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第12讲　函数的图象
【备选理由】 例1考查利用函数图象变换研究函数的对称性;例2考查由函数图象判断函数的解析式;例3考查利用函数图象研究函数的性质,意在提升直观想象的核心素养.　　　　　 　　　　　 　　　　　
1 [配合探究点一使用] 已知函数f(x)=ex-e-x,则函数y=f(x-1)+1的图象 (A)
A.关于点(1,1)对称 B.关于点(-1,1)对称
C.关于点(-1,0)对称 D.关于点(1,0)对称
[解析] f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点(0,0)对称.函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,所以函数y=f(x-1)+1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
2 [配合探究点二使用] [2026·四川南充模拟] 函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 ( B )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
[解析] 由图可知f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数.对于A,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)===f(x),所以f(x)=为偶函数,不符合题意,排除A;对于C,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)===f(x),所以f(x)=为偶函数,不符合题意,排除C;对于D,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,当x>0时,ex>e-x>0,x2+2>0,所以f(x)>0恒成立,不符合题意,排除D.故选B.
3 [配合探究点三使用] (多选题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中放置着边长为2的正方形ABCD,该正方形沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则 ( AC )
A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根
B.f(-x)=-f(x)
C.f(x)在[6,8]上单调递增
D.对任意x∈R,都有f(x+4)=-
[解析] 当-4≤x≤-2时,B的轨迹是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的;
当-2≤x≤2时,B的轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆的;
当2≤x≤4时,B的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆的;
当4≤x≤6时,B的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆的……
作出函数f(x)的部分图象,如图所示.
由图知,函数y=f(x)的图象与直线y=2在[-3,9]上有三个交点,
即方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根,故A正确;
由图及分析可知,f(x)的一个周期为8,且当x∈[-4,4]时,函数y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数,f(-x)=f(x),故B错误;
函数f(x)在[6,8]上单调递增,故C正确;
由图知,f(2)=2,f(-2)=2,f(2)≠-,故D错误.故选AC.(共103张PPT)
第12讲 函数的图象
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等函数的图象解
决问题.
2.掌握图象的作法:描点法和图象变换.
3.会运用函数的图象理解和研究函数性质.
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
◆ 知识聚焦 ◆
2.图象变换
常用结论
1.记住几个重要结论
（1）函数与的图象关于直线对称.
（2）函数与的图象关于点对称.
（3）若函数对定义域内任意自变量都满足：
，则函数的图象关于直线对称.
2.图象的左、右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需
把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上、下平移仅仅是相对于而言，利用“上加下减”进行变换.
4.函数 ,图象如图甲所示
（1）奇偶性：奇函数.
（2）单调性：
单调递增区间为， ；
单调递减区间为， .
③渐近线：直线和 .
5.函数 ，图象如图乙所示
（1）奇偶性：奇函数.
（2）单调性：在， 上单调递增.
（3）渐近线：直线和直线 .
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
◆ 课前演练 ◆
（1）把函数的图象向右平移 个单位长度，再把横坐
标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式是
.( )
√
[解析] 把函数的图象向右平移 个单位长度，得到函
数 的图象，
再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数 的图象.故正确.
（2）为了得到函数的图象，可以把函数 的图象向左平
移1个单位长度.( )
×
[解析] 为了得到函数的图象，可以把函数 的图象向右
平移1个单位长度.故错误.
（3）已知函数的图象经过点，则函数 的
图象经过点 .( )
×
[解析] 函数的图象是由函数 的图象向左平移1个单位长
度得到的.
因为函数的图象经过点 ，
所以函数的图象经过点 .故错误.
（4）已知函数的图象与的图象关于 轴对称，把
的图象向右平移1个单位长度后得到函数 的图象，
则 .( )
√
[解析] 由题意可知，把 的图象向右平移1个单位
长度后得到 的图象.故正确.
题组二 教材改编
1.将函数 的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，再向下
平移1个单位长度后所得图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数 的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，可
得函数的图象，
再将函数 的图象向下平移1个单位长度后得到函
数 的图象.故选C.
√
2.下列各图中，表示以 为自变量的奇函数图象的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，D中的图象，一个可能会对应两个不同的 ，故不
是函数图象；
对于B，对定义域内任意一个都有唯一确定的 与之对应，且图象关
于原点对称，符合题意；
对于C，对 内的任意一个都有唯一确定的与之对应，且图象关于
轴对称，是偶函数的图象，不符合题意.故选B.
