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第7讲 函数的单调性、值域与最值
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值,理解
它们的作用和实际意义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ， 增函数 减函数
定 义 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递增，特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数 当 时，都有__________
_____，那么就称函数 在区
间 上单调递减，特别地，当函
数 在它的定义域上单调递
减时，我们就称它是减函数
续表
增函数 减函数
图 象 描 述 ______________________________________________ 自左向右看图象是上升的 _________________________________________________
自左向右看图象是下降的
续表
（2）单调区间的定义
如果函数在区间 上__________或__________，那么就说函
数在这一区间具有（严格的）单调性，______叫作
的单调区间.
单调递增
单调递减
区间
2.函数的最值
前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 ，都有_______ ___； ，使得 ___________ ，都有__________；
，使得___________
结论 为最大值 为最小值
常用结论
1.函数单调性的常用结论:
（1）若,均在区间上单调递增（减）,则 也
在区间 上单调递增（减）.
（2）若,则与的单调性相同;若 ,则
与 的单调性相反.
（3）函数在公共定义域内与,
的单调性相反.
（4）函数在公共定义域内与 的单调性
相同.
（5）复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则
这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这
两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式:设,, .
（1）若有或,则 在闭
区间 上单调递增;
（2）若有或,则 在闭
区间 上单调递减.
3.函数最值的结论:
（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；当函数在闭区
间上单调时，最值一定在端点处取得.
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有的函数在其定义域上都具有单调性.( )
×
[解析] 函数在其定义域 上不具有单调性，
故错误.
（2）若函数在区间上单调递减，则函数 的单
调递减区间是 .( )
×
[解析] 函数在区间上单调递减，但 的单调递减
区间是 ，故错误.
（3）函数 的单调递增区间是 .( )
×
[解析] 函数的单调递增区间是， ，故错误.
（4）若是函数的最大值，则是 图象上的最高
点.( )
√
[解析] 由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知，正确.
题组二 教材改编
1.已知函数,，则函数 的最大值为( )
A.15 B.10 C.0 D.
[解析] 易知函数在 上单调递增，
则，所以函数 的最大值为15.
故选A.
√
2.函数 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，当时， ，
所以函数的值域为 .故选B.
3.函数 在区间 上的最大值为___，最小值为__.
3
[解析] 易知在 上单调递减，
所以所求最大值为，最小值为 .
√
4.已知函数在上单调递增，则 的单调递减区间
为__________.
[解析] 因为函数在上单调递增，所以在 上单调递增.
设，由，解得或 ，
易知在上单调递减，
所以 的单调递减区间为 .
探究点一 求函数的单调区间
题型1 由函数的解析式求单调区间
例1（1）[2026·江苏苏州期末]函数 的单调递减区间为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于函数，由可得或 ，
所以函数的定义域为 .
因为函数在区间上单调递减，在 上单调
递增，函数 为增函数，所以由复合函数的单调性可知，函数
的单调递减区间为 .故选A.
（2）函数 的单调递增区间是_________.
[解析] 函数的定义域为 ，
在定义域上为增函数，在
上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数的单调性可得，当，即时，
函数 单调递增，即函数的单调递增区间为
.
题型2 由函数图象求单调区间
例2 已知函数则函数 的单调递增区
间为______________.
[解析] 作出函数 的大致图象，
如图所示，
由图可知，函数 的单调递增
区间为 .
总结反思
（1）已知函数解析式求单调区间时，要注意函数的定义域.复合函数
的单调性应根据外层函数和内层函数 的
单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
（2）利用函数图象求单调区间时,要注意函数图象是否连续，在某点
处是否存在定义等.
（3）需要注意的是，当函数存在不止一个单调区间时，各个单调区
间之间要用“，”连接，不能用“ ”.
【对点演练1】（1）[2023·北京卷]下列函数中，在区间 上单
调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，因为在上单调递增，在 上单
调递减，所以在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在 上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在上单调递减，在上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为，,
，所以在 上不单调，故D错误.
故选C.
[解析] 函数
作出函数 的图象如图所示，
由图可知，函数的单调递
减区间为， .
（2）[2026·广东高州中学期中] 函数 的单调递减区
间为________________.
，
探究点二 函数单调性的判断与证明
例3 [2026·浙江温州期中] 已知函数 .
（1）若，求 的值；
解：由函数 ，，
可得 .
（2）根据函数单调性的定义证明函数在 上单调递增.
证明：任取,，且 ，
则 .
因为，所以，
所以 ， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递增.
总结反思
根据函数解析式判断函数单调性时，要特别注意基本初等函数本身
的一些性质.
