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第13讲　函数的零点与方程的解
【备选理由】 例1是判断零点所在的区间与充分必要条件的交汇问题;例2已知函数零点之间的大小关系求参数的取值范围,考查逆向思维能力;例3已知函数的零点个数求参数的取值范围;例4已知复合函数的零点个数求参数的取值范围.
1 [配合探究点一使用] 已知函数f(x)=ln x+x2+a,则“a<-1”是“函数f(x)在(1,e)上存在零点”的 ( C )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 令f(x)=0,得ln x+x2+a=0,函数f(x)在(1,e)上存在零点,即方程a=-x2-ln x在(1,e)上存在实数解.
令g(x)=-x2-ln x,x∈(1,e),显然g(x)在(1,e)上单调递减,
因为g(1)=-1,g(e)=-e2-1,所以g(x)=-x2-ln x,x∈(1,e)的值域为(-e2-1,-1),
所以函数f(x)在(1,e)上存在零点等价于a的取值范围是(-e2-1,-1),
所以“a<-1”是“函数f(x)在(1,e)上存在零点”的必要不充分条件.故选C.
2 [配合探究点四使用] [2025·浙江宁波期末] 函数f(x)=x+log2x-4的零点为x1,函数g(x)=x+loga(x-1)-5(a>1)的零点为x2,若x2-x1>1,则实数a的取值范围为 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,) B.(1,2)
C.(,+∞) D.(2,+∞)
[解析] 由f(x)=x+log2x-4,可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(2)=2+log22-4=-1<0,f(4)=4+log24-4=2>0,
所以f(x)在(2,4)上存在唯一的零点,即2由已知可得x1+log2x1-4=0,x2+loga(x2-1)-5=0,
所以x1+log2x1-4=x2+loga(x2-1)-5,即x1+log2x1=x2-1+loga(x2-1),
因为x2-x1>1,所以x2-1>x1.
易知y=x+log2x和y=x-1+loga(x-1)(a>1)在定义域内均为增函数,
所以x1+log2x1=x2-1+loga(x2-1)>x1+logax1,所以log2x1>logax1,
所以>,又2ln 2>0,
所以>,即ln a>ln 2,所以a>2.故选D.
3 [配合探究点四使用] [2026·浙江金华十校期末] 已知函数f(x)=(x2-4x+a)sin(a>0)在(0,4)上恰有2个零点,则a的取值范围是　0[解析] 设g(x)=x2-4x+a,x∈(0,4),h(x)=sin(a>0),x∈(0,4),则f(x)=g(x)h(x).
二次函数g(x)=x2-4x+a,x∈(0,4)的图象开口向上,对称轴为直线x=2,g(x)min=g(2)=a-4,g(0)=g(4)=a.
因为a>0,x∈(0,4),所以ax-∈.
①当h(x)在(0,4)上没有零点时,4a-≤0,即0此时g(2)=a-4≤-4<0,g(0)=g(4)=a>0,
所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点,故f(x)在(0,4)上恰有2个零点,符合题意.
②当h(x)在(0,4)上有1个零点时,0<4a-≤π,即此时g(2)=a-4≤-4<0,g(0)=g(4)=a>0,
所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点,故f(x)在(0,4)上有3个零点,不合题意.
③当h(x)在(0,4)上有2个零点时,π<4a-≤2π,即此时g(2)=a-4≤-4<0,g(0)=g(4)=a>0,
所以g(x)在区间(0,2)和(2,4)内各有一个零点,故f(x)在(0,4)上有4个零点,不合题意.
综上,04 [配合探究点五使用] [2026·湖南衡阳期末] 已知函数f(x)=g(x)=若关于x的方程{g[f(x)]}2-(1+m)g[f(x)]+m=0有19个不等实数根,则实数m的取值范围是 ( B )
A. B.
C.(0,e) D.(1,e)
[解析] 原方程可化为{g[f(x)]-1}{g[f(x)]-m}=0,所以g[f(x)]=1或g[f(x)]=m.
