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第14讲　函数模型及其应用
【备选理由】 例1用函数图象刻画实际问题的变化过程,需分类讨论解决;例2考查已知函数模型解决实际问题;例3考查构建函数模型解决实际问题.
1 [配合探究点一使用] 在下列四个图形中,点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O,P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图,则点P所走的图形是 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A　　　B
C　　　D
[解析] 对于A,点P开始在第一条边上运动时,y=x,
但当点P在第二条边上运动时,y随x的增大先减小后增大,在第三条边上运动时,y随x的增大而减小,
对比图象可知,A错误;
对于B,y关于x的函数的图象一定不是对称的,B错误;
对于C,y与x的关系不是线性的,C错误;
对于D,设正方形的边长为a,
当点P在第一条边上运动,即0≤x≤a时,y=x,y随x的增大而增大,
当点P在第二条边上运动,即a≤x≤2a时,y=,y随x的增大而增大,
当点P在第三条边上运动,即2a≤x≤3a时,y=,y随x的增大而减小,
当点P在第四条边上运动,即3a≤x≤4a时,y=4a-x,y随x的增大而减小,
且y关于x的函数图象关于直线x=2a=(其中l=4a)对称,D正确.故选D.
2 [配合探究点二使用] [2026·福建福州模拟] 在一定条件下,大气压强p(单位:百帕)随海拔高度h(单位:米)的变化满足如下函数关系式:p=p0e-kh(p0,k为正常数).已知海拔高度为0米处的大气压强为1000百帕,海拔高度为10 000米处的大气压强为250百帕.若大气压强从250百帕增加到500百帕,则海拔高度降低 ( C )
A.100米 B.2500米
C.5000米 D.7500米
[解析] 由题意可得p0=1000,p0e-10 000k=250,所以e-10 000k=,则k==.设大气压强从250百帕增加到500百帕,海拔高度降低x米,则500=p0e-k(10 000-x)=250ekx,所以ekx=2,即=2,所以=ln 2,所以x=5000.故选C.
3 [配合探究点三使用] 我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度用I(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L1表示,它们满足以下公式:L1=10lg(L1的单位为dB,L1≥0,I0=1×10-12 W/m2是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答下列问题.
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电?播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强度水平;
(2)某一新建的安静小区规定小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下,试求声音强度I的范围为多少
解: (1)依题意,树叶沙沙声的强度水平为10lg=10lg 1=0(dB),
耳语的强度水平为10lg=10lg 102=20(dB),
恬静的无线电?播的强度水平为10lg=10lg 104=40(dB).
(2)依题意,0≤L1<50,即0≤10lg<50,整理得1≤<105,解得1×10-12≤I<1×10-7,
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10-12,1×10-7).(共92张PPT)
第14讲 函数模型及其应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和
工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一
次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数
爆炸”等术语的现实含义.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,
体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现
实意义.
1.三种函数模型的性质的比较
函数性质
在 上的 单调性 单调______ 单调______ 单调______
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
递增
递增
递增
◆ 知识聚焦 ◆
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ,为常数,
二次函数模型 ,,为常数,
反比例函数模型 ,为常数且
指数函数模型 ,,为常数,且 ,
对数函数模型 ,,为常数,且 ,
幂函数模型 ,, 为常数,,
常用结论
1.函数在区间 上单调递减,
在区间 上单调递增.
2.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，
其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，
其增长量越来越小.
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）解决某一实际问题的函数模型是唯一的.( )
×
[解析] 对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别，故错误.
◆ 课前演练 ◆
（2）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模
拟效果越好.( )
√
[解析] 数据越多，模拟效果越好，故正确.
（3）函数比 增长的速度更快些.( )
×
[解析] 根据幂函数、指数函数的性质知错误.
（4）函数 的衰减速度越来越慢.( )
√
[解析] 由对数函数的图象与性质知正确.
题组二 教材改编
1.有一组实验数据如表所示，则体现这组数据的最佳函数模型是
( )
2 3 4 5 6
1.33 2.67 5.33 10.67 21.33
A. B. C. D.
√
[解析] 令，则, , ,，
通过所给数据可知，随 的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，C选项中的函数增长的速度越来越慢，D选项中函数增长的速度不变，B选项中函数增长的速度越来越快，所以B符合题意.故选B.
2.某商品在最近30天内的单价（单位：元）与时间 （单位：天）
的函数关系是，销售量
（单位：件）与时间 （单位：天）的函数关系是
，则在最近30天内，这种商品的
日销售金额最高为_____元.
