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第10讲 指数与指数函数
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过对有理数指数幂,且；,,且 、实数
指数幂,且； 含义的认识,了解指数幂的拓展过程,
掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解
指数函数的单调性与特殊点.
◆ 知识聚焦 ◆
1.根式
次 方根 概念 如果,那么叫作 的_________,
其中,
性质 当是______时,的次方根为
当是______时,正数的次方根为 ,负数没有
偶次方根
0的任何次方根都是0,记作
次方根
奇数
偶数
根式 概念 式子叫作______,其中叫作________,
叫作___________
性质 当为奇数时, ___
当为偶数时,
根式
根指数
被开方数
续表
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂： ______ ， ，
，
负分数指数幂： _____ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂 没有意义 运算性 质 ，
， ，
3.指数函数的概念、图象与性质
（1）指数函数的概念
函数，且叫作指数函数，其中指数 是自变量，
定义域是， 是底数.
（2）指数函数，且 的图象与性质
底数
图象
性质 定义域为 ，值域为________ 图象过定点______ 当时， ； 当时， 当时， ；
当时，
在定义域 上__________ 在定义域 上__________
单调递增
单调递减
底数
注意 ①指数函数，且的图象和性质与 的取 值有关，应分与 来研究. ，且与，且 的 图象关于 轴对称 续表
常用结论
1.指数函数图象的画法：画指数函数，且 的图象，
应抓住三个关键点：，， .
2.指数函数，且的图象以 轴为渐近线.
3.指数函数的图象与底数大小的比较：
如图是指数函数,（2） ,（3）,
（4）的图象，底数，，， 与1之间的大小
关系为 .由此我们可得到以下
规律：在第一象限内，指数函数 ，且 的
图象越高，底数越大.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1），且 是指数函数.( )
×
[解析] 指数函数的解析式为，且 ，
，且 不符合指数函数解析式的特征，不是指数
函数，故错误.
（2）指数函数的图象一定在 轴上方.( )
√
[解析] ，且恒成立， 指数函数的图象一定
在 轴上方，故正确.
（3）0的任何指数幂都等于0. ( )
×
[解析] 0的负分数指数幂没有意义，故错误.
题组二 教材改编
1.式子 的值为( )
A. B. C. D.1
[解析]
. 故选A.
√
2.函数与 的图象( )
A.关于轴对称 B.关于 轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线 对称
[解析] 因为，即，所以函数与 的
图象关于原点对称.故选C.
√
3.设 ,则下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由指数幂的运算性质可知， ，
B，C不满足题意，D满足题意；
当时， ,，此时 ，
A不满足题意.故选D.
√
4.若指数函数,且在 上的最大值为2,则
_____.
2或
[解析] 若，则当时， ；
若，则当时， ，
得.
综上，或 .
探究点一 指数幂的运算
例1（1） ( )
A.16 B. C.32 D.
[解析] .故选A.
√
（2） ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选C.
√
总结反思
指数幂运算过程中需注意以下几点：
（1）当底数为小数时先化成分数，当底数为负数时先确定幂的符号；
（2）将根式化为幂的形式，运用指数幂的运算性质来解答；
（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有
负指数，形式力求统一.
【对点演练1】（1）计算： __.
[解析] .
（2） ___.
0
[解析] .
探究点二 指数函数的图象及应用
例2（1）已知且 ，则在同一平面直角坐标系中，函数
和 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数与的图象都经过定点 ，故排除B；
因为且，所以为增函数，当 时，
为增函数，此时的零点 ，故排除A；
当时，为减函数，此时的零点 ，
故排除D.故选C.
（2）函数的图象不经过第一象限，则实数 的取值范围
为__________.
[解析] 如图，画出的图象，
将 的图象向下平移一个单位长度得到
的图象，
结合图象可知 .
总结反思
（1）对于指数型函数的图象，一般是从最基本的指数函数的图象入
手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数 与1的大小关
系不确定时应注意分类讨论.
（2）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函
数的图象，数形结合求解.
【对点演练2】 已知函数
,, 的图象如图所示，
则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 的图象关于直线 对称，
由题图可知，且在 处函数值在0到1之间，
即 .故选A.
√
探究点三 指数函数的性质及应用
题型1 比较指数式的大小
例3（1）已知,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 对于,，因为在 上单调递增，
所以，即；
对于,，因为在 上单调递减，所以，即.
所以 .故选D.
√
（2）[2026·重庆八中期末]已知，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是上的减函数，而，所以 ，即
；
因为函数在上单调递增，而 ，所以，
即.
所以 .故选D.
√
题型2 求解指数方程或不等式
例4（1）[2025·浙江衢州期末]“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为指数函数在 上单调递减，所以由
，可得，
所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
（2）已知函数，则使成立的 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数，定义域为 ，关于原点对称，又因为
，所以是偶函数.
当 时，，则在上单调递增.