作出f(x)的图象如图①所示,g(x)的图象如图②所示.若g[f(x)]=1,则f(x)=0或或e,
由图①可知此时有10个实数解,所以g[f(x)]=m有9个实数解.当m<0时,显然g[f(x)]=m无解,不符合题意;
当m=0时,f(x)=1,此时有3个实数解,不符合题意;
当m>1时,显然f(x)有两解,此时g[f(x)]=m的实数解的个数不超过6,不符合题意;显然m=1不符合题意;
当m=时,g(x)=m有三解,此时由图①易知g[f(x)]=m的实数解个数不超过8,不符合题意;
当m∈时,g(x)=m有三解,此时对于满足f(x)<0的解,易知其满足f(x)<-1,
故由图可得此时g[f(x)]=m的实数解个数不超过7,不符合题意;当m∈时,
注意到eln=-1,
故由图①可得此时g[f(x)]=m的实数解个数为9,符合题意.综上,实数m的取值范围是.故选B.(共107张PPT)
第13讲 函数的零点与方程的解
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
定义:对于一般函数,我们把使 的_______叫作函数
的零点.
实数
（2）等价关系
方程有实数解 函数的图象与_____有交点 函
数 有______.
轴
零点
◆ 知识聚焦 ◆
（3）函数零点存在定理
如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有
_____________,那么,函数在区间 内____________零点,
即存在,使得_________,这个也就是方程 的解.
至少有一个
（4）二分法：对于在区间 上图象连续不断且_____________的
函数，通过不断地把函数 的零点所在的区间_________，
使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的
方法叫作二分法.
一分为二
零点
2.二次函数 的图象与零点的关系
二次函数 的图象
与 轴的交点 _____________ _______ 无交点
零点个数 ___ ___ ___
,
2
1
0
常用结论
1.如果函数在区间 上是单调的，且在该区间上的图象是一条连
续不断的曲线，则函数 在该区间上至多有一个零点.
2.由函数 （图象是连续不断的）在闭区
间上有零点不一定能推出
（如图所示），所以“ ”是“
在闭区间 上有零点”的充分不必要
条件.
3.如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且
有，在上单调，那么 在区间
上有且仅有一个实数根.
4.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
5.函数有零点 方程有实数解 函数
与 的图象有交点.
6.函数有零点 方程有实数根 函数
与的图象有交点，其中 为常数.
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的零点是 .( )
×
[解析] 函数的零点是 ，故错误.
◆ 课前演练 ◆
（2）若函数在区间上满足，则函数 在
区间 上一定没有零点.( )
×
[解析] 如函数在区间 上有
，但是函数在区间 上有零点0，
故错误.
（3）函数 有零点.( )
×
[解析] 因为方程的判别式 ，所以
函数 没有零点，故错误.
（4）已知定义在上的函数 的图象是连续不断的，若
，则方程 至少有一个实数解.( )
√
[解析] 由函数零点存在定理可知正确.
（5）用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.( )
√
[解析] 由二分法的定义可知正确.
题组二 教材改编
1.函数 的零点为( )
A.1， B.， C.2， D.，
[解析] 令，得 ，解得
，，
所以函数的零点为和 .故选B.
√
2.用二分法求函数 的零点可以取的初始区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,,且在定义域 上单
调递增，
所以可以取的初始区间是 .故选A.
√
3.若函数在区间上存在零点，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 显然函数在 上是增函数，由函数零点存在定理可
知，
若函数在区间 上存在零点，
则只需满足，即，
解得 ，
所以实数的取值范围是 .故选D.
√
探究点一 判断函数零点所在的区间
例1 [2025·天津卷]函数 的零点所在区间可以是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由指数函数、幂函数的单调性可知，在 上单调递
减，在上单调递增，
所以在 上单调递减.
因为, ,
， ，
,
所以根据零点存在定理可知 的零点所在区间可以是 .
故选B.
