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第15讲 导数的概念及其意义、
导数的运算
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.导数概念及其意义
（1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了
解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会
导数的内涵与思想.
（2）体会极限思想.
（3）通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.导数运算
（1）能根据导数定义求函数,,,, ,
的导数.
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,
求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
（3）会使用导数公式表.
1.变化率与导数
（1）平均变化率：
概念 对于函数,比值 _____________叫作函数
从到 的______变化率
几何 意义 函数在区间 上对应的图象的两端点连
线所在直线的______
平均
斜率
◆ 知识聚焦 ◆
（2）函数在 处的导数：
概念 在 处 ,我们称常数 为函数
在_______处的导数,记作或
几何 意义 就是曲线在点处（也称在 处）的切线的______,其切线方程是______________________ ___ 物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率
斜率
（3）导函数
当时,是一个唯一确定的数.当变化时,就是 的
函数，我们称它为的导函数（简称导数）
的导函数有时也记作,即 .
2.导数的运算
函数名称 导函数 特例或推广
常用 导数 公式 常函数 为常数
幂函数 _______
三角函数 ______， _______ 偶（奇）函数的导数是
奇（偶）函数，周期函
数的导数是周期函数
指数函数 _______ ，且
函数名称 导函数 特例或推广
常用 导数 公式 对数函数 _ ____ ，且 ，
续表
名称 运算法则 推广
四则 运算 法则 加减 _____________
乘法 _______ _________________
名称 运算法则 推广
四则 运算 法则 除法
复合函数求 导 一般地，对于由函数和 复合而成的 函数，它的导数与函数 ， 的导数间的关系为________，即对 的导数等于对的导数与对 的导数的乘积
续表
常用结论
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周
期函数的导数还是周期函数.
2.函数的导数反映了函数 的瞬时变化趋势，其正负号
反映了变化的方向，其绝对值的大小反映了变化的快慢， 越
大，曲线在这点处的切线越“陡”.
3.两类切线问题的区别
（1）“过”与“在”：曲线“在点 处的切线”与“过点
的切线”的区别是前者为切点，而后者 不
一定为切点.
（2）“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，
而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.的图象与的图象相切于点； 的图象与
的图象相切于点 .
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）设，则，则趋近于0时，趋近于 ，
因此， .( )
√
[解析] 由导数的定义可知正确.
◆ 课前演练 ◆
（2）函数在处的导数值就是曲线在
处的切线的斜率.( )
√
[解析] 函数在处的导数值就是曲线在
处的切线的斜率，故正确.
（3）函数的导数为 .( )
×
[解析] ，则 ，故错误.
题组二 教材改编
1.若函数，则函数从到 的平均变化率
为( )
A.6 B.3 C.2 D.1
[解析] 因为,所以 ,，
故函数从到 的平均变化率为 .
故选B.
√
2.已知函数，则 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析]
.故选C.
√
3.下列求导运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选B.
√
4.曲线在 处的切线方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
所以曲线 在处的切线的斜率，
又当时， ，所以切线方程是 .
故选B.
√
探究点一 导数的概念
例1 [2026·福建福州期中]函数在 处可导，若
，则 ( )
A.1 B. C.3 D.
[解析] ，故 ，
由导数的定义可知， .
故选B.
√
总结反思
（1）函数应在 处有定义，否则导数不存在.
（2）在导数定义的极限式中， 趋近于0，可正可负，但不能为0，
而 可能为0.
【对点演练1】 [2025·山东日照联考]若 ，则
( )
A. B.4 C.2 D.
[解析] ,故选C.
√
探究点二 导数的运算
例2（1）下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，A错误.
，B错误.
，C错误.
，D正确.故选D.
√
（2）[2026·浙江杭州期中] 已知定义在上的连续函数 的导函数
，设，则 ______.
[解析] 由 ，
得 ，
所以 .
总结反思
（1）求函数的导数要准确把函数分解为基本初等函数的和、差、积、
商,再利用导数的运算法则求导数.
（2）在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记
准公式,避免运算错误.
（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【对点演练2】（1）下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，A错误；
对于B，，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选C.
√
（2）已知函数，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，
所以 ，得 .
故选C.
√
探究点三 导数的几何意义
题型1 求曲线的切线方程
例3（1）[2025·石家庄模拟]已知函数，则 的
图象在点 处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得 ，
则，
所以的图象在点 处的切线方程为，
即 .故选D.