3.下列函数中图象关于 轴对称的是( )
A. B. C. D.
[解析] 若函数图象关于 轴对称，则该函数为偶函数.
易知选项A，B，C中的函数均为非奇非偶函数，选项D中的函数为
偶函数.故选D.
√
探究点一 函数图象的变换
例1（1）[2025·北京卷]为得到函数 的图象，只需把函数
的图象上的所有点( )
A.横坐标变成原来的 ，纵坐标不变
B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的 ，横坐标不变
D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
√
[解析] 因为，所以将函数 的图象上所有点的横
坐标变成原来的，纵坐标不变，即可得到函数 的图象.故选A.
（2）（多选题）[2025·湖南娄底模拟]下列函数的图象平移后可得到
函数 的图象的有( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，函数 的图象向右平移1个单位长度可得到函
数的图象，故A正确；
对于B，函数 的图象向上平移2个单位长度可得到函数
的图象，故B正确；
对于C，函数 的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐
标不变），可得到函数 的图象，是伸缩变换，不是平移变
换，故C错误；
对于D，函数，其图象向左平移 个单位长度
可得到函数的图象，故D正确.故选 .
总结反思
利用图象变换法作函数图象的注意点：
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、
指数函数、对数函数、幂函数、形如 的函数的图象等；
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对
称和伸缩得到，则可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
【对点演练1】 [2026·浙江衢州五校联盟期中]下列各组函数的图象，
能够通过左右平移实现重合的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 因为，所以将 的图象向左平
移 个单位长度可得到 的图象，故A正确；
因为，所以其图象最低点的坐标为 ，
而的图象最低点的坐标为 ，
√
故两函数图象无法只通过左 右平移实现重合，故B错误；
的图象上存在点 ，而的图象上存在点，
假设 的图象可左右平移得到的图象，
则将的图象向左平移 个单位长度即可得到的图象，
而的图象上的点向左平移 个单位长度后得到的
点不在 的图象上，假设不成立，故C错误；
当时，， ，和为
垂直于 轴的两条平行线，不能够通过左右平移实现重合，
故D错误.故选A.
探究点二 函数图象的识别
例2（1）[2025·天津卷]已知函数 的图象如图，
则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图可知函数为偶函数，而函数和函数
为奇函数，排除A，B；
由图可知当时， ，而当时， ，
排除C.故选D.
（2）[2025·浙江温州质检]函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为 ，排除D；
由一次函数和对数函数的性质可知与 在定义域上单调
递增，故在 上单调递增，排除C；
因为，所以函数的图象经过点 ，排除B.
故选A.
总结反思
解决识别函数图象问题的切入点
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断
图象的上下位置.
（2）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
（3）从函数的特殊点，排除不符合要求的图象.
（4）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复.
【对点演练2】（1）函数 的部分图象
大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的定义域
为 ，且 ，
所以函数是偶函数，排除C，D；
又 ，排除A.故选B.
（2）[2025·湖南名校联考联合体期末]已知函数 的部分图象如图
所示，则 的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题图知函数的定义域为 ，
且为偶函数.
对于A， ，
故A错误；
对于B， ，当
时, 且始终是正数，故B正确；
对于C， ，
故C错误；
对于D， ，
当 时,，但 可以为负数，故D错误.故选B.
探究点三 函数图象的应用
题型1 研究函数的性质
例3 [2025·安徽合肥六校联盟联考]设函数是定义在 上的偶函数，
对任意的，都有，且当 时，
，若在区间内关于 的方程
恰有三个不同的实数根，则 的取值
范围是( )
A. B.,2 C.,2 D.,
√
[解析] 因为，
所以 的一个周期为4.
当时，，
又 是定义在上的偶函数，
所以当 时，，结合其周期性，
可得的大致图象如图所示.
在区间内关于 的方程恰有三
个不同的实数根等价于 在上的图象与函数
在 上的图象有三个不同的交点，
由图可得即
则解得 .故选B.
题型2 求不等式的解集
例4 已知为定义在上的奇函数，， 在
上单调递减，在上单调递增，则不等式 的解集
为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为为定义在 上的奇函数，
所以.
又 ，所以.
根据题意作出 的大致图象如图所示.
不等式等价于或
由图可得 .故选D.
题型3 求参数的取值范围
例5（1）已知函数若关于 的方程
有4个互不相同的实数根，则 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，则关于 的方程
可转化为
.
由 ，
得，则， ，所以或.
当时，，
因为指数函数 在上单调递增，所以
在 上单调递增，且.
当时， ，
则.