506
[解析] 设日销售金额为 元，则，又 ，，
所以当或13时， 取得最大值506，故在最近30天内，这种商品的日销售金额最高为506元.
3.某商场国庆假期期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过
800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，那么
超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分
超过500元的部分
设某人在此商场的购物总金额为元，可以获得的折扣金额为 元，
则关于的函数解析式为 若此
人可以获得的折扣金额为30元，则此人购物实际所付的金额为_____
元.
1320
[解析] 若，则 ，所以.
由，得 ，故此人购物实际所付的金额为 （元）.
探究点一 用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1（1）已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的
价格走势如图所示，假设某商人持有资金6万元，他
可以在至 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖
能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在 时
刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是 ( )
A.4万元 B.4.5万元 C.5万元 D.6万元
√
[解析] 当甲6元时，该商人全部买入甲商品，
可以买（万份），在 时刻全部卖出，
此时获利 （万元）；
当乙4元时，该商人买入乙商品，可以
买（万份），在 时刻全部卖出，此时获利（万元），共获利 （万元）.故选D.
（2）（多选题）[2025· 广东普宁调研]某数学小
组在进行“探究茶水温度与时间的关系”的活动时，
根据所收集的数据，得到时间（单位： ）与
水温（单位： ）的散点图（如图），则下列不
可能作为该散点图对应的函数模型的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] ， 为增函数，故A，C不可能作为该散点图对应的函数模型；
， 为减函数，故B，D可能作为该散点图对应的函数模型.故选 .
总结反思
判断函数图象是否与实际问题变化过程相吻合的两种方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先构建函数
模型，再结合模型选图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象
的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案，选
择出符合实际情况的答案.
【对点演练1】（1）[2026·浙江杭州十四中模拟]已知边长为1的正方
形，为边的中点，动点在正方形 边上沿
运动，设点经过的路程为，的面积为 ，则
关于 的函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当动点在正方形边上沿运动时， 的面积为,；
当动点在正方形边上沿 运动时， 的面积为 , ；当动点在正方形边上沿运动时， 的面积为, .
结合选项知A正确，故选A.
（2）（多选题）[2026·江苏南京二十九中期中]某药物在人体内的血
药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（单位： ）
的变化规律可近似表述为，其中为初始血药浓度，
为代谢速率常数， 的图象如图所示，则( )
A.
B.每小时血药浓度降低的数值相等
C.服药后6小时，血药浓度降至初始值的
D.服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
√
√
√
[解析] 将代入 中得，，
得 ，故A正确；
因为，所以当
时， ，不是定值，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
由题图可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确.故选 .
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2（1）[2025·北京卷]在一定条件下，某人工智能语言模型训练
个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中 为常
数，在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到
个单位时，训练时间增加20小时，则当训练数据量从
个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小时）
( )
A.2 B.4 C.20 D.40
√
[解析] 设当取，， 时训练时间分别为,,.
由题意得， ， ， .
因为，所以 ，所以 ，所以当训练数据量从个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.故选B.
（2）[2026·湖北荆门质检]规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，
已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：）与过滤时间
（单位：）之间的函数关系式为 为自然对数的底
数，为污染物的初始含量，过滤 后检测，发现污染物的含量为
原来的，要使污染物的含量不超过初始值的 ，则至少需要过滤
（参考数据： ）( )
A. B. C. D.
√
[解析] 过滤后检测，发现污染物的含量为原来的 ，则，则，可得，所以 ，
由，得 ，两边取以10为底的对数，可得，整理得，
故 ，解得，因此至少需要过滤 ，故选B.
总结反思
已知函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）认清所给函数模型，
弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知条件利用待定系数法确定模
型中的待定系数；（3）利用该模型求解实际问题.
【对点演练2】（1）沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置.现有
一个沙漏上方装有 的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，
经过分钟时剩余的细沙量为，且为常数 ，经过
16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经
过的时间为( )
A.24分钟 B.28分钟 C.32分钟 D.36分钟
√
[解析] 依题意得，即 ，两边取对数得，所以，则 ，
当上方细沙是开始时的时，，所以 ，两边取对数得，所以，即要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为32分钟.故选C.