√
（2）[2025·江苏扬州中学模拟] 已知函数 ，过原点作
曲线 的切线，则该切线的方程为_ ___________.
[解析] 设切点坐标为，由题得 ，
所以所求切线的斜率 ，
又切线过原点，所以，则，
故切点坐标为 ，切线斜率为，
所以该切线的方程为 .
题型2 求参数的值或取值范围
例4（1）[2026·湖南郴州三模]已知函数 ，若函数
在区间上的图象存在两条斜率之积为的切线，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
不妨设这两条切线的切点坐标分别为, ，
则.
若，则 恒成立，不符合题意，
所以，此时在 上单调递增，
解得,故实数的取值范围为 .故选D.
（2）[2025· 全国一卷] 若直线是曲线 的一
条切线，则 ___.
4
[解析] 方法一：因为，所以 ，
直线是曲线的切线，其斜率为2，
令 ，则，解得，
将代入切线方程 ，可得，
所以切点坐标为.
因为切点 在曲线上，
所以，即，解得 .
方法二：因为，所以，
设直线 与曲线的切点坐标为，
则 解得 .
题型3 两曲线的公切线
例5（1）与曲线和的公切线 垂直的直线方程可
以为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设与曲线相切于点，与曲线
相切于点，
设， ，则，，
所以， ，
解得
所以,即公切线 的斜率为1，
故与垂直的直线的斜率为 ，所以所求直线方程可以为 .
故选D.
（2）[2026·湖南名校联考]若直线为常数 是曲线
和曲线的公切线，则实数 的值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 方法一：令，，则 ，
设直线与曲线的切点坐标为 ，
则切线方程为，即 ，
又因为，所以解得
所以切线方程为 .
√
令，则，
设直线 与曲线的切点坐标为，
则 ，
又因为切点在直线 上，
所以，即，
由①②可得 ，所以，解得 .
方法二：设直线与曲线相切于点 ，与
曲线相切于点，
则 所以，所以，.
同理 所以，所以，
所以，所以 .故选B.
总结反思
（1）在求曲线的切线方程时,要注意两个“说法”:“求曲线在点 处的
切线方程”和“求曲线上过点的切线方程”,在点 处的切线,一定是以
点为切点,过点的切线,点可能不在曲线上,点 也不一定是切点.
（2）求过点的曲线 的切线方程的一般步骤:
第一步,设出切点 ;
第二步,写出曲线在点 处的切线方程,即
;
第三步,将点的坐标代入切线方程,求出 ;
第四步,将的值代入方程 ，即可得过点
的切线方程.#1.2.4
（3）解决两曲线的公切线问题通常有两种方法：
①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线也相切，列出关
系式求解；
②设公切线与曲线的切点为，与曲线
的切点为，则 .
（4）处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的
三个关系列出参数的方程（组）：①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；③切点在曲线上.
【对点演练3】（1）[2025·安徽江南十校联考] 曲线
在点 处的切线方程为___________.
[解析] 由题得，故，所以曲线在
点 处的切线方程为，即 .
（2）若曲线在点处的切线过原点 ，则
__.
[解析] 因为，所以，
所以曲线 在点处的切线方程为 ，
又切线过原点，所以，所以 .
（3）已知函数，，若直线是曲线
与曲线的公切线，则 的方程为___________.
[解析] 设直线与的图象相切于点，
又 ，所以切线的斜率为，
所以直线的方程为 ，即.
由 得 ，
，整理可得 .
令，其中，则，
由 可得，由可得，
所以在 上单调递减，在上单调递增，
所以，
故方程 的根为，
因此的方程为，即 .
【备选理由】例1是导数定义的应用问题，让学生真正理解导数定义
的本质.
例1 ［配合探究点一使用］若函数在 处可导，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得 .
故选B.
例2 ［配合探究点一、二使用］（多选题）[2026·重庆九校联考]一
个质量为的物体做直线运动，该物体的位移（单位： ）与时
间（单位：）之间的关系为 ，且
表示物体运动产生的动能，单位：； 表示物体的质
量，单位：；表示物体的瞬时速度，单位： ，则( )
A.该物体瞬时速度大小的最小值为
B.该物体瞬时速度大小的最小值为
C.该物体在第产生的动能为
D.该物体在第产生的动能为
√
√
【备选理由】例2是导数定义与物理知识相交汇的问题，意在提升学生的
实际应用能力.