总结反思
确定函数零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间 上的
图象是否连续，再看是否有，若有，则函数
在区间 内必有零点.
（2）数形结合：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是
否有交点来判断.
【对点演练1】 [2025·河北沧州二模]函数 的零
点所在的区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为与 均在定义域上单调递增，
所以在 上单调递增.
因为 ，
，
所以函数 的零点所在的区间为 .故选B.
√
探究点二 用二分法求函数零点的近似值
例2 某同学用二分法求函数 的零点时，用计算器
算得部分函数值如表所示：
则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是( )
A.1.2 B.1.21 C.1.27 D.1.32
√
[解析] ， ，
由零点存在定理得，区间内存在零点，
该区间长度为 ，小于，
由于 ，
故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是 ，故选C.
总结反思
用二分法求函数零点近似值的关键：一是用定理，即利用函数零点
存在定理，估计零点所在的区间；二是取中点，即利用线段中点的
坐标公式，求出所给区间的中点的横坐标，从而求出其对应的函数
值，并判断函数值的符号，再利用“异号留，同号去”，缩小零点所
在的范围；三是满足精确度，重复第二步，直到满足精确度为止，
即可得近似值.
【对点演练2】 [2026·广东汕头模拟]用二分法求函数
在内零点的近似值，若精确度要求为 ，
则需重复相同步骤的次数至少为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 原始区间长度为 ，第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为 ，
第三次，区间长度减半，为 ，
第四次，区间长度减半，为 ，
故至少需要重复4次相同步骤.故选B.
探究点三 判断函数零点的个数
例3 [2026·安徽合肥联考]函数 的零
点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定，与 的取值有关
[解析] 因为，所以由指数函数的图象与性质知，
当 时，，则，
当时， ，则，
又当时，，所以函数 只有1个零点，故选A.
√
总结反思
函数零点个数的判断方法
（1）直接求零点：令 ，如果能求出方程的解，那么方程有
几个解，函数就有几个零点.
（2）函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在 上的图象
是一条连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象
和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点.
（3）把原函数的解析式转化为两个函数解析式的差，画出两个函数
的图象，两个函数图象的交点个数即为原函数的零点个数.
【对点演练3】（1）函数在 上的零点个数
为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
√
[解析] 令，根据“对勾函数”的性质可知，函数 在
上单调递减，在上单调递增，且当 时，
，由，可得 ，.
只有当 ,2,3时，的值分别对应 , ,.
又因为 , , 在上各有2个解，
所以在 上有6个零点.故选C.
（2）[2026·江苏苏北七市调研] 已知函数 满足
，且 则方程
的实数解的个数为___.
5
[解析] 由函数 满足 ，可得
，所以 的一个周期为4，
又所以，
函数 的图象如图所示，
方程的实数解的个数即为的图象与直线 的
交点个数，由图可知两图象交点的个数为5，即方程 的实
数解的个数为5.
探究点四 函数零点的应用
题型1 根据函数零点个数求参数
例4 已知函数若函数 恰有2个零
点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知当时，函数单调递增，且
.
当时，易知函数在上单调递增，
当时， ，当 时， ， 的大致图象如图所示.
若函数恰有2个零点，
则函数 的图象与直线有2个交点，
由图可知 ；
当时，函数，显然函数 的图象
与直线没有交点，不符合题意；
当 时，根据对勾函数的性质可知，
当且仅当时等号成立，
显然函数 的图象与直线没有交点，不符合题意.
综上可知，实数 的取值范围是 .故选B.
题型2 根据函数零点范围求参数
例5（1）[2025·陕西西安六模]若函数在 上有零
点，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知在上单调递增，若函数在 上有零点，
则，即，解得 .故选D.
√
（2）[2025·湖南名校联考]已知函数在区间
上有零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数在区间 上有零点，
则方程在区间上有解.
因为函数在区间 上单调递减，在上单调递增，
， ，，
所以，故的取值范围是 .故选D.