令 ，即，解得 （负值舍去），
所以当时，， 单调递减；
当时，，单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，且.
作出 的大致图象，如图所示，易知 有1个实数根.
因为关于的方程
有4个互不相同的实数根，
所以 需要有3个不同的实数根.
结合 的图象可知，
当时，的图象与直线 有3个不同的交点，
即 有3个不同的实数根，
故的取值范围为 .故选B.
（2）[2026· 辽宁锦州质检］已知函数 ，若
，则 的最小值为( )
A. B.0 C.1 D.2
√
[解析] 设， ，
则在上为增函数，且 .
若当时，，
则满足当 时，，当时， ，
故的图象必过点 ，则，即，
此时函数与 的图象如图所示.
此时 ，
则满足函数，
所以，即的最小值为 .故选A.
总结反思
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等
式问题转化为两个函数图象（图象易得）的上、下位置关系问题，
利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再
结合图象求解.
【对点演练3】（1）[2026·江苏苏州质检]若定义在上的奇函数
在上单调递减，且，则满足的 的取
值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为是定义在上的奇函数，且在 上单调递减，
所以在上单调递减，
又 ，所以,，函数 的大致图象
如图①所示，
的图象向右平移1个单位长度，得到 的图象，如图②所示，
由图②可知满足的的取值范围是 .故选D.
（2）[2025·福建莆田华侨中学期中]若函数
的部分图象如图所示，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可知， 的定义域
为，
故关于 的方程 的两根为2,4，
由根与系数的关系得, ，
又，所以,, ，
则，故 .故选A.
（3）（多选题）已知函数 若存在四个
实数,,, ，使得
，则( )
A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.的取值范围为
D.的取值范围为
√
√
[解析] 函数 的图象
如图所示.
对于A，若函数的图象与直线 有4个
交点，则 ，故A正确.
对于B，因为，所以，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，且，
由，及 可
得或，所以 ，
又 ，
所以，
所以 ，且 ，
所以 ，
则 ，故B错误.
对于C，由以上分析可得 ，
由，得 ，
则 ,
，
因为函数在 上单调递增，
所以 ，则 ，
所以 ，故C正确.
对于D，，
设 , ，
则,，
则 在上单调递增，
所以 ，即，故D错误.故选 .
【备选理由】例1考查利用函数图象变换研究函数的对称性；
例1 ［配合探究点一使用］已知函数 ，则函数
的图象( )
A.关于点对称 B.关于点 对称
C.关于点对称 D.关于点 对称
√
[解析] 的定义域为,，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称.
函数 的图象可由 的图象先向右平移一个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到，
所以函数的图象关于点 对称.故选A.
例2 ［配合探究点二使用］[2026·四川南充模拟]
函数 的图象如图所示，则 的解析式可
能为( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例2考查由函数图象判断函数的解析式;
[解析] 由图可知 的图象关于原点对称，
则为奇函数.
对于A， 的定义域为， 定义域关于原点对称，
，
所以 为偶函数，不符合题意，排除A；
对于C，的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以 为偶函数，不符合题意，排除C；
对于D，的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，当 时，，，
所以 恒成立，不符合题意，排除D. 故选B.
【备选理由】例3考查利用函数图象研究函数的性质，意在提升直观
想象的核心素养.
例3 ［配合探究点三使用］（多选题）如图所示，在平面直角坐标
系中放置着边长为2的正方形，该正方形沿 轴滚动
（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程
是 ，则( )
A.方程在 上有三个根
B.
C.在 上单调递增
D.对任意，都有
√
√
[解析] 当时，的轨迹是以 为圆心，2为半径的
圆的 ；
当时，的轨迹是以为圆心，为半径的圆的 ；
当时，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的 ；
当时，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的
作出函数 的部分图象，如图所示.
由图知，函数 的图象与直线在 上有三个交点，
即方程在 上有三个根，故A正确；
由图及分析可知，的一个周期为8，且当 时，函数的
图象关于轴对称，所以函数 是偶函数， ，故B错误；
函数在 上单调递增，故C正确；
由图知，，，，故D错误.故选 .
作业手册
1.[2026·山东潍坊质检]已知且，与 成正
比例关系，其图象如图所示，且，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
◆ 夯实基础 ◆
[解析] 因为与成正比例关系，所以可设.
由 可得，则 ，
故，
又 ，所以，故 .故选B.
2.已知函数 的部分图象如图，则该函数的解析
式可能为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 对于A， ，不
符合题意；
对于B， ，不符合题意；
对于C，当 时，,，
则 ，不符合题意；
对于D，当时，, ，
当时，,， ,
,
，符合题意.
