资源简介

(共53张PPT)
微专题1 抽象函数的性质及其应用
微点一
微点二
微点三
微点四
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 抽象函数的单调性
例1 定义在上的函数满足当时， ，且对任
意的，，都有 .证明：
（1） ；
证明:令,，则，
又，所以 .
（2）对任意的，恒有 ；
解：令,，则，即 ，
由题意，当时，，
则对任意， ，有 ，
所以，
又 ，所以对任意的,恒有 .
（3） 是增函数.
解：方法一：任取,，且，
令, ，则 ，
则 ，
因为，所以，
又 ，所以，故 是增函数.
方法二：任取,，且,因为 ，
所以 ，
由，得，
又 ，所以，即 ，
所以 是增函数.
总结反思
抽象函数的单调性无法从函数本身的性质进行获得，只能通过定义
进行判断，此时无论指定还是,最终都是要对 和
的大小关系进行判断，这就需要将题中的表达式进行合理的变
形，出现的形式或 的形式.通常可令
或，再代入原式，与 的关系
便可出现.
【对点演练1】 已知定义在上的函数满足对任意的, ，
恒有 成立.
（1）求 的值；
解：令，则，故 .
（2）求证：当时， ；
证明：，即 .
（3）若当时，恒有，试判断 的单调性，并说明理由.
解： 为减函数，理由如下：
设，则, ，
又 ，
所以，即，
所以 为减函数.
微点二 抽象函数的奇偶性
例2 [2026·山东济宁期中]已知函数的定义域为 ，满足
，则( )
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.是奇函数 D. 是偶函数
√
[解析] 因为，所以令 ，
可得，令，可得 ，
所以，
则 既不是奇函数也不是偶函数，且，
所以 是奇函数.故选C.
总结反思
利用奇偶性的定义解决含有双变量的抽象函数问题时，首先要将双
变量转化为单变量(例如：先通过赋值求出,再借助,将
转化为 ，或指定某一变量为0)，然后再利用函数奇偶性的定义进
行判断.
注意：此类问题中与 是两个不相关的变量，可以相等，也可以不
相等，也可以是指定的某种关系，要跳出是 的函数这一思维定式.
【对点演练2】（1）[2026·江苏扬州模拟]已知函数 满足对任意
实数，都有，且 ，则函
数 ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
[解析] 在中，
令 ，则，
又，所以，
令 得，所以，
所以 是偶函数.故选B.
√
（2）若定义在上的函数同时满足： 为
奇函数；；③对任意的,，且 ，都
有.则不等式 的解集为_____________
_______________.
[解析] 因为对任意的,，且 ，都有
，所以在 上单调递减.
因为为奇函数，且 ，所以
，则 为偶函数，且
，故在上单调递增，
所以 在上单调递增，在 上单调递减.
因为，所以由 ，得
当时，，即 ，得
，解得或,故；
当 时，，由，得，
即 ，
得或解得或 .
综上，不等式的解集为 .
微点三 抽象函数的对称性
例3（1）已知函数满足：①定义域为， 为偶函数，
为奇函数，④对任意的，，且 ，都有
.则，， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在 上为偶函数，
， 的图象关于直线对称.
在 上为奇函数，，
的图象关于点对称，且
，
将上式中的换成 ，
又， ，
由①②得③，将③中的
换成 ，由③④得，的一个周期为
对任意的 ,，且 ，都有
，在 上单调递增，
在一个周期内的草图如图所示.
，
，,
，即 ，故选C.
（2）[2026·河北保定期末] 若定义在上的函数满足 是
偶函数，函数的图象关于点中心对称，若 ，
则 ___.
2
[解析] 由题意知，则 .
由函数的图象关于点 中心对称，得
，即 ，
则有，即，所以为 上
的奇函数，则.
由 可得 ，故
，即4为 的一个周期.
又， ，所以
，
于是 .
总结反思
奇偶性与对称性的联系
（1）若已知为偶（奇）函数，判断函数 的对称性，可
令,则可求得 的图象的对称轴（或对称中心）.例如：
为偶函数，则的图象的对称轴方程为 .
（2）若已知 为偶（奇）函数，则需要根据定义或图象平移
判断 的奇偶性.
根据定义判断奇偶性时，要特别注意“-”的位置，根据图象平移判断
的奇偶性时，要注意“左加右减”.
（3）定义在上的函数，若为偶（奇）函数, 是常数，
且，则 也为偶（奇）函数.
【对点演练3】（1）已知函数是定义在 上的偶函数，函数
的图象关于点中心对称，若 ，则
( )
A. B. C.0 D.1
√
[解析] 由函数的图象关于点 中心对称可知，
，
即 ，
可得，因此函数的图象关于直线 对称，
由，可得，
由为 上的偶函数且的图象关于直线 对称，
可得 .故选B.
（2）已知函数为上的奇函数，若函数与
的图象关于点对称，则 ( )
A.1 B.0 C. D.
[解析] 根据题意，函数为上的奇函数，所以 ，
则，所以.
函数与 的图象关于点对称，
则 ，即，
所以 .故选B.
√
微点四 抽象函数的周期性
例4（1）[2026·湖北十堰调研]已知定义在上的奇函数 满足
，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为为定义在上的奇函数，所以 ，
，
又因为 ，所以，
所以 ，
可知2为的一个周期，所以 .故选B.
√
（2）已知函数的定义域为, ,
，且为偶函数，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 函数的定义域为 ，且有，
令 ，得，解得.
令, ，得，
则 ，而，即不恒为0，
