4 配凑法
例5 已知，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意， ，
显然，所以 .故选B.
√
总结反思
1.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,可用
待定系数法.
（2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此
时要注意新元的取值范围.
（3）构造法：已知与或,为常数 之间的关系式,
可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方
程组求出 .
（4）配凑法:由已知条件,可将改写成关于 的
表达式,然后以替代,便得 的解析式.
2.求解函数解析式后一定要注意定义域问题.
【对点演练2】（1）[2025·福建福州期中]若函数 是二次函数，
满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设，由，可得 ，
由 ，可得
，
整理可得，则解得
所以 .故选B.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C.1 D.7
[解析] 由题意，得，则 ，
故 .故选B.
√
（3）[2026·黑龙江哈尔滨质检] 已知函数的定义域为 ，且满足
，则 _ _______.
[解析] 由，得 ，
联立两式消去，得，则 .
（4）已知，则 _____________.
[解析] 由题知，令，则， ，
则 ，即 .
探究点三 分段函数
题型1 求函数值
例6 已知函数则 的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 根据题意得， ，故选B.
√
题型2 求值域或最值
例7 [2026·河北邯郸期末]已知 ，函数
则 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，在 上单调递减，
此时.
当时， ，因为，所以在 上单调递增，
此时.
综上可得，的值域为 .故选C.
√
题型3 解不等式
例8 [2025·河南豫西重点高中联考]已知函数
则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，得 ，
解得或（舍去）.
√
当 时，令 ，
则，
所以当时，，在 上单调递增；
当时，，在 上单调递减.
所以，即当时，
恒成立，所以当时，不等式 无解.
综上，所求不等式的解集为 .故选A.
总结反思
（1）分段函数的求值问题的解题思路：
①求函数值：当出现 的形式时，应从内到外依次求值.
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，
然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
（2）分段函数与方程、不等式有关问题的求解思路：依据不同范围
的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
【对点演练3】（1）已知函数的定义域为 ，且满足
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为 ，且满足
所以 .
故选B.
√
（2）[2026·山东济南模拟]已知函数 则
的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，， ，
；
当 时，，，；
当 时，.所以为奇函数，
易知为 上的减函数，则等价于
，
则，解得，所以原不等式的解集为 .故选A.
√
（3）定义一种运算则函数 的值
域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得，解得；
由可得 ，解得.
所以
当 时，；当时，.
综上所述， 的值域为 .故选B.
√
【备选理由】例1考查实际生活问题中的函数定义域的求解；
例1 ［配合探究点一使用］[2026·四川成都期末]一枚炮弹发射后，
经过 落到地面击中目标.炮弹的射高（炮弹运动轨迹最高点距地
面的高度）为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间
（单位：）的关系为 ，该函数的定义域为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，炮弹发射后共飞行了 ，
所以，即函数的定义域为 .故选C.
【备选理由】例2考查利用函数的图象判断函数的解析式,意在考查直观
想象的核心素养;
例2 ［配合探究点二使用］[2025·辽宁名校联盟模拟]
已知函数的部分图象如图所示，则 的解析式
可能是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图象可知的图象关于轴对称，即 为偶函数，选项
中函数 的定义域都是 .
对于A，， 为偶函数；
对于B， ， 为奇
函数；
对于C，
， 为偶函数；
对于D，， 为
偶函数. 故排除B.
由图可知 .对于A， ，不符合题意；
对于C， ，符合题意；
对于D， ，不符合题意．
故选C．
【备选理由】例3考查分段函数的单调性求参数,意在提升逆向思维能力.
例3 ［配合探究点三使用］[2026·福建泉州联考]已知函数
是上的增函数，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，函数在 上是增函数，
则解得 .故选A.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·湖南永州联考]函数 的定义域是
( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 函数，
的定义域为. 故选B.
2.已知函数则 ( )
A. B.100 C.2 D.1
[解析] 由题得， ，
故 .故选B.
√
3.[2025·山东泰安模拟]已知集合,,,0,1,2, ,
,则 的子集个数为( )
A.3 B.4 C.8 D.9
[解析] 由不等式，解得 或
，所以集合或.
因为集合,, ,0,1,2,，所以,,，
所以的子集个数为 .故选C.
√
4.[2025·江苏连云港期中]已知函数 ，且函数
的定义域为 ，则( )
A.，
B.，
C.，
D.，
[解析] 由 ，可得.
又函数的定义域为 ，所以，
所以函数的定义域为 .故选D.
√
5.函数 的值域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，；当时， ,
则，当且仅当，即 时，等号
成立，
故函数的值域为 ，故选D.
√
6.已知函数若存在三个不相等的实数 ，
，使得，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不妨设 ,函数
的图象如图所示：
由图可知,, ，又的图象的对称轴是
直线，且 ，所以，则 .
当时, 单调递增，
且，
因为 ，所以 .故选A.
7.已知定义在上的函数满足 ，则
( )
A.0 B.1 C.2 D.
[解析] 对于，
令, ，则，得；
令 ，则，得；
令, ，则，得 .故选A.