（2）[2026·广东汕头质检]音量大小用声强级 （单位： ）表示，声强级
与声强（单位：）的关系是，其中 指的是人能听到的最
低声强.人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为.若学生早读
期间读书的声音的声强级范围为 （单位： ），则下列选项中说法错
误的是( )
A.（单位： ）
B.学生早读期间读书的声强范围为（单位： ）
C.如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D.如果声强级增加 ，则声强变为原来的10倍
√
[解析] 由题知，可得 ，A中说法正确；
，若 ，则，所以 ，B中说法正确；
若，则 ，C中说法错误；
若，则，可得 ，则 ，D中说法正确.故选C.
探究点三 构建函数模型解决实际问题
例3（1）[2026·广东佛山调研]某工厂近两年投产高新电子产品，第
一个月产量为1000台，合格品率为 ，以后每月的产量在前一个
月的基础上提高，合格品率比前一个月增加.已知第 个月
，且生产的合格品数量首次突破5000台，则 的值为
（参考数据： ）( )
A.8 B.9 C.10 D.11
√
[解析] 由题可得第 个月生产合格品的数量为 .
由题可得,则 ,
所以.当 时， ，不满足题意；
当 时，
，不满足题意；
当 时，
，不满足题意；
当 时, ，满足题意.
故第11个月生产的合格品数量首次突破5000台.故选D.
（2）[2026·河南商丘联考] 某超市开展优惠促销活动，下表是购买
苹果的促销方案：
购买苹果的质量 苹果单价
不超过4千克的部分 8元
超过4千克但不超过8千克的部分 7元
超过8千克的部分 6元
已知甲、乙顾客分别从这家超市购买了3千克、6千克苹果，若甲、
乙两人合在一起购买9千克苹果，则可以节省___元.
4
[解析] 设购买千克苹果，消费金额为 元，
则
甲购买3千克苹果消费金额为 （元），乙购买6千克苹果消费金额为 （元），甲、乙两人合在一起购买9千克苹果消费金额为 （元），
则可以节省 （元）.
总结反思
构建函数模型解决实际问题的时候，首先应选取合适的函数模型，
然后进行逻辑推理或运算，最后返回到实际问题中去，结合实际得
到问题的解.
【对点演练3】（1）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：
当销售利润不超过8万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利
润超过8万元时，若超出的部分为 万元，则超出的部分按
进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为
（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售
利润是( )
A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元
√
[解析] 由题意知，当时，；当 时，
，
所以
当 时，，
故小江的销售利润 ，所以，解得 ，
所以小江的销售利润是20万元.故选D.
（2）（多选题）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆
形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位： ）
的四次方成正比，当气体在半径为 的管道中时，流量为
，则( )
A.当气体在半径为的管道中时，流量为
B.当气体在半径为的管道中时，流量为
C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
D.要使得气体流量不小于 ，管道的半径的最小值为
√
√
[解析] 依题意可设，.
当气体在半径为 的管道中时，流量为，所以，解得，则 .
当时，，故A正确，B错误.
由，解得 ，故C正确，D错误.故选 .
【备选理由】例1用函数图象刻画实际问题的变化过程，需分类讨论
解决；
例1 ［配合探究点一使用］在下列四个图形中，点
从点出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动
一周，，两点间的距离与点走过的路程 的函
数关系如图，则点 所走的图形是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，点 开始在第一条边上运动时，
，但当点在第二条边上运动时，随 的增
大先减小后增大，在第三条边上运动时，随 的
增大而减小，对比图象可知，A错误；
对于B，关于 的函数的图象一定不是对称的，B错误；
对于C，与 的关系不是线性的，C错误；
对于D，设正方形的边长为 ，当点在第一条边上运动，即时，，随 的增大而增大，
当点在第二条边上运动，即 时，
，随 的增大而增大，
当点在第三条边上运动，即 时，
，随 的增大而减小，
当点在第四条边上运动，即 时，，随 的增大而减小，且关于的函数图象关于直线 （其中 ）对称，D正确.故选D.
例2 ［配合探究点二使用］[2026·福建福州模拟]在一定条件下，大
气压强（单位：百帕）随海拔高度 （单位：米）的变化满足如下
函数关系式：,为正常数 ．已知海拔高度为0米处的
大气压强为1000百帕，海拔高度为10 000米处的大气压强为250百帕.
若大气压强从250百帕增加到500百帕，则海拔高度降低( )
A.100米 B.2500米 C.5000米 D.7500米
√
【备选理由】例2考查已知函数模型解决实际问题;
[解析] 由题意可得,，
所以 ，则 .
设大气压强从250百帕增加到500百帕，海拔高度降低米，
则，所以 ，即，
所以，所以 .故选C.
