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第9讲 二次函数与幂函数
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.二次函数
（1）掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值）;
（2）了解二次函数的广泛应用.
2.幂函数
通过具体实例,结合,,,, 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.
◆ 知识聚焦 ◆
1.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式： ；
顶点式： ；
零点式： .
（2）二次函数的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域 _ ____________ _ ___________
解析式
单调性 单调递减区间是 _ __________； 单调递增区间是 _ __________ 单调递增区间是
_ __________；
单调递减区间是
_ __________
对称性 函数的图象关于直线 对称
续表
2.幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数 叫作幂函数，其中 是自
变量， 是常数.幂函数的特征：①自变量 处在幂底数的位置，幂
指数 为常数； 的系数为1；③只有一项.
（2）常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象
性 质 定义域 ________ _________
值域 __________ ________ _________
函数
性 质 奇偶 性 ____函数 ____函数 ____函数 _______ ___函数 ____函数
单调 性 在 上单 调递增 在________上单调递减； 在________上单调递增 在 上单 调递增 在 _____ 上单调 递增 在
________
和
________
上单调
递减
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
续表
常用结论
1.二次函数在闭区间上的最值
设二次函数，闭区间为 .
（1）当时，最小值为，最大值为 ；
（2）当时，最小值为，最大值为 ；
（3）当时，最小值为，最大值为 ；
（4）当时，最小值为，最大值为 .
2.有关幂函数的几个结论
对于形如（其中，，与 不可约分）的幂函
数：
（1）当为偶数时，为偶函数，其图象关于 轴对称；
（2）当，都为奇数时， 为奇函数，其图象关于原点对称；
（3）当为偶数时，或， 是非奇非偶函数，图象
只在第一象限（或第一象限及原点处）.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）幂函数的图象在四个象限均有可能出现.( )
×
[解析] 幂函数的图象不经过第四象限，所以错误.
（2）函数 不可能是偶函数.( )
√
[解析] 对于函数，当 时，函
数为二次函数，因为，所以其图象的对称轴不为 轴，函
数不是偶函数；当时，函数为一次函数，因为 ，
所以函数 不是偶函数.所以正确.
（3）当幂指数 分别取1,3,时，幂函数 均为增函数.( )
√
[解析] 由幂函数的性质知，当,3,时，幂函数 均为增函
数，所以正确.
（4）当幂指数时，幂函数 是减函数.( )
×
[解析] 当时，在和 上均单调递减，但
不是减函数，所以错误.
题组二 教材改编
1.下面关于函数 的说法正确的是( )
A.恒成立 B. 的最大值是5
C.的图象与轴无交点 D. 没有最小值
[解析] 函数.
对于A， 恒成立，A正确；
对于B，D，当时，取到最小值， 无最大值，
B，D都错误；
对于C，，即的图象与 轴有交点，C错误.故选A.
√
2.如图，已知幂函数,, 在
上的图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意结合图象可知 .
故选B.
√
3.“”是“ 是幂函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 是幂函数，
则，解得或，
故“ ”是“ 是幂函数”的充分不必要条件.
故选A.
√
4.已知二次函数,当 ___时,函数图象
的顶点在轴上;当_______时,函数图象的顶点在轴上;当 __
时,函数图象经过原点.
4
2或14
[解析] 二次函数 的图象的对称轴方程为
，所以当对称轴方程为，即,即 时，函数
图象的顶点在轴上.
因为二次函数 的图象的顶点坐标为
所以当 ,即，
即或时，函数图象的顶点在 轴上.
当时，，所以当，即 时，函
数图象经过原点.
探究点一 二次函数的图象与性质
题型1 二次函数的图象
例1 [2025·江西南昌模拟]在同一平面直角坐标系中，
二次函数与一次函数 的图象如图所
示，则二次函数 的大致图象可能是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据一次函数与二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可判断出, ,
，
则 的图象开口向上，对称轴为
直线，且与 轴交于负半轴.故选D.
题型2 二次函数的单调性与最值
例2 [2026·江苏常州期末] 已知函数, 在区
间上的最小值为，求 .
解：, 的图象开口向上，对称轴为直线
.
当，即时，在 上单调递增，最小值为
，解得 ，
又 ，所以舍去；
当，即时，在 上单调递减，最小值为
，解得 ，
又 ，所以舍去；
当，即时，在 上单调递减，
在上单调递增，最小值为 ，
解得 .
综上， .