【对点演练2】 [2025·安徽合肥检测] 已知函数 .
（1）求 的定义域；
解：由，得或，所以函数 的定义域为
.
（2）证明:在区间 上单调递减.
证明：设 ，由题得
，
因为 ，所以
，
所以 ，
所以 ，所以，
所以 ，故在区间 上单调递减.
探究点三 函数单调性的应用
题型1 比较函数值的大小
例4 [2025·河南焦作质检]已知定义在上的函数 ，
若，， ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数在上单调递增，在 上
单调递增，所以函数在 上单调递增.
又，， ，
所以，即 .故选C.
题型2 解函数不等式
例5 已知定义在上的奇函数在 上单调递增，且
，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是定义在上的奇函数，且 ，所以
.
因为函数在 上单调递增，所以函数在上也
单调递增.
当时，，由 可得，解得
；
当时， ，由可得，此时不存在；
当 时，，由可得，解得 .
综上所述，不等式的解集为 .故选A.
题型3 求参数的值或范围
例6（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间 单调递
减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在 上是增函数，所以根据复合函数的单调性可
得在上单调递减，
故 ，解得 ，故选D.
√
（2）（多选题）[2026· 陕西宝鸡期末]已知函数
为上的单调函数，则实数 的取值可以
是( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 因为函数是上的单调函数，所以当 时,
单调递减，所以在 上单调递减，
则解得.故选 .
√
√
总结反思
1.利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）确定函数 的单调性;
（2）将要比较大小的两个函数值所对应的自变量转化到同一个单调
区间内，根据函数的单调性去掉“”,转化为形如“ ”或“
”的常规不等式,从而得解.
2.若分段函数是单调函数,不仅要保证在各个区间上单调性一致,还要
确保在解析式发生改变处附近的单调性与函数单调性一致.
【对点演练3】（1）已知函数的图象关于直线 对称，
且函数在上单调递增.设,, ，
则，， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数的图象关于直线 对称，
所以，所以 ，
.
又因为函数在 上单调递增，且，
所以 ，即 .故选D.
（2）[2025·福建泉州五中检测]已知函数 则不
等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当，即时，因为在 上单调
递增，所以由，可得，所以 ；
当，即时，由 ，可得
，即，得 ;
当，即时，由 ，得
，即 ，
因为，所以不等式 无解.
综上所述,不等式的解集为 .故选C.
（3）已知函数在 上单调递减，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，当时， 单调递减，
所以 恒成立，所以；
当时， 单调递减，所以 恒成立，
所以.
又在 上单调递减，所以解得，
所以 的取值范围是 .故选C.
探究点四 利用函数的单调性求函数的值域与最值
例7 已知函数在 上的最
大值为，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由可知函数 在
和上单调递减，在和 上单调递增.
√
当时，在上单调递增，则函数在 上
的最大值为，符合题意；
当时，在 上单调递增，在上单调递减，
则函数在 上的最大值为，不符合题意；
当时，在和 上单调递增，在上单调递减，
此时若在 上的最大值为，则，
即解得 .
综上所述，的取值范围是 .故选D.
总结反思
1.利用函数的单调性求函数的值域（最值）的基本步骤:
（1）判断或证明函数在区间上的单调性；
（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值（值域）.
2.需要注意的是，当自变量趋近无穷时，函数值有可能趋近某个确定
的值，也有可能趋近无穷，例如对于定义在 上的减函数
和，当 时,, .
【对点演练4】（1）函数 的值域为______.
[解析] 因为与在上均单调递减，且当
时，,，所以当时， ，
故的值域为 .
（2）以,,表示数集,,中最大的数，,, 表示数集
,,中最小的数，则,, ___.
5
[解析] 在同一坐标系中画出函数 ，
， 的图象，如图.
由解得或 ，所以
；
由解得或 ，所以 .
由图可知，, ,
所以当时，, ,
取得最大值5，
则,, .
【备选理由】例1是由函数的解析式判断函数单调性问题；
例1 ［配合探究点一使用］[2025·四川德阳模拟] 已知函数 是定
义在上的偶函数，且当时， ，将
和时的解析式相加得到函数 的解析式.
（1）求函数 的解析式；
解：当时，，
因为 为偶函数，所以 ，
所以, .
（2）判断函数 的奇偶性；
解：由（1）知，的定义域为 ，
，
故函数 是偶函数.
（3）讨论函数 在定义域内的单调性，并证明.
解：由（1）知，， ，
函数在上单调递增，在 上单调递减.证明如下：
任取,,且，则 ，
所以 .