由 ，得，解得 .故选B.
√
（3）已知函数若，则实数 ___.
1
[解析] 若，则，无解；
若，则 ，解得.
综上， .
题型3 指数函数性质的应用
例5（1）[2025·河北保定期末]已知不等式成立，则
的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] , ，
为增函数，，即,
，故 的取值范围为 .故选D.
√
（2）已知函数的值域是，则
的值为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 因为，所以在 上单调递减，
取值范围为.
当时， ，则函数的取值范围为
.
又函数 的值域是，所以，解得.
当时， 的值域为，不符合题意；
当 时，的值域为 ，符合题意.
综上， .故选B.
总结反思
利用指数函数的性质解题时,原则上先化为同底的指数式,再求解,并要
注意底数的范围是还是 .若不能化为同底,则可化为同指
数,然后借助图象或中间变量求解.涉及与指数函数有关的复合函数问
题,需注意复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要
借助“同增异减”这一性质分析判断.
【对点演练3】（1）[2023·全国甲卷]已知函数 ,记
,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则 的图象开口向下，对称轴为直
线.
因为 ，且
，所以，
由二次函数的性质知 .
√
因为 ，且
，所以
，所以.
综上， ，
又为增函数，所以，即 .故选A.
（2）已知且，函数 若对任意
的，都有，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数满足对任意的，都有 ，所
以函数在定义域内单调递减，则解得 .
故选B.
√
（3）（多选题）[2026·陕西西安期末]已知函数 ，
则( )
A.的单调递增区间为 B.的单调递增区间为
C.有最大值4 D. 有最小值4
[解析] 设，则在 上单调递减，
在上单调递增.
因为是 上的减函数，所以由同增异减原则，可知的
单调递增区间为 ，则A正确，B错误.
因为 ，所以
，则C正确，D错误.故选 .
√
√
【备选理由】例1是以新定义为背景，求与指数函数有关的分段函数
的值域问题,考查数学运算的核心素养;
例1 ［配合探究点三使用］[2026·江西南昌联考]设，用 表示
不超过的最大整数，例如：, .已知函数
则 的值域为( )
A.,0, B.,0,1, C. D.
√
[解析] 当时，，此时 或1；
当时，,，此时或1；
当 时，，此时 .
所以的值域为,0, .故选A.
【备选理由】例2是与指数函数有关的分段函数图象的判断问题，
考查直观想象的核心素养；
例2 ［配合探究点二使用］[2026·广东东莞质检]函数 的大
致图象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得
当时，单调递增，且 ，
当时，单调递减，且 ，
结合四个选项可知A正确.
【备选理由】例3是根据含指数函数的分段函数的单调性求参数
取值范围问题.
例3 ［配合探究点三使用］[2026·重庆七校联盟三模]已知函数
在上单调递减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，函数在 上单调递减，则
，即.
又函数在上单调递减,当 时,单调递减且
，所以，所以 的取值范围是 .故选B.
√
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.函数，且 的图象恒过点( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，对于函数，令，得 ，
将代入函数解析式可得，即函数
的图象恒过点 .故选A.
√
2.[2026·重庆巴南区模拟]已知集合 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 , ，
得 .故选A.
√
3.[2025·广东广州二中期中]当时，函数和 的
图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，由一次函数的图象知，, ，此时函数
为减函数，A正确；
对于B，由一次函数的图象知， ,，此时函数 为
增函数，B错误；
对于C，由一次函数的图象知，,，此时函数 为
减函数，C错误；
对于D，由一次函数的图象知，,，此时函数 为
增函数，D错误.故选A.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.故选C.
√
5.[2026·广东广州模拟]若函数在区间 上单调递
增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则在 上单调递减，因为
在区间上单调递增，所以 在区间
上单调递减，
由 的图象开口向上且对称轴为直线
，得，解得 .故选D.
√
6.[2025·北京丰台区模拟]“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 充分性：令，易知在 上单调递增，由
，可得，令，易知为 上的减函数，
由，可得，即，故“”是“ ”
的充分条件.
必要性：不妨令此时成立，但与 没有意义，
故“”不是“ ”的必要条件.故选A.
7.若函数有最大值，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 当时,，当时,
若,则在上单调递增，此时 没有最大值；
若,则在上单调递减，由 有最大值，得
，可得；
若，则, 有最大值1，符合题意.
综上，的取值范围为 .故选A.
√
8.（多选题）[2025·湖南益阳期末]设函数 则
下列说法正确的是( )
A.
B.若，则
C.若，则的值域为
D.若的最小值为，则
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A正确.
对于B，因为，所以，解得 ，故B
正确.
对于C，当时,，易知函数在 上单调
递减，此时；当时, ，易知函数
在上单调递增，此时.若 ，则函
数的值域为 ，故C错误.
对于D，由C可得若的最小值为，则 ，解得
，故D正确.故选 .