总结反思
1.复习二次函数时要注意的几个关键点：（1）二次项系数的符号；
（2）图象的对称轴；（3）图象经过的特殊点.
2.求解二次函数的单调性问题通常需要对图象对称轴的位置进行讨论，
常见题型有:（1）轴定区间定;（2）轴动区间定;（3）轴定区间动.
【对点演练1】（1）在同一平面直角坐标系中，函数
和函数 的图象不可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 若，则，，A可能；
若 ，则的图象开口向下，过点，对称轴方程为
， 的图象过点和，且，B可能；
√
若 ，则的图象开口向上，对称轴方程为，
与 轴有两个交点，过点，的图象过点和，
且 ，C不可能；
若，则的图象开口向上，与 轴没有交点，过点，
对称轴方程为，的图象过点和 ，
且 ，D可能.故选C.
（2）设函数 .
①若函数在上单调，求实数 的取值范围.
解：由二次函数的性质得图象的对称轴为直线 ，
因为函数在 上单调，
所以或，则实数的取值范围是 .
②若，是否存在实数,，使得函数的定义域为 ，值
域为？若存在，求出 ；若不存在，说明理由.
解：若，则 ，
假设存在实数,，使得函数的定义域为，值域为 .
分以下三种情况讨论：
若，则函数在 上单调递增，由题意得
即解得
与 矛盾，舍去.
若，则函数在 上单调递减，由题意得
即
由，得此时 .
若，则函数在上单调递增，在 上单调递减，
由题意得，解得，因为 ，
所以，即 ，得，
此时 .
综上所述，存在实数,，当或 时，
函数的定义域为，值域为 .
探究点二 幂函数的图象与性质
题型1 幂函数的图象
例3（1）[2025·浙江杭州期末]如图所示的幂函
数图象对应的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A， 的定义域为
，当时， ，
不符合题意；
对于B，当 时，，不符合题意；
对于C， 的定义域为，函数为偶函数，
恒成立，且 在上单调递减，在 上单调递增，
符合题意；
对于D，，当时， ，不符合题意.故选C.
（2）如图，曲线，，，是幂函数
中 取不同值时对应的（部分）图象，已知
，则与曲线，，， 对应
的 的值依次为( )
A.4，，， B.，， ，4
C.，4，， D.4，，，
[解析] 因为在直线 右侧的图象自下而上所对应的幂函数的幂指数
依次增大，所以与曲线，，，对应的 的值依次减小，故选A.
√
题型2 幂函数的性质
例4（1）[2025·江苏常州调研]已知幂函数的图象经过点 ，
则( )
A.的定义域为 B. 为奇函数
C.为减函数 D.的值域为
√
[解析] 设 ，由函数的图象经过点，可得 ，
解得，所以.
函数 的定义域为，故A错误；
由 的定义域关于原点对称，，可知函数为偶函数，
故B错误；
在上不单调，故C错误；
因为 ，所以的值域为 ，故D正确.故选D.
（2）[2026·河北衡水联考] 已知幂函数 在定义
域内单调递增，则 _ _.
[解析] 因为函数是幂函数，所以 ，
解得或.
当时， ，由幂函数的性质得在定义域内单调递减，
不符合题意，舍去；
当 时，，由幂函数的性质得 在定义域内单调递增，
符合题意. 故 .
总结反思
1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会出现在第一象限,一定不
会出现在第四象限.若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其
单调性进行比较.
3.幂函数的性质因幂指数的不同而不同,解题时要善于根据幂指数的
符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
【对点演练2】（1）[2023·天津卷]若, ,
,则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在上单调递增，且 ,所以
，即.
因为在 上单调递增，且,
所以，即.
所以 .
√
（2）[2026·浙江杭州期中]已知函数 是幂函数，
且在上单调递增，则实数 ( )
A.2 B. C.1 D.1或
[解析] 由是幂函数可得，解得.
当 时，在上单调递减，不合题意，故舍去；
当 时，在上单调递增，符合题意，故
故选B.
√
（3）已知幂函数的图象关于 轴对称，且在
上单调递减，则 的值为___.
1
[解析] 因为幂函数在 上单调递减，
所以，所以，
因为，所以 或2，
又因为该函数的图象关于轴对称，所以是偶数，所以 .
【备选理由】例1考查由函数的单调性求参数的取值范围及求函数的
最值，需对参数进行分类讨论；
例1 ［配合探究点一使用］已知函数 .