√
8.（多选题）已知若，则 的值可
以是( )
A. B. C.4 D.8
√
√
[解析]
若 ，则或
即或
所以或.故选 .
9.（多选题） 广东东莞联考］下列说法正确的是( )
A.与 表示同一个函数
B.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为
C.函数的值域为
D.已知函数满足，则
√
√
√
[解析] 对于A，由解得 ，所以
的定义域为；
由 ，解得，所以的定义域为 .
又 ，所以两个函数有相同的定义域及
对应关系，表示同一个函数，选项A正确.
对于B，因为函数的定义域为，所以 ，
解得，所以函数的定义域为 ，选项B正确.
对于C，由，可得函数的定义域为 .
又函数在 上单调递增，
所以，所以函数 的值域
为 ，选项C错误.
对于D，因为，所以 ，
由得，解得 ，选项D
正确.故选 .
10.（1）已知，求 的解析式；
解： .
（2）已知，求 ；
解：方法一（换元法）令,，则 ，
所以 ，
所以 .
方法二（配凑法）
, ，
所以 .
（3）已知为二次函数，且 ，求
；
解：设 ，
则 ，
所以解得
所以 .
（4）已知，求 .
解：由题意可得
解方程组，可得 .
◆ 综合提升 ◆
11.已知函数若，则实数 的值为
( )
A.或2 B.或1 C.1 D.
√
[解析] 当时，由，得 ，
即，解得,
又因为函数在 上单调递增，所以方程只有
这一个根，又因为,所以 舍去.
当时，由，得，即 ，解得
.
综上，实数的值为 .故选D.
12.如果是函数图象上的一点，那么 就
是函数图象上的点，则 ( )
A. B.0 C. D.
[解析] 因为在函数的图象上，且 在函数
的图象上，所以.
令 ，则，则，因此 ，
则 .故选D.
√
13.设定义在上的函数 满足
，则 的最小值是____.
25
[解析] 对于，以代替 ，
得 ，
则 ，
得 ，
则 ，当
且仅当，即时，等号成立，
故 的最小值是25.
14.（1）已知对任意正实数,，总有 .求证：
, .
解：证明：令，则，故 .
令，则，故.
令 ，则 ，
所以 .
（2）已知定义在上的函数满足当 时,
，当时, ，
求 的解析式.
解：对于，
令 ，则，得 .
当时，，故 ，
因为 ，
所以
.
综上，
【知识聚焦】
1.实数集 任意 唯一确定 2.（1）定义域 集合 值域
（2）定义域 对应关系 3.解析法 列表法 4.对应关系
【课前演练】 题组一 （1）√ （2）× （3）× （4）×
题组二1.C 2.D 3.D 4.
课堂考点探究
例1（1）A （2）B 【对点演练1】（1）C （2）D （3）2
例2 C 例3 例4 例5 B
【对点演练2】（1）B （2）B （3） （4）
例6 B 例7 C 例8 A 【对点演练3】（1）B （2）A （3）B
教师备用习题
例1C 例2C 例3A
夯实基础
1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.AD 9.ABD
10.（1）. （2）.
（3）.
（4）.
综合提升
11.D 12.D 13.25
14.（1）证明略.
（2）知识网络
第6讲　函数的概念及其表示
【备选理由】 例1考查实际生活问题中的函数定义域的求解;例2考查利用函数的图象判断函数的解析式,意在考查直观想象的核心素养;例3考查分段函数的单调性求参数,意在提升逆向思维能力.　　　　　 　　　　　 　　　　　
1 [配合探究点一使用] [2026·四川成都期末] 一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高(炮弹运动轨迹最高点距地面的高度)为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2,该函数的定义域为 ( C )
A.(0,+∞) 　B.(0,845]
C.[0,26] 　 D.[0,845]
[解析] 由题意可知,炮弹发射后共飞行了26 s,
所以0≤t≤26,即函数h=130t-5t2的定义域为[0,26].故选C.
2 [配合探究点二使用] [2025·辽宁名校联盟模拟] 已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是 ( C )
A.f(x)=-2cos x 　B.f(x)=-2sin x
C.f(x)=ln|x|-e|x| 　D.f(x)=ln|x|-x2
[解析] 由图象可知f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,选项中函数f(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞).对于A,f(-x)=-2cos(-x)=-2cos x=f(x),f(x)为偶函数;对于B,f(-x)=--2sin(-x)=-=-f(x),f(x)为奇函数;对于C,f(-x)=ln|-x|-e|-x|=ln|x|-e|x|=f(x),f(x)为偶函数;对于D,f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln|x|-x2=f(x),f(x)为偶函数.故排除B.由图可知f(1)<-2.对于A,f(1)=1-2cos 1>-2,不符合题意;对于C,f(1)=ln 1-e1=-e<-2,符合题意;对于D,f(1)=ln 1-1=-1>-2,不符合题意.故选C.
3 [配合探究点三使用] [2026·福建泉州联考] 已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 ( A )
A.-3≤a≤-2 　B.a≤-2
C.-3≤a≤0 　D.a≤0
[解析] 由题意,函数f(x)=在R上是增函数,则解得-3≤a≤-2.故选A.

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