例3 ［配合探究点三使用］我们知道：人们对声音有不同的感觉，
这与它的强度有关系.声音的强度用 表示，但在实际测量时，
声音的强度水平常用 表示，它们满足以下公式：
的单位为，，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端 .回答下列问题.
【备选理由】例3考查构建函数模型解决实际问题.
（1）树叶沙沙声的强度是 ，耳语的强度是
，恬静的无线电广播的强度是 ，试
分别求出它们的强度水平；
解：依题意，树叶沙沙声的强度水平为 ，耳语的强度水平为 ，恬静的无线电广播的强度水平为 .
（2）某一新建的安静小区规定小区内公共场所的声音的强度水平必
须保持在以下，试求声音强度 的范围为多少？
解：依题意，，即，整理得 ，解得 ，
所以新建的安静小区的声音强度的范围为 .
作业手册
1.[2026·江西赣州模拟]一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙
地驶往甲地，快车的速度为100千米/时，特快车的速度为150千米/时，
甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则两车之间的
距离（千米）与快车行驶时间 （小时）之间的函数图象大致是
( )
A. B. C. D.
√
◆ 夯实基础 ◆
[解析] 当两车同时相向出发时，相遇时间 （小时），此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为（千米），还需要行驶 （小时）才能到达乙地，故排除A选项；
相遇时特快车已经行驶的路程为（千米），还需要行驶 （小时）才能到达甲地，所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.故选C.
2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从 点出发，
沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈（路线为
），则小明到点的直线距离与他从
点出发后运动的时间 之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 小明沿走时，与点的直线距离保持不变，
沿 走时，随时间的增加与点的直线距离越来越小，沿 走时，随时间的增加与 点的直线距离越来越大，故D选项的函数图象符合题意.故选D.
3.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，描述了人类大脑
对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，
用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率 （记住的单词个
数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间 （单位：小时）的
函数关系式为 ，当记住的单词仅剩25个时，离初次
记忆经过了参考数据：, ( )
A.100小时 B.300小时 C.1000小时 D.3000小时
√
[解析] 由题意得，所以 ，即
，两边同时取以10为底的对数，得
，
所以 ,解得 .故选C.
4.[2026·河北秦皇岛模拟]科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级 之
间的关系为 年1月7日西藏日喀则市发生里氏
6.8级地震，释放出来的能量为 ，2025年1月10日山西临汾市发生
里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则 ( )
A.10 B.4.05 C. D.
√
[解析] 依题意，， ，两
式相减，得，
因此 ，则 .故选D.
5.[2026·安徽安庆期末]经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量
单位：与速度单位： 的下列数据：
0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为
最符合实际的函数模型是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题表中数据可知函数模型满足：①定义域为 ，②在定义域内单调递增且单位增长率变快，③函数图象过原点.
函数和 在定义域内单调递减，不符合条件，故A，C错误；
0不在函数 的定义域中，故D错误；
满足上述三点，故B正确.故选B.
6.某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其中为年收益率，为投资时间（单位：年）， 为
自然对数的底数，为初始资金，为 年后的资金，已知某产品
年收益率，则使初始资金翻倍至少需要 参考数据：
( )
A.12年 B.13年 C.14年 D.15年
√
[解析] 由题意可知, ，代入公式可得
，所以,则 ,
所以 ，所以至少需要14年，故选C.
7.（多选题）[2025·福建漳州期末]如图，某池塘里浮萍
的面积（单位：平方米）与时间 （单位：月）的关系
为 ，则( )
A.
B.第4个月时，浮萍面积超过80平方米
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.浮萍每月的增长率为2
√
√
√
[解析] 由题图可知，函数图象经过点，所以 ，
解得，故A正确；
由A选项知 ，则第4个月的浮萍面积为
（平方米），超过了80平方米，故B正确；
前3个月的浮萍面积分别为3平方米，9平方米，27平方米，
，所以浮萍每月增加的面积不相等，故C不正确；
浮萍每月的增长率为 ，故D正确.故选 .
8.[2025·海南海口期末] 某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，
发现剩余质量（单位：克）随时间 （单位：天）的变化规律满
足，其中为初始质量.若初始质量 满足
，则当时， 的值为___.
6
[解析] 由题意可得当时， ，
所以 .