[解析] 由题意得 ，
则该物体瞬时速度大小的最小值为 ，故A正确，B错误.
当时，，，
所以该物体在第 产生的动能为 ，故C错误，D正确.
故选AD.
例3 ［配合探究点二使用］已知函数的导函数为 ，且满足
，则 ( )
A. B.0 C. D.
[解析] ，所以，得 ，
则，所以 .
故选D.
√
【备选理由】例3为加强学生对函数的解析式中含有导数值且利用
导数运算求出导数值的能力.
例4 ［配合探究点三使用］[2025·江苏盐城期末]已知直线 为
与的图象的公共切线，则 的方程可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 设与图象的切点坐标为，与 图象的切点坐
标为，的方程为
，，的方程为，
又 ，的方程为
，， 直线的方程为 ，
√
【备选理由】例4考查公切线的应用.
又，的方程为
为 与的图象的公共切线，
①，，
由①得 ，两边取对数得，
，代入②中得，，
即，解得 或.
当时，，，的方程为；
当 时，，，的方程为.
根据选项可知 的方程可以为 .故选C.
作业手册
1.已知半径为的球的表面积为，当时， 的瞬时变化率
为( )
A.4 B. C.8 D.
[解析] 因为，所以，
故当时， 的瞬时变化率为 .
故选C.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.若函数满足，，
则 ( )
A. B. C.2 D.8
[解析] ，
，解得 ，
故选A.
√
3.[2025·福建福州质检]曲线在点 处的切
线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得 ，
则，
又 ，
所以切线方程为，即 ，
故选D.
√
4.[2026·安徽淮化期末]过点作曲线的切线，则 的斜
率为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 设切点坐标为，切线的斜率为， ，
则，由导数的几何意义得，
故切线 的方程为，
将 代入方程,得,解得,
则 .故选C.
√
5.[2025·山西运城期中]设的导函数为，曲线 在点
处的切线与直线垂直，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为曲线在点 处的切线与直线
垂直，
所以曲线在点 处的切线的斜率为，所以 .
故选C.
√
6.过坐标原点作曲线 的切线，若切线有且只有
一条，那么 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 设切点坐标为,由 ，
得，所以切线的斜率 ，
则切线方程为 ，
将原点的坐标代入可得 ，
因为切线有且只有一条，所以，解得或，
又，所以 ，故选D.
√
7.（多选题）[2026·河北保定六校联盟联考]下列求导运算不正确的
是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A中求导运算不正确.
，故B中求导运算正确
，故C中求导运算不正确.
，故D中求导运算不正确.
故选 .
√
√
√
8.若直线是曲线 的
一条切线，则实数 的值为___.
1
[解析] 设切点坐标为，
由 ，得，即.
令 ，则，故在上单调递增，
又 ，所以方程的解为，
故切点的坐标为 ，代入直线方程，得，
解得 .
9.[2026·江苏南京模拟] 已知函数 的图象与直线
相切，则实数 ___.
1
[解析] 设切点坐标为，，则 ，
切线方程为，即 ，
又因为函数的图象与直线相切，所以 ，
解得，故 .
10.[2026·辽宁抚顺联考] 已知是函数 的导函数，且
（1）求 ；
解：由题可知，
令，则 ，解得 .
因为，所以 .
（2）求曲线在点 处的切线与两坐标轴围成的三角
形的面积.
解：由（1）可知,，
则曲线 在点处的切线方程为，
即 ，
该切线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 ，
则所求三角形的面积为 .
综合提升
11.[2025·吉林通化期末]已知为奇函数，当 时,
，则曲线在点 处的切线方程
是( )
A. B.
C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 因为为奇函数，且当时, ，
所以当时,, ，
从而，
又，
所以曲线在点 处的切线方程是，
即 .
故选B.
12.[2026·广东深圳期末]若点是曲线 上任意一点，且
点到直线的距离的最小值为，则 的值为( )
A.0 B.4 C. D.4或
[解析] 由，求导得，
直线 的斜率为2，令，解得，
当时， ，故到直线的距离最小，
则，解得 或，
当 时，曲线与直线有交点，距离的最小值为0，舍去.
故选B.
√
13.[2025·福建福州福九联盟联考] 曲线与 的一
条公切线的方程为_____________________________.（只需写出其中
一条公切线的方程）
（或）
[解析] 方法一：令， ，
设公切线与的图象相切于点，与 的图象相切于
点，
因为， ，所以公切线的斜率，
所以公切线的方程为 或，
整理得 或，
所以 即
所以，解得或 ，
所以公切线的方程为或 .