总结反思
根据函数零点情况求参数值（或范围）的三种常用方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程（或不等式），
再通过解方程（或不等式）确定参数的值（或范围）.
（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值（或值域）问
题加以解决.
（3）数形结合法：先对解析式变形，然后在同一平面直角坐标系中
画出函数的图象，最后数形结合求解.
【对点演练4】（1）函数在区间 内有零
点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，由 可得
，
令，因为 ，在上均单调
递增，所以在 上单调递增，
因为在区间内有零点，所以函数 在区间内有零点，
所以解得，故实数 的取值范围是 .
故选D.
（2）（多选题）已知函数 ，若函数
存在两个零点，则 的值可能是( )
A. B.1 C.2 D.3
√
√
√
[解析] 由题可得
其图象如图所示，
函数在上共有3个零点，
即方程在 上有3个根，，，.
又因为函数 在上存在两个零点，
所以.故选 .
（3）[2026·辽宁名校联盟联考] 已知函数
至少有一个零点在区间 内，则实数
的取值范围是_ ________.
[解析] 对于函数 ，
.
当，即时，没有零点，不符合题意.
当 时，或，
当时， ，其零点为1，符合题意；
当时， ，其零点为，不符合题意.
当，即或时， 有两个不相等的零点,，
若至少有一个零点在区间 内，
则需或
解得或.
另外若,则 ，
则 ，零点为0或3，不符合题意；
若,则 ，
则，零点为2或， ，符合
题意.
综上所述，的取值范围是.
探究点五 复合函数的零点问题
例6（1）[2025·江西新九校协作体联考]已知函数
则函数 的零点个
数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 函数 的零点个数即
为方程 的解的个数.
作出函数 的大致图象，如图所示.
令，则，
解得 ，，.
当时， ，则，此时方程无解；
当时，，则 ，此时方程有3个不同的解；
当时， ，
则 ，此时方程
有2个不同的解.
综上可知，函数 的零
点个数为5.故选A.
（2）[2026·河北沧州期末]已知函数 若关
于的方程 有7个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知 .
由 可得
，
故 或，画出函数 的图象，如图所示，
的图象与直线有3个交点，
若关于 的方程 有7个不相等的实数根，
则直线与的图象有4个交点,
所以，即 ，故实数的取值范围是 .故选D.
总结反思
对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数 ；
（2）确定外层函数的零点 ；
（3）确定直线与内层函数 图象的交
点个数，分别记为，，， ，，则函数 的零点
个数为 .
【对点演练5】（1）[2025·湖北十堰模拟]已知函数
则关于 的方程
的根的个数为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
√
[解析] 由得 ，解得
或.
画出 的大致图象如图所示，由图可知，函数的图象与直线
有5个交点，与直线 有5个交点，
故关于的方程 的根的个数为10.故选D.
（2）已知函数若函数 有8个零
点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当，时， 的图象的对称轴为直
线，
所以在上单调递增，则函数 的大致
图象如图①所示.
令，则，解得或 ，即
或，
由图可知有2个解， 有1个解，
所以此时有3个零点，不符合题意；
当， 时，的图象的对称轴为直
线，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
则函数 的大致图象如图②所示.
令，则，解得或 或
，由图可知有2个解， 有3个解，
又有8个零点，所以 有3个解，
则解得，故实数的取值范围为 .故选D.
【备选理由】例1是判断零点所在的区间与充分必要条件的交汇问题；
例1 ［配合探究点一使用］已知函数 ，则“
”是“函数在 上存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 令，得，函数在 上存在零
点，即方程在 上存在实数解.
令,，显然在 上单调递减，
因为,，所以, 的
值域为 ，
所以函数在上存在零点等价于 的取值范围是
，
所以“”是“函数在 上存在零点”的必要不充分条件.故
选C.
例2 ［配合探究点四使用］[2025·浙江宁波期末]函数
的零点为 ，函数
的零点为，若 ，则
实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2已知函数零点之间的大小关系求参数的取值范围，
考查逆向思维能力；
[解析] 由，可知在 上单调递增，
又， ，
所以在上存在唯一的零点，即 .