故选D.
3.[2025·湖南郴州调研]已知函数 方程
恰有三个不同的实数解，则 的值可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 画出 的图
象，如图所示，
由图知，当时，方程 恰
有三个不同的实数解，故选C.
4.[2026·福建福州联考]已知函数， 的图象如图，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由的图象可知，当时， ，
当时，，
由 的图象可知当时，，
当时， ，
则不等式等价于或 解得
或，
所以不等式 的解集为 .故选D.
5.[2026·青海西宁期中]已知函数 若函数
有且仅有2个零点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若函数 有且仅有2个零点，
则的图象与直线 有且仅有2个交
点.
当时，单调递增， ；
当时，在 上单调递减，
在上单调递增，且，，
函数 的图象如图所示，
由图知，的取值范围是 故选B.
6.已知函数若 ，且
，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 作出函数 的图象，如图所示，
令 ，
结合图象可知且 ，，
所以，即的取值范围为 .故选A.
7.（多选题）为得到函数的图象，可将函数 的图
象( )
A.向上平移一个单位长度
B.向下平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍
D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
√
√
[解析] 函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，
可得到函数 的图象，故选项C错误，选项D正确.
因为，
所以将函数 的图象向上平移一个单位长度可得到函数
的图象，故选项A正确，选项B错误.故选 .
8.[2025·北京大学附属中学期中] 已知， ，则
不等式 的解集为_________________.
[解析] 在同一平面直角坐标系内作出函数
, 的图象，如图，
由图知，当或时, ，
所以不等式的解集为 .
9.已知函数存在 ，
使得，则 的取值范围是________.
[解析] 作出函数 的图象，如图.
设 ，
依题意， ，且
，，
解得 ，，
故，
因为函数在 上单调递减，
所以，即的取值范围是 .
10.已知函数
（1）在平面直角坐标系中，画出函数 的简图；
解：函数 的简图如图.
（2）根据函数的图象，写出函数 的单调区间；
解：由图可知，函数的单调递增区间为 ，单调递减区间
为 .
（3）若，求实数 的值.
解：因为,，且函数在 上单调递增，
在上单调递减，所以若，则实数的值为 或3.
11.[2026·陕西西安质检]设函数的定义域为 ，满足
，且当时, .若对任意的
，都有，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 因为 ，
所以，
因为当 时, ，
所以当 时， ，
故 ，
当 时, ，
当时, .
当时，.
作出函数在 上的图象，
如图所示（横、纵坐标的单位长度不同）.
由, ，解得，
则对任意的 ，都有，
故的取值范围是 .故选A.
12.已知函数若关于 的方程
恰有5个不同的实根，则实数 的取
值范围是_________.
[解析] 令 ，则
可化为
，即，所以或.
作出函数 的图象，如图.
由图可知，函数的图象与直线 有2个不同的交点，
因为关于的方程 恰有5个不同的实根，
所以直线与的图象有3个不同的交点，
由图可知 ，
所以实数的取值范围是 .
13.[2026·安徽蚌埠模拟] 设函数, ，若函
数的图象关于直线对称，则曲线 的长度为_____.
[解析] 因为函数的图象关于直线对称，所以 ，
即，所以, ，
所以
则画出 的图象如图所示，
所以曲线 的长度为
.
14.已知函数 .
（1）画出函数 的图象；
解：由，解得或 ，
当时, ，
当 时,
，
当 时, ，
所以画出函数 的图象如图所示.
（2）求关于的不等式 的解集.
解：方法一：当 时，原不等式转化为
，得；
当 时，原不等式转化为 ，
得；
当 时，原不等式转化为 ，无解.
综上，原不等式的解集为 .
方法二：在坐标系中作出 的图象，如图，
当， 时，解得
或 （舍去），
当，时，解得 或 （舍去），
由图可知，当 时，，
故关于 的不等式的解集为 .
知识聚焦
课前演练
（1）√ （2）× （3）× （4）√ 1.C 2.B 3.D
课堂考点探究
例1（1）A （2）ABD 【对点演练1】A 例2（1）D （2）A
【对点演练2】（1）B （2）B 例3 B 例4 D 例5（1）B （2）A
【对点演练3】（1）D （2）A （3）AC
教师备用习题
例1 A 例2 B 例3 AC
夯实基础
1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.AD 8. 9.
10.（1） （2）单调递减区间为. （3）的值为或3.
综合提升
11.A 12. 13.
14.（1） （2）解集为.

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