因为函数在 上单调递增，
所以 ，
即，所以函数在 上单调递增.
由偶函数的性质得在 上单调递减.
【备选理由】例2考查函数的图象变换、对称性,函数值域与图象对称
中心的求解以及把不等式恒、能成立问题转化为最值问题，从而应用
函数的性质求参数取值范围;
例2 ［配合探究点四使用］已知定义域为的函数 为奇函数，把
函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后
得到函数 的图象．
（1）求 的值．
解：因为函数是定义域为 的奇函数，
所以 的图象关于原点对称.
因为把函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位
长度后得到函数 的图象，
所以的图象关于点对称，
则 ．
（2）若函数 ．
（ⅰ）求出的值域，并证明曲线 为中心对称图形；
解：函数，定义域为 ，
因为，所以，
所以 ，所以 ，
所以的值域为 .
由值域猜测曲线的对称中心的纵坐标为 ，
令，解得，所以曲线的对称中心为, .
证明如下：因为 ，
所以，即 ，
所以曲线是中心对称图形，它的对称中心为, ．
（ⅱ）当时，，若存在 ，使
得对任意的，都有成立，求实数 的取值范围．
解：由可得，，，则 ，
由题意可得在 上的最大值大于或等于4．
由（1）知，的图象关于点 对称.
当时，在上的最小值为 ，
所以在上的最大值为，可得 ；
当时，在上的最小值为 ，
所以在上的最大值为 ，
解得或，
又，所以 无解；
当时，在上的最小值为 ，
所以在上的最大值为，
显然不成立，故 无解.
综上，实数的取值范围为 ．
【备选理由】例3、例4考查利用函数单调性求参数的值或范围.
例3 ［配合探究点三使用］（多选题）已知是定义在 上的增函
数，且为奇函数．若实数, 满足不等式
，则( )
A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.若,，则满足条件的点 共有5个
D.的取值范围为
√
√
√
[解析] 为奇函数, ,
，
是定义在上的增函数， ，
，即，
点 是以为圆心，1为半径的圆上及内部的点.
对于A，设 ，即，则表示直线在 轴
上的截距，由圆心到直线的距离为 ，解得
，即的取值范围为 ，故A 错误；
对于B，设，即，则 表示直线在轴
上截距的相反数，由圆心到直线 的距离为，
解得，即 的取值范围为 ，
故B正确；
对于C，，且,， 满足条件的点
有，，，， ，共5个，故C正确；
对于D，表示点到原点的距离的平方， 圆心
到原点的距离为， 圆 上及
其内部的点到原点的距离的最小值为，最大值为 ，
的取值范围为，故D正确.故选 .
例4 ［配合探究点三使用］[2023·全国乙卷] 设 ，若函数
在上单调递增，则 的取值范围是
_ _______.
,
[解析] 因为函数在 上单调递增，所以
在 上恒成立，则
在上恒成立.
又 ,所以,故,
所以在 上恒成立，故，
所以 即解得，
故的取值范围是, .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知，则 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 设，.
当 时,；
当时,；
当 时,.
所以当时， 的最小值为3.故选C.
√
2.[2026 江西南昌联考]函数 的单调递增区间
为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由且，得 ，即
或，所以 的定义域为
.
因为 在上单调递减，在
上单调递增， 为增函数，
所以在 上单调递减，在
上单调递增，
又 为增函数，所以的单调递增区间为
.故选B.
3.函数 的最值情况为( )
A.最小值为0，最大值为8
B.不存在最小值，最大值为8
C.最小值为0，不存在最大值
D.不存在最小值，也不存在最大值
[解析] 令，则,
又 在上单调递减，所以当，即 时，
函数取得最大值8，函数无最小值.故选B.
√
4.[2026 江苏无锡模拟]若偶函数在 上单调递增，且
，， ，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为偶函数且在上单调递增，所以 在
上单调递减.
根据幂函数在 上单调递增，得，
由指数函数的单调性可知，，则 ，
故，即 .故选B.
√
5.已知函数在区间 上的最大值为5，则
( )
A.2 B.3 C.15 D.3或15
[解析] .
因为 ，所以函数在上单调递减，
所以函数在区间 上的最大值为，
解得 .故选B.
√
6.函数与在 上均单调递减的一个充
分不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数与在 上均单调递减，
所以解得.
观察选项，只有是集合 的真子集，所以函数与
在 上均单调递减的一个充分不必要条件是
.故选D.