（1）若在上单调递增，求 的取值范围；
解：当时，，则在 上单调递增，满足条件；
当时，的图象的对称轴为直线 ，
若在 上单调递增，则解得 .
综上，若在上单调递增，则的取值范围为, .
（2）若，设函数在区间上的最大值为 ，求
的解析式，并求出 的最小值.
解：当时， 的图象开口向上，对称轴为
直线，所以在 ,上单调递减，在, 上单
调递增.
当，即时，在 上单调递减，则
.
当，即时，在 上单调递增，则
.
当，即时，在， 上单调递减，
在,上单调递增，， .
当，即时， ；
当，即时， ；
当，即时， .
综上， 所以 .
【备选理由】例2考查幂函数的图象与性质.
例2 ［配合探究点二使用］已知幂函数
为偶函数.
（1）求实数的值，并写出 的单调区间（不必证明）；
解：因为 是幂函数，
所以，解得或 .
当时，，定义域为 ，满足
，即函数 为偶函数，符合题意；
当时，，定义域为，函数 为非奇非偶
函数，不符合题意.
故，的单调递增区间为 ，单调递减区间为
.
（2）若，求 的取值范围.
解：由（1）知为偶函数，单调递增区间为 ，单调
递减区间为 .
因为，所以 ，
故且,，解得或 ，
即的取值范围为,, .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知函数的值域为，则实数 的
值为( )
A.或1 B. C.1 D.1或2
[解析] 因为函数
，且的值域为，
所以，解得 或 .故选A.
√
2.[2026 湖南怀化期末]函数在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意, 的图象开口向上，对称轴为
直线，
因为在区间 上单调递减，所以，
解得，即的取值范围为 .故选C.
√
3.已知幂函数 的图象与坐标轴无公共点，则
( )
A. B.1 C.或1 D. 或2
[解析] 因为为幂函数，所以 ，
即，解得或.
当 时, ，其定义域为 ，
其图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当时, ，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上， .故选A.
√
4.[2025·江苏苏州调研]“”是“函数 在区间
上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，幂函数在 上单调递增，
充分性成立；
若幂函数在区间 上单调递增，则，
必要性成立.
综上，“”是“函数 在区间 上单调递增”
的充要条件.故选C.
√
5.[2026·陕西西安期末]若函数在区间 上不具
有单调性，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时,在 上单调递减，不符合题意；
当时,图象的对称轴为直线 ，因为
在区间上不具有单调性，所以，解得 .
综上，的取值范围是 ，故选A.
√
6.已知函数在 上单调递增，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为当时， 单调递增，所以只需要满足
解得 .故选D.
√
7.已知函数，若关于的不等式 的解集为
，则 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由关于的不等式的解集为，得，
为方程的两根，即 ，
所以，
所以 的值域为 .故选D.
√
8.（多选题）[2025 广东广州期末]如图，二次函数
的图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为 ，则
( )
A.
B.对任意的, 恒成立
C.关于的不等式的解集为
D.关于的不等式 的解集为
√
√
√
[解析] 对于A，由题中图象开口向下，得 ，故
A不正确；
对于B，函数图象的对称轴为直线 ，故对任
意的 , 恒成
立，即 恒成立，故B正确；
对于C，函数图象过点，由对称性得有两个
零点 ,3，所以,，故，由，，
得 ，故关于的不等式的解集为 ，故C正确；
对于D，由C选项知，，
由 ，得，
又 ，所以，解得，
所以关于 的不等式的解集为
，故D正确.故选 .
9.已知幂函数是偶函数，则关于 的不等式
的解集为______.
[解析] 幂函数是偶函数， ，
解得或.
当时, 为奇函数，不符合题意；
当时,为偶函数，符合题意.
在内单调递增，且为偶函数，
可化为，两边取平方可得
，整理得，解得，
的解集为 .
10.[2025·江西南昌期末] 已知函数 .
（1）当，且时，求 的取值范围；
解：当时,，其图象的对称轴为直线 .
， 当时, ，
又， ，
的取值范围为 .
（2）若关于的不等式 的解集中有且仅有2个整数，且这两
个整数均为非负数，求实数 的取值范围.
解：， ，
，
，， 关于的不等式 的解集为
.
关于的不等式 的解集中有且仅有2个整数，且这两个整
数均为非负数，
解得，的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·浙江温州期中]若直线与幂函数 ,
,的图象依次交于点,,，且，， 互不相同，则下
列说法正确的是( )
A. B.
C. D.以上说法都不正确
√
[解析] 如图，对于，由 得
,由得,由 得
，则,,, .