由已知可得， ，
所以 ，
即 ，
因为，所以 .
易知和 在定义域内均为
增函数，
所以 ，
所以 ，
所以，又，所以 ，
所以，即，所以 .故选D.
例3 ［配合探究点四使用］[2026·浙江金华十校期末] 已知函数
在上恰有2个零点，则
的取值范围是_ __________．
【备选理由】例3已知函数的零点个数求参数的取值范围；
[解析] 设,， ,
，则 .
二次函数, 的图象开口向上，对称轴为直
线，， .
因为,，所以, .
①当在上没有零点时，，即 ，
此时， ，
所以在区间和内各有一个零点，故在 上恰有
2个零点，符合题意.
②当在上有1个零点时， ，即 ，
此时， ，
所以在区间和内各有一个零点，故在 上有3
个零点，不合题意.
③当在上有2个零点时， ，即 ，
此时， ，
所以在区间和内各有一个零点，故在 上有4
个零点，不合题意.
综上， .
例4 ［配合探究点五使用］[2026·湖南衡阳期末]已知函数
若关于 的方程
有19个不等实数根，则实数
的取值范围是( )
A., B., C. D.
√
【备选理由】例4已知复合函数的零点个数求参数的取值范围.
[解析] 原方程可化为 ，
所以或 .
作出的图象如图①所示，的图象如图②所示.
若 ，则或或 ，
由图①可知此时有10个实数解，
所以 有9个实数解．
当时，显然 无解，
不符合题意；
当时， ，此时有3个实数解，不符合题意；
当时，显然有两解，此时 的实数解的个数不
超过6，不符合题意；显然 不符合题意；
当时，有三解，此时由图①
易知 的实数解个数不超过8，
不符合题意；
当,时，有三解，此时对于满足 的解，
易知其满足 ，
故由图可得此时 的实数解个数不超过7，不符合题意；
当, 时，注意到，且 ，
故由图①可得此时 的实数解个数为9，符合题意.
综上，实数的取值范围是, .故选B.
作业手册
1.[2026·湖北十堰模拟]函数 的零点所在的区间是
( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为，
因为 在上连续且为增函数， ,
，所以 .
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间
是 .故选C.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.[2026·山东济宁期末]已知函数 ，现用二分法求
函数在 内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所
在的区间为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数在 上单调递增，
且 ，
，
取区间的中点 ，，
因为 ,所以函数的零点在内，取区间的中点 ，
，
因为 ,所以函数的零点在 内.故选A.
3.函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 当时，令，解得.
当 时, ,
，，
所以在 上存在零点，
又因为在上单调递增，
所以函数在 上有唯一零点.
综上, 的零点个数为2.故选C.
4.[2025·浙江诸暨模拟]已知函数 有唯一零
点，则 ( )
A.0 B. C.2 D.
[解析] 因为函数的定义域为 ，且
，
所以函数为偶函数，
因为 有唯一零点，所以，解得.
当时, 有唯一零点，符合题意；
当时, 令，得,2， ，不符合题意.故选C.
√
5.[2026·福建南平质检]设表示不超过实数 的最大整数，如
,,，则方程 的解的个数
为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
√
[解析] 方程 的解的个数即为函数和
的图象的交点个数.
作出函数 和 的图象，如图所示.
由图可知和 的图象的交点个数为5，
则方程 的解的个数为5.故选B.
6.已知函数，，若曲线
与恰有三个交点，则 ( )
A. B. 或1 C.1 D.2
√
[解析] 易知，均为偶函数，若曲线与 恰
有三个交点，则，即，解得.
当 时,， ，
此时曲线与只有一个交点，不符合题意；
当 时,，，
此时曲线与 有，，三个交点，
故 .故选C.
7.已知函数若关于的方程
有2个不同的实根，，且，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若关于的方程 有2
个不同的实根，
则直线 与 的图象有2个
不同的交点.