√
7.[2026 陕西西安质检]若函数在 上单调，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上为增函数，在 上
单调递减，在 上单调递增，所以根据复合函数的单调性，
可得在上单调递减，在 上单调递增，
又在上单调，所以，即 ，
所以的取值范围是 .故选A.
√
8.已知函数的最大值为，最小值为 ，则
( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 由题意得，且，解得 ，则函数
的定义域为.
由 ，得，
则在区间内的最大值为 ，最小值为.
√
易知函数在区间 内单调递增，在区间
内单调递减，
所以函数在区间 内单调递增，在区间内单调递减，
则函数在 处取得最大值，
即 ，
又，所以函数 的最
小值为6，即.
所以 .故选A.
9.[2025·福建莆田期中] 对任意，用表示, 中的较
小者，记为,.若 ,
，则 的单调递减区间为_______.
[解析] 的图象如图中实线部分所示，
由图知，的单调递减区间为 .
10.已知函数 .
（1）判断 的单调性，并用定义证明；
解：函数为 上的增函数.
证明如下：任取,，且 ，
则 ，
因为，所以，即，
又 , ，所以，即 ，
所以函数为 上的增函数.
（2）若对任意,恒成立，求实数 的取值
范围.
解：由（1）得在 上单调递增，
所以当时, ，
所以对任意, 恒成立，等价于对任意
, 恒成立.
令，，则 ，原式等价于对任意
， 恒成立.
易知在 上单调递增，
所以当时， ，
所以，即实数 的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·江苏南京期末]已知函数 的值
域为，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，若，则，
若 ，则,此时的值域不可能为；
当 时，,当时，单调递增,
当 时，单调递增，
又当 时， ，当 时， ，
所以若的值域为 ，则，
可得.
综上所述，实数 的取值范围是 .故选B.
12.已知且的最小值是 ，
则 的最大值为( )
A. B. C.3 D.4
[解析] 函数的最小值是，
当时，函数不单调递增，即，解得 ，
当时，函数单调递增，即 ，
由①②同时成立可得.
又的最小值为，，解得 .
综上所述，， 的最大值为4.故选D.
√
13.已知函数，则 的最小值为___.
2
[解析]
当时,单调递减，；
当 时, ,
因为，所以在 上单调递增，
所以；
当时, 单调递增，.
综上, 的最小值为2.
14.已知函数满足，函数 .
（1）求 的解析式；
解：因为 ，
所以 .
（2）用单调性的定义证明在 上单调递减；
证明：由（1）知，
任取 ，则
，
因为，所以, ，
所以，即 ，
所以在 上单调递减.
（3）求在 上的取值范围.
解：由（2）可知在 上单调递减，
所以当时， ,
，
所以在上的取值范围为 .
【知识聚焦】 1.（1） （2）单调递增 单调递减
区间 2.
【课前演练】 题组一（1）× （2）× （3）× （4）√
题组二1.A 2.B 3.3 4.
课堂考点探究
例1（1）A （2） 例2 【对点演练1】（1）C
（2）， 例3（1）.（2）证明略.
【对点演练2】（1）的定义域为. （2）证明略.
例4 C 例5 A 例6（1）D （2）AB 【对点演练3】（1）D （2）C （3）
C 例7 D 【对点演练4】（1） （2）5
教师备用习题
例1（1）,. （2）函数是偶函数.
（3）在上单调递增，在上单调递减，证明略.
例2（1）．（2）（ⅰ）的值域为,证明略.
（ⅱ）实数的取值范围为． 例3 BCD 例4 ,
夯实基础
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B
6.D 7.A 8.A 9.
10.（1）解：函数为上的增函数，证明略.
（2） 的取值范围为.
综合提升
11.B 12.D 13.2
14.（1） .（2）证明略.
（3） 在上的取值范围为.第7讲　函数的单调性、值域与最值
【备选理由】 例1是由函数的解析式判断函数单调性问题;例2考查函数的图象变换、对称性,函数值域与图象对称中心的求解以及把不等式恒、能成立问题转化为最值问题,从而应用函数的性质求参数取值范围;例3、例4考查利用函数单调性求参数的值或范围.
1 [配合探究点一使用] [2025·四川德阳模拟] 已知函数h(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,且当x∈[0,3)时,h(x)=log2(3-x),将x∈[0,3)和x∈(-3,0)时h(x)的解析式相加得到函数f(x)的解析式.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)讨论函数f(x)在定义域内的单调性,并证明.
解:(1)当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),因为h(x)为偶函数,所以h(x)=h(-x)=log2(3+x),
所以f(x)=log2(3-x)+log2(3+x),x∈(-3,3).