方法二：由曲线与直线相切知，
曲线 与直线相切.
由曲线与直线 相切知，
曲线与直线相切，
所以直线为曲线 与 的公切线.
14.已知函数，且 .
（1）求 的值；
解：因为，
所以 ，
解得 .
（2）若曲线在点处的切线与函数 的
图象也相切，求 的值.
解：由（1）可得,则 ,则,
又，所以曲线在点 处的切线方程为
，即.
由 得，
由题意可得 ，解得或，
所以 的值为1或5.
【知识聚焦 】
1.（1） 平均 斜率 （2） 斜率
2.

【课前演练 】题组一 （1）√ （2）√ （3）× 题组二 1.B 2.C 3.B 4.B
课堂考点探究
例1B 对点演练1C 例2（1）D （2） 对点演练2（1）C （2）C
例3（1）D （2） 例4（1）D （2）4 例5（1）D （2）B
对点演练3（1） （2） （3）
教师备用习题
例1B 例2AD 例3D 例4C
夯实基础
1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.ACD 8.1 9.1
10.（1）（2）2
综合提升
11.B 12.B 13.（或）
14.（1）2 （2）1或5第三单元　导数及其应用
知识网络
第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算
【备选理由】 例1是导数定义的应用问题,让学生真正理解导数定义的本质;例2是导数定义与物理知识相交汇的问题,意在提升学生的实际应用能力;例3为加强学生对函数的解析式中含有导数值且利用导数运算求出导数值的能力;例4考查公切线的应用.
1 [配合探究点一使用] 若函数f(x)在x=x0处可导,则= ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f'(x0) B.f'(x0)
C.f'(x0) D.2f'(x0)
[解析] 由题得==f'(x0).故选B.
2 [配合探究点一、二使用] (多选题)[2026·重庆九校联考] 一个质量为4 kg的物体做直线运动,该物体的位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=t3-2t2+5t+1,且Ek=mv2(Ek表示物体运动产生的动能,单位:J;m表示物体的质量,单位:kg;v表示物体的瞬时速度,单位:m/s),则 ( AD )
A.该物体瞬时速度大小的最小值为1 m/s
B.该物体瞬时速度大小的最小值为2 m/s
C.该物体在第1 s产生的动能为16 J
D.该物体在第1 s产生的动能为8 J
[解析] 由题意得y'=t2-4t+5=(t-2)2+1≥1,
则该物体瞬时速度大小的最小值为1 m/s,故A正确,B错误.
当t=1时,y'=2,Ek=×4×22=8(J),所以该物体在第1 s产生的动能为8 J,故C错误,D正确.
故选AD.
3 [配合探究点二使用] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x2f'(2)+x,则f'(3)= ( D )
A.- B.0
C. D.-1
[解析] f'(x)=2f'(2)x+1,所以f'(2)=4f'(2)+1,得f'(2)=-,则f'(x)=-x+1,所以f'(3)=-1.故选D.
4 [配合探究点三使用] [2025·江苏盐城期末] 已知直线l为f(x)=ex-1与g(x)=ln x+1的图象的公共切线,则l的方程可以为 ( C )
A.y=x-1 B.y=x+1
C.y=ex-1 D.y=ex+1
[解析] 设l与f(x)图象的切点坐标为(x1,y1), l与g(x)图象的切点坐标为(x2,y2),l的方程为y=kx+b.∵f(x)=ex-1,∴f'(x)=ex,∴ l的方程为y-y1=(x-x1),又y1=-1,∴ l的方程为y=x-x1+-1.∵g(x)=ln x+1,∴g'(x)=,∴直线l的方程为y-y2=(x-x2),又y2=ln x2+1,∴ l的方程为y=·x+ln x2.∵ l为f(x)=ex-1与g(x)=ln x+1的图象的公共切线,∴=①,-x1+-1=ln x2②,由①得x2=1,两边取对数得ln(x2)=ln x2+x1=ln 1=0,∴ln x2=-x1,代入②中得,-x1+-1=-x1,即(-1)(1-x1)=0,解得x1=1或x1=0.当x1=0时,k=1,b=0, l的方程为y=x;当x1=1时,k=e,b=-1, l的方程为y=ex-1.根据选项可知l的方程可以为y=ex-1.故选C.

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