画出的图象，如图，直线过定点，
当该直线经过点时，该直线斜率为，并与 的图象有2个交
点，但其中一点的横坐标为0，与 矛盾.
故，解得，故的取值范围是 .故选C.
8.[2026 辽宁抚顺联考]已知函数 则方程
的解的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 函数 的图象如图所示，设，
则方程 即为，
由图可知，直线 与的图象有3个交点，
设交点的横坐标分别为, ,，其中，，
.
方程 的解的个数转化为方程,,
解的个数之和，
由图可知，直线与的图象有1个交点，
直线与 的图象有3个交点，直线与 的
图象没有交点，
所以方程 的解的个数为 .故选B.
9.[2025·湖南常德期中] 若函数在区间
内恰有一个零点，则实数 的取值范围是_ ______________.
[解析] 当时,，由得 ，符
合题意.
当时，二次函数 的判别式为，
当,即时，的零点为 ，符合题意.
当,即 时，只需，
所以且 .
当时，，经验证符合题意；
当时， ，经验证符合题意.
综上，实数的取值范围为 .
10.已知函数为常数， .
（1）当取何值时，函数 为奇函数；
解：若为奇函数，则 ，
即 ，
，，，解得 .
（2）当时，若方程在 上有实根，求
实数 的取值范围.
解：当时, ,
，
，
当 时，，
又在上单调递增，
当 时, ，
令 ，则方程在上有实根，
在 上有实根，
又在上单调递增，
， .
11.[2025·四川德阳期末]已知函数，若关于 的方程
有4个不同的实数根，则 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 令，则关于 的方程
可转化为
，画出函数 的图象，如图，
由题知，关于的方程有2个不同的根， ,且
,.
由，得 或，
则.
令 ,，
得，则 ；
令,，
得 ，
则，故 .故选D.
12.已知函数 有且仅有两个零点，
则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，可得 ，
即，
因为函数 有且仅有两个零点，
所以的图象与直线
有且仅有两个交点.
直线过定点，
取，
作出 的图象，如图所示.当时，
由 得，
由，可得 ；
当时，.
若函数 有且仅有两个零点，
则或，
所以实数的取值范围为 .故选A.
13.[2026·江苏盐城模拟] 设函数则关于 的方
程 的解的个数是___.
5
[解析] 由，得或 .
若，则当时，，无解；
当 时，，则或，
解得或 .
若，则当时，，解得；
当 时，，则或，
解得或 .
综上，关于的方程 的解的个数为5.
14.[2026·湖南娄底调研] 已知函数 .
（1）解方程 ；
解：由得，
所以 ，
所以，
令，解得，所以 .
14.[2026·湖南娄底调研] 已知函数 .
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
解：因为函数的定义域为 ，且
，
所以函数 为偶函数.
（3）若函数在 上只有一
个零点，求 的取值范围.
解：函数在 上只有一个零点等价于方程
在 上只有一个解，
即方程在 上只有一个解，
整理得，
令 ，即方程 有唯一正数根，
①若，此时 ，符合题意.
②若，则,
当时， ，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
当 时，，方程有两相异实根，符合题意；
当且， 时，则，
只需所以 （舍去）.
综上，实数的取值范围是或 .
知识聚焦
1.（1）实数 （2）轴 零点 （3） 至少有一个
（4） 一分为二 零点 2., 2 1 0
课前演练
（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ 1.B 2.A 3.D
课堂考点探究
例1B 【对点演练1】B 例2 C 【对点演练2】B 例3 A 【对点演练3】
（1）C （2）5 例4 B 例5（1）D （2）D 【对点演练4】（1）D （2）
BCD （3） 例6（1）A （2）D 【对点演练5】（1）D （2）D
教师备用习题
例1 C 例2 D 例3 例4 B
夯实基础
1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.
10.（1）（2）m>
综合提升
11.D 12.A 13.5
14.（1） （2）为偶函数（3）的取值范围是
或.

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