(2)由(1)知,f(x)的定义域为(-3,3),f(-x)=log2(3+x)+log2(3-x)=f(x),
故函数f(x)是偶函数.
(3)由(1)知,f(x)=log2(9-x2),x∈(-3,3),
函数f(x)在(-3,0]上单调递增,在(0,3)上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(-3,0],且x1>≥0,所以0<9-<9-≤9.
因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log2(9-)即f(x1)2 [配合探究点四使用] 已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,把函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象.
(1)求g(0)+g(2)的值.
(2)若函数h(x)=.
(i)求出h(x)的值域,并证明曲线y=h(x)为中心对称图形;
(ii)当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m+1,若存在x1∈[1,2],使得对任意的x2∈R,都有g(x1)≥4h(x2)成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称.
因为把函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,
所以g(x)的图象关于点(1,2)对称,则g(0)+g(2)=4.
(2)(i)函数h(x)==1-,定义域为R,
因为4x+2>2,所以0<<1,所以-1<-<0,所以0<1-<1,
所以h(x)的值域为(0,1).
由值域猜测曲线y=h(x)的对称中心的纵坐标为,
令=,解得x=,所以曲线y=h(x)的对称中心为.
证明如下:因为h(1-x)===,
所以h(1-x)+h(x)=+=1,即h(1-x)+h(x)=1,
所以曲线y=h(x)是中心对称图形,它的对称中心为.
(ii)由(i)可得, x2∈R,h(x2)∈(0,1),则4h(x2)∈(0,4),
由题意可得g(x1)在[1,2]上的最大值大于或等于4.
由(1)知,g(x)的图象关于点(1,2)对称.
当m≤0时, g(x)在[0,1]上的最小值为g(0)=m+1,
所以g(x)在[1,2]上的最大值为4-(m+1)≥4,可得m≤-1;
当0所以g(x)在[1,2]上的最大值为4-≥4,
解得m≤2-2或m≥2+2,又0当m≥2时,g(x)在[0,1]上的最小值为g(1)=2,
所以g(x)在[1,2]上的最大值为4-2=2,显然2≥4不成立,故m无解.
综上,实数m的取值范围为m≤-1.
3 [配合探究点三使用] (多选题)已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x+6)为奇函数.若实数a,b满足不等式f(a2-6a)+f(b2-8b+36)≤0,则 ( BCD )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a+b的取值范围为[4,5]
B.a-b的取值范围为[-1-,-1+]
C.若a,b∈Z,则满足条件的点(a,b)共有5个
D.a2+b2的取值范围为[16,36]
[解析] ∵f(x+6)为奇函数,∴f(-x+6)=-f(x+6),∴-f(x)=f(12-x).∵f(a2-6a)+f(b2-8b+36)≤0,∴f(a2-6a)≤-f(b2-8b+36)=f(-b2+8b-24).∵f(x)是定义在R上的增函数,∴a2-6a≤-b2+8b-24,∴a2-6a+b2-8b≤-24,即(a-3)2+(b-4)2≤1,∴点(a,b)是以(3,4)为圆心,1为半径的圆上及内部的点.对于A,设a+b=z,即b=-a+z,则z表示直线b=-a+z在y轴上的截距,由圆心(3,4)到直线b=-a+z的距离为≤1,解得7-≤z≤7+,即a+b的取值范围为[7-,7+],故A错误;对于B,设a-b=m,即b=a-m,则m表示直线b=a-m在y轴上截距的相反数,由圆心(3,4)到直线b=a-m的距离为≤1,解得-1-≤m≤-1+,即a-b的取值范围为[-1-,-1+],故B正确;对于C,∵(a-3)2+(b-4)2≤1,且a,b∈Z,∴满足条件的点(a,b)有(3,4),(3,3),(3,5),(2,4),(4,4),共5个,故C正确;对于D,a2+b2表示点(a,b)到原点(0,0)的距离的平方,∵圆心(3,4)到原点(0,0)的距离为=5,∴圆(a-3)2+(b-4)2=1上及其内部的点到原点的距离的最小值为5-1=4,最大值为5+1=6,∴a2+b2的取值范围为[16,36],故D正确.故选BCD.
4 [配合探究点三使用] [2023·全国乙卷] 设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是.
[解析] 因为函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln(1+a)≥-axln a在(0,+∞)上恒成立.又a∈(0,1),所以a+1∈(1,2),故ln(1+a)>0,所以≥-在(0,+∞)上恒成立,故=1≥-,所以即解得≤a<1,故a的取值范围是.

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