因此，函数 为奇函数.
√
由为偶函数，得 ，则
，
于是 ，，
所以8为 的一个周期.
由，得 ，即
，因此
，所以 .故选B.
总结反思
抽象函数的周期性通常需要根据函数的奇偶性和对称性进行推导，
如例中提到，注意到与 的和为1，
那么当时有,则可获得 .这
样做的目的是将等式的一边写成或 ，便于接下来奇偶性的
应用.
【对点演练4】 [2025·广东惠州模拟]已知函数的定义域为 ,
为偶函数， 为奇函数，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数为偶函数，所以 ，可得
.
因为函数 为奇函数，所以,
所以 ，即，
可得，故4是 的一个周期.
对于，令，则，可得 .
对于，令，可得 ，B正确；
由题意可知，无法推出 ，A错误；
又，，而 是否为0不确定，故C，D错误.
故选B.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知函数的定义域为，函数 为奇函数，且
，则 的值为( )
A. B. C.0 D.36
[解析] 因为函数为奇函数，所以 .
因为，所以，所以 ，
则，即 ，
所以 故选B.
√
2.已知是定义在上的奇函数，是定义在 上的偶函数，则
( )
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.是奇函数 D. 是偶函数
√
[解析] 因为是定义在上的奇函数，所以 ，
因为是定义在上的偶函数，所以 .
对于A，因为，所以 为奇函数，
故A错误；
对于B，因为，所以 为偶函数，故B错误；
对于C，因为 ，与和
均不相等，所以 为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，因为，所以 为
偶函数，故D正确.故选D.
3.已知函数的定义域为,为奇函数, 为偶函数，当
时,，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为为奇函数，所以，
因为 为偶函数，所以 ，
则，
故 ，即，
故4是函数的一个周期.
又 为上的奇函数，所以，
解得 ，
则 .故选C.
4.[2026·辽宁名校联盟联考]已知定义在上的函数满足
为奇函数，且的图象关于直线对称，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
√
[解析] 由为奇函数，得 ，所
以图象的对称中心为，则， .
由的图象关于直线对称，得 ，
所以，所以，
则4是 的一个周期.
又易得, ,所以
.故选B.
5.已知定义在上的奇函数满足： 的图象是连续不断的
且为偶函数.若对任意的, ，
，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 为偶函数， ，
， 的图象关于直线对称.
为奇函数， 的图象关于对称， ，
，，
为一个周期为8的周期函数.
对任意的, ，，
在上单调递减.
由 的图象是连续不断的及的单调性、
对称性可得 的草图如图所示.
,
,
，
由图可知 ，
，故选D.
6.（多选题）已知函数的定义域为 ，则下列说法正确的是
( )
A. 的解析式可以表示为一个偶函数与一个奇函数的解析式之和
B.若是奇函数，则 是偶函数
C.若是偶函数，则 是偶函数
D.若是奇函数，则 是奇函数
√
√
√
[解析] 对于A，令, ,
则, ，
又， 的解析式可以表示为一个偶函数与一个
奇函数的解析式之和，A正确；
对于B,若 是奇函数，则,
,则 是偶函数，B正确；
对于C,若是偶函数，则 ，，
则 是奇函数，C错误；
对于D,若是奇函数，则,
, 则是奇函数，D正确.故选 .
7.[2026·山西临汾质检] 已知函数的定义域为 ，且
,，则 ____.
[解析] 由题可知， ，
令，则 ，
即，所以 ，
所以 ，
所以，所以 ，
即，故6是 的一个周期，
所以 .
8.[2025·重庆西南大学附中模拟] 已知定义在上的奇函数 满足
，则 ______.
2026
[解析] 方法一：由于函数是上的奇函数，则 .
对于，令，得.
可知 ，
即 ，
则 .
方法二：由于函数是上的奇函数，则 .
对于，令，得 ；
令，得.
设 ，则,，即 ，符合题意，所以 .
综合提升
9.[2026·福建漳州模拟]定义在上的奇函数满足：对任意的 ,
，且，都有.若 ，则不等
式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为对任意的,，且， ，
所以 .
√
设，则对任意的, ，且
恒成立，所以在上单调递增.
因为在 上为奇函数，所以
，
所以在上为奇函数，所以在上单调递增.
因为 ，所以，则 ，
所以的解集为，
所以 的解集为 .故选D.
10.[2025·湖北武昌实验中学模拟] 已知是定义域为 的偶函数,
，，若 是偶函数，则
___.
6
[解析] 因为是偶函数，且，其中
为奇函数，所以 必为奇函数，
所以，即 ，
又因为，所以 ,
所以，所以4是函数 的一个周期.
由函数是偶函数，可得 ，即，
所以 .
微点一
例1 证明略.
【 对点演练1】（1）. （2）证明略m>. （3）为减函数，理由略.
微点二
例2 C 【对点演练2】（1）B （2）
微点三
例3（1）C （2）2 【对点演练3】（1）B （2）B
微点四
例4（1）B （2）B 【对点演练4】B
夯实基础
1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.ABD 7. 8.2026
综合提升
9.D 10.6

展开更多......

收起↑