9.[2026·黑龙江佳木斯模拟] 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料
在自然界可停留长达 年之久，给环境带来了很大的危害，
国家发改委、生态环境部等9部门联合印度《关于礼实推进塑料污染
治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑
料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后
残留量与时间（单位：年）之间的关系为，其中 为
初始量， 为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的
.该品牌塑料袋大约需要经过____年，其残留量为初始量的 .
参考数据：，
16
[解析] 由题意知，当时，， ，
由，得 ，
，
，
故该品牌塑料袋大约需要经过16年，其残留量为初始量的 .
10.[2026·湖南娄底期中] 某校内有块空地，为美化校园环境，学校
决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后需购买一批
机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润 （单位：万元）与
运转的时间 （单位：年）的函数关系为
.
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：,,
故当时， 取得最大值，最大值为45，
所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元.
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
解：记这批机器的年平均利润为 ，
则 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
故当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.
11.现有两个函数模型如下，模型一：如果 是碳14的初始质量，那
么经过年后，碳14的质量为 ；模型二：马尔萨斯自
然状态下人口增长模型，其中表示经过的时间， 表示
时的人口数，是常数是自然对数的底数 ，则下列说法错误
的是( )
◆ 综合提升 ◆
A.经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半
B.碳14的年衰减率与初始质量有关
C.设，碳14的第年，第年，第 年的衰减量分别为
，，，则
D.以上两个模型都可以归结为模型“”（其中 为自变量，
，为常数， 是自然对数的底数）
√
[解析] 对于A，模型一中，当 时， ，即经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半，故A中说法正确；
对于B，年衰减率与初始质量无关，模型一可改写为，则 ，年衰减率为，是常数，故B中说法错误；
对于C，第 年的衰减量 ，
同理 ， ，所以 ，故C中说法正确；
对于D，模型一可转化为，模型二为，均符合 形式，故D中说法正确.故选B.
12.（多选题）[2026·重庆八中模拟]如
图，一座小岛到海岸线上最近的 点的
距离是，在点沿海岸正东
处有一个城镇.设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度
为，时间单位：表示他从小岛到城镇的时间，单位：
表示此人将船停在海岸线上距点的距离.设 ,
，则 ( )
A.函数 为增函数
B.
C.当 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过
√
√
√
[解析] 对于A，由 ，
在定义域上单调递增，
可得 ，
则 在 上单调递减，故A错误；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， 由B可得
，
当且仅当 时，取得等号，
此时，即 ，故C正确；
对于D，当 时， ， ，即，故D正确.故选 .
13.[2026·湖北武汉调研] 为了响应节能减排号召，某地政府决定大
规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第 年年底光伏太阳能板的保有
量（单位：万块）满足模型，其中为饱和度，
为初始值， 为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有
量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为 ，饱和
度为1020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约___
万块.结果四舍五入保留到整数，参考数据： ，
，
36
[解析] 由题知,,, ，
则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量为
，
因为，所以 ，
所以2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块.
14.[2026·山东聊城期末] 已知某车厘子收购市场在过去的30天内对
车厘子的日收购量（单位：百斤）与第 天之间的函数解析式为
； ；
这三种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
第 天 6 10 22 28
日收购量/百斤 46 50 58 52
（1）请确定 的解析式，并说明理由；
解：将表格中数据,代入 中，得无解，舍去；
将表格中数据, 代入中，得解得 故，
经验证，, 也符合上式，
故 ；
由表格数据知，函数应该先增后减，③不满足，舍去.
综上所述， .
（2）若第天平均每斤车厘子的收购价格为 （单位：元），且
，且，记过去30天内第 天该市场
收购车厘子的资金总额为（单位：百元），求 的最小值.
解：因为， ，所以.
当 时, ，
因为，当且仅当 时取等号，所以；
当 时, ，其在区间上单调递减，,
因为 ，所以 .
知识聚焦
1.递增 递增 递增
课前演练
（1）× （2）√ （3）× （4）√ 1.B 2.506 3.1320
课堂考点探究
例1（1）D （2）AC 【对点演练1】（1）A （2）ACD 例2（1）B
（2）B 【对点演练2】（1）C （2）C 例3（1）D （2）4 【对点演练
3】（1）D （2）AC
教师备用习题
例1 D 例2 C 例3（1）树叶沙沙声的强度水平为，
耳语的强度水平为，恬静的无线电广播的强度
水平为.（2）的范围为.
夯实基础
1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.ABD 8.6 9.16
10.（1）这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元
（2） 当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.
综合提升
11. B 12. BCD 13. 36
14.（1）（2）

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