因为，所以是关于的减函数,又 ，
所以，则, , .
故选D.
12.（多选题）已知函数在区间 上既有最大
值又有最小值，则实数 的值可以是( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 的图象如图，对称轴为直线
，所以.
结合函数 的图象可知，若在区间 上
既有最大值又有最小值，则.故选 .
√
√
13.已知幂函数的图象关于 轴对称，且在
上单调递减，则满足的实数 的取值
范围为________________.
[解析] 因为幂函数在 上单调递减，所以
，解得.
又，所以 ,1,2.
又幂函数的图象关于轴对称，所以 为偶数，
所以，故不等式为.
函数 的定义域为，且在和 上
单调递减，当时，，当时， ，所以不等式
可化为或 或
解得或，即实数 的取值范围为 .
14.已知定义在上的函数，.当 时,
的最小值为 .
（1）若，求 的值；
解：因为，所以的图象关于直线 对称，
又因为的图象的对称轴为直线，所以 ，
即 .
（2）求 的解析式；
解：函数， 的图象是一个开口向上的抛物线，
其对称轴为直线 .
当，即时， ;
当，即 时，
;
当，即时， .
综上所述，
（3）若对于任意的，总有 成立，
求实数 的取值范围.
解：由（2）知，当时,单调递减且 ；
当时，的图象所在抛物线的对称轴为直线 ,所以
在上单调递减， ；
当时，单调递减且 .所以 为减函数，
因此对任意的，总有 成立可转化为
对任意的，总有，即 对任意的
恒成立.
因为当时，，当且仅当 时取等号，
所以 ，
故实数的取值范围为 .
【知识聚焦】1.
2. 奇 偶 奇
非奇非偶 奇
【课前演练】题组一（1）× （2）√ （3）√ （4）×
题组二 1.A 2.B 3.A 4.4 2或14
课堂考点探究 例1D 例2 m> . 【对点演练1】（1）C
（2）① 的取值范围是. ②存在实数,，当
或时，函数的定义域为，值域为.
例3（1）C （2）A 例4（1）D （2） 【对点演练2】（1）D （2）B （3）1
教师备用习题
例1（1） 的取值范围为,.（2） .
例2（1），的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）的取值范围为,,.
夯实基础
1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D 8.BCD 9.
10.（1）的取值范围为.（2）的取值范围为.
综合提升
11.D 12.BC 13.
14.（1）.（2）
（3）实数的取值范围为.第9讲　二次函数与幂函数
【备选理由】 例1考查由函数的单调性求参数的取值范围及求函数的最值,需对参数进行分类讨论;例2考查幂函数的图象与性质.
1 [配合探究点一使用] 已知函数f(x)=tx2+x-3t+1(t∈R).
(1)若f(x)在(-∞,2)上单调递增,求t的取值范围;
(2)若t>0,设函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为g(t),求g(t)的解析式,并求出g(t)的最小值.
解:(1)当t=0时,f(x)=x+1,则f(x)在(-∞,2)上单调递增,满足条件;
当t≠0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象的对称轴为直线x=-,若f(x)在(-∞,2)上单调递增,
则解得-≤t<0.
综上,若f(x)在(-∞,2)上单调递增,则t的取值范围为.
(2)当t>0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
当-1≤-,即t≥时,f(x)在[-2,-1]上单调递减,则g(t)=f(-2)=t-1.
当-≤-2,即0当-2<-<-1,即当t-1=-2t,即t=时,g(t)=f(-1)=f(-2)=-;
当t-1>-2t,即当t-1<-2t,即综上,g(t)=
所以g(t)min=g=-.
2 [配合探究点二使用] 已知幂函数f(x)=(2m2+3m+1)(m∈R)为偶函数.
(1)求实数m的值,并写出f(x)的单调区间(不必证明);
(2)若f(2x-1)>f(x),求x的取值范围.
解:(1)因为f(x)=(2m2+3m+1)(m∈R)是幂函数,
所以2m2+3m+1=1,解得m=0或m=-.
当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数,符合题意;
当m=-时,f(x)=,定义域为[0,+∞),函数f(x)为非奇非偶函数,不符合题意.
故m=0,f(x)=x-2的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
(2)由(1)知f(x)=x-2为偶函数,单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
因为f(2x-1)>f(x),所以0<|2x-1|<|x|,
故3x2-4x+1<0且x≠,x≠0,解得即x的取值范围为∪.

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