9.[2026·安徽六安一中模拟] 已知函数 则
的解集是________.
[解析] 当时,， ,
；
当 时,，,；
当 时,.因此为奇函数,
又易知在 上单调递减，在上单调递减，
所以在 上单调递减.
所以不等式可化为 ，
从而，解得，所以原不等式的解集为 .
10.已知函数 .
（1）当时，求在 上的取值范围；
解：当时, .
令， ，则， .
因为函数在区间上单调递增，在区间 上单调
递减，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值 ，
故函数，的值域为 .
所以当时,在上的取值范围为 .
（2）若在上单调递增，求实数 的取值范围.
解：当时,，此时在 上单调递增，满
足题意；
当时，设，则，当时， ，
因为在上单调递增，在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以 解得
.
综上，，即的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·湖南长沙模拟]已知函数 则方程
的根的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 因为当时, ，所以当时，
，则；
当时， ，则；….
作出函数和 的图象，
如图所示，
,
，
结合图象可知, 函数和 的图象交点个数为3，即方程
的根的个数为3. 故选B.
12.（多选题）[2025·河南开封期末]如图，已知直线
，与函数， 的
图象分别交于，，，四点，且四边形 为
平行四边形，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 依题意，当时，的图象在
图象的下方，所以,在的图象上，, 在
的图象上，所以， ，
，.
又因为四边形 为平行四边形,所以，即 ，
即 .
又因为，所以，则 ，故A正确，
B错误.
由，化简可得，当且仅当
时等号成立，又，所以 ，故D正确，C错误.故选 .
13.已知函数的最大值为2025，则 的值为__.
[解析] 令,，因为在 上单调
递减，且函数 的最大值为2025，所以
的最小值为，
所以，且当 时，，
即，解得或 （舍去），所以 .
14.已知， .
（1）判断并用定义证明函数在 上的单调性；
解：在 上单调递增.证明如下：
任取,, ，
则
，
, ，，
因此函数在 上单调递增.
（2）若，在区间上恒成立，求实数 的取值
范围；
解：当时，，即 ，
则 ，
令，当时，，则 对任
意 恒成立，
又,,且 ，
可得 .
（3）若存在实数，使得函数在 上的取值范围是
，求实数 的取值范围.
解：若存在实数，使得函数在 上的取值范围是
，
则由函数在 上单调递增，
可得, ，
则关于的方程在 上有两个不同
的根.
当时，,则在 上有
两个零点，
则， ，且
，
可得 .
【知识聚焦】1.次方根 奇数 偶数 根式 根指数 被开方数
2. 3. 单调递增 单调递减
【课前演练】题组一（1）× （2）√ （3）×
题组二 1.A 2.C 3.D 4.2或
课堂考点探究
例1（1）A （2）C 【对点演练1】（1） （2）0
例2（1）C （2） 【对点演练2】A 例3（1）D （2）D
例4（1）A （2）B （3）1 例5（1）D （2）B
【对点演练3】（1）A （2）B （3）AC
教师备用习题
例1 A 例2 A 例3 B
夯实基础
1.A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.A 8.ABD 9.
10.（1）在上的取值范围为.
（2）的取值范围为.
综合提升
11.B 12.AD 13.
14.（1）m>在上单调递增，证明略.
（2）. （3）.第10讲　指数与指数函数
【备选理由】 例1是以新定义为背景,求与指数函数有关的分段函数的值域问题,考查数学运算的核心素养;例2是与指数函数有关的分段函数图象的判断问题,考查直观想象的核心素养;例3是根据含指数函数的分段函数的单调性求参数取值范围问题.
1 [配合探究点三使用] [2026·江西南昌联考] 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.7]=-4,[2.3]=2.已知函数f(x)=则y=[f(x)]的值域为 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}
C.{0,1,2} D.{0,1}
[解析] 当x≤0时,f(x)=2x∈(0,1],此时y=[f(x)]=0或1;当0时,f(x)=-1∈(-1,0),此时y=[f(x)]=-1.所以y=[f(x)]的值域为{-1,0,1}.故选A.
2 [配合探究点二使用] [2026·广东东莞质检] 函数f(x)=的大致图象是 ( A )
A　　　B
C　　　D
[解析] 由题意得f(x)==
当x<0时,f(x)=-单调递增,且f(x)<-1,
当x>0时,f(x)=单调递减,且0结合四个选项可知A正确.
3 [配合探究点三使用] [2026·重庆七校联盟三模] 已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 ( B )
A.[0,+∞) B.[0,1]
C.(-∞,0] D.[0,1)
[解析] 依题意,函数y=-x2-2ax+a在(0,+∞)上单调递减,则-a≤0,即a≥0.又函数f(x)在R上单调递减,当x≤0时,f(x)=e-x单调递减且f(x)≥f(0)=1,所以a≤f(0)=1,所以a的取值范围是[0,1].故选B.

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