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第16讲 导数与函数的单调性
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次
的多项式函数的单调区间.
◆ 知识聚焦 ◆
函数的单调性与导数
导数 到单 调性 单调 递增 在某个区间内,如果,那么函数
在区间 内单调______
单调 递减 在某个区间内,如果,那么函数
在区间 内单调______
单调 性到 导数 单调 递增 若函数在区间 内单调递增,则在区间
内， _____
单调 递减 若函数在区间 内单调递减,则在区间
内， _____
递增
递减
常用结论
1.在某区间上是函数 在此区间上单调递增
（减）的充分不必要条件.
2.可导函数在 上单调递增（减）的充要条件是
，且在 的任何子区间上都
不恒为零.
求函数的单调区间时，需注意：（1）在函数定义域内讨论导数的符
号；（2）两个或多个单调递增（减）区间之间的连接符号，不用
“” ，可用“，”或用“和”.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果函数在上单调递增，那么一定有 在
上恒成立.( )
×
[解析] 若在上单调递增，则一定有在 上恒
成立，故错误.
（2）若函数的导函数在定义域上满足，则 在
定义域上一定单调递增.( )
×
[解析] 若，则，但 在其定义域
上不具有单调性，故错误.
（3）函数的单调递增区间为 .( )
√
[解析] 因为，所以函数 的单调递增区间
为 ，故正确.
（4）函数在 上是增函数.( )
√
[解析] 因为，所以函数在 上
是增函数，故正确.
题组二 教材改编
1.已知函数，则 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得的定义域为.
由 ，得，
所以的单调递增区间为 .故选B.
√
2.函数 的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为，.
令 ，解得，多取一个端点不影响单调性，
所以在 上单调递减.故选D.
√
3.已知函数，则“”是“在 上单调
递增”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ，若在上单调递增，则
恒成立，则即，
故“”是“在 上单调递增”的必要不充分条件.故选C.
√
4.（多选题）如图是函数的导函数 的图象，则
( )
A.在 上单调递增
B.在 上单调递减
C.在 上单调递增
D.在 上单调递减
√
√
√
[解析] 由题图知，当 时，
，当时， ，
当时，，当 时，
，
所以在 上单调递减，
在上单调递增，在 上单调递减，
在上单调递增.故选 .
探究点一 不含参数的函数的单调性
例1（1）函数 的单调递增区间是( )
A. B.，
C.， D.
[解析] 的定义域为，，
由 可得，即，解得，
因此 的单调递增区间为 .故选A.
√
（2）[2026·福建厦门泉州五校联考]函数 的单调递减
区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
由,得，所以的单调递减区间是 .故选A.
√
总结反思
确定不含参数的函数的单调性时可直接对函数 进行求导,并
求解,再分别得到和 时自变量的取值范围,
最终确定单调区间.
【对点演练1】（1）下列函数在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，的定义域为， 在
上单调递增，在 上单调递增，故A错误.
对于B，由，得，当时，,
所以 在上单调递减，故B错误.
对于C，由 ，得，当时，，
所以在 上单调递增，故C正确.
对于D，由，得 ,
则在上单调递减，在 上单调递增，故D错误.故选C.
（2）函数 的单调递减区间为( )
A. B.
C.和 D.和
[解析] 函数的定义域为， ，
令，得且，
故函数 的单调递减区间是和 .故选C.
√
探究点二 含参数的函数的单调性
例2（1）[2025·四川南充模拟]已知是定义域为 的函数，
，若对任意的，都有
成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若对任意的，都有 成立，
则，则 .
令，则在上单调递增，
当 时，，此时在上单调递增；
当时， 在上单调递增，所以，解得 ；
当时，在上单调递增，所以 ，解得
.
综上所述，实数的取值范围是 .故选D.
（2）已知函数，讨论 的
单调性.
解：函数的定义域为， ，
令，得.
当时，，在 上单调递增；
当时，，在 上单调递减.
总结反思
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点：
（1）研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响
进行分类讨论;
（2）划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数
为0的点.
【对点演练2】 [2025·福建三明联考] 已知函数 ,
，讨论 的单调性.
解：函数的定义域为， .
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当 时，由，得；由，得，
所以函数 在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数
在上单调递减，在 上单调递增.
探究点三 利用导数比较大小、求解不等式
例3（1）[2026·广东揭阳多校联考] 已知函数 ，若
，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
因为恒成立，所以函数在 上单调递增，
若，则得，即的取值范围为 .
故选A.
√
[解析] 函数 的定义域为，
.
由，得；由 ，得，
所以在 上单调递增，在上单调递减.
又，当时， ，所以函数的大致图象
如图①所示，轴不对应成比例 .
（2）[2025·江苏南京模拟]已知，若 ，
则，， 的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
√
当,,时，因为 单调递增，
所以由，得 ，
故A可能成立.
当,, 时，因为 单调递减，
所以由，得 ，故B可能成立.
如图②（x， 轴不对应成比例），当 时，
，故C可能成立；
当时，若 ，
则 ，不符合题意；
若，则 ，
不符合题意；
若 ，则 ，不符合题意；
若，则 ，不符合题意.
所以当 时， 不可能成立.故选D.
总结反思
（1）比较函数值的大小时,若自变量不在同一个单调区间内,则要利
用函数的性质,将其转化到同一个单调区间内,再进行比较.
（2）利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,
利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
（3）求解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造
函数;题目中存在与的不等关系时,常构造含 与另一函数
的积（商）的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调
性,从而求解不等式.
【对点演练3】（1）[2026·湖北黄冈模拟]已知函数
，若,, ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
，当且仅当，即 时等号成立，
而，，即在
上单调递增.
， ，即
.故选A.
√
（2）若，，，则，， 的大小关系为_____
______.（用“ ”连接）
[解析] 因为，， ，
所以令，，则，， ，
，
令，得，当 时，，
所以函数在 上单调递减，
因为，所以，即 .
探究点四 根据函数的单调性求参数的值或范围
例4（1）若函数 在其定义域内单调递增，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为， ，
因为函数在其定义域内单调递增，
所以 在上恒成立，即在 上恒成立，
因为，当且仅当 时，等号成立，
所以，
所以，即实数 的取值范围是 .故选B.
（2） 湖北黄冈模拟］已知 ，，
两个函数至少有一个在区间 上不单调，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数图象的对称轴为直线，
若 在上不单调，则，解得 ；
由，得，
若在 上不单调，则，解得 .
因为两个函数至少有一个在区间上不单调，
所以或 ，可得，
所以实数的取值范围为 .故选D.
总结反思
（1）由可导函数在区间 上单调递增（或单调递减）求参数的
取值范围问题,可转化为或对任意 恒成立问
题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意等号是否取到.
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是
或 在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
（3）已知在区间上的单调性,区间 中含有参数时,可先求出
的单调区间,令 是其单调区间的子区间,从而可求出参数的取值
范围.
【对点演练4】（1）[2026·湖南长沙长郡中学模拟]已知函数
在上单调递减，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得在 上恒成立，
则在 上恒成立.
因为，所以，
故实数 的取值范围是 .故选D.
√
（2）[2025·福建泉州一中模拟]若函数 在
上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数在 上存在单调递增区间，
所以存在，使 成立，即存在，
使成立.
令， ，变形得，
因为，所以，
所以当 ，即时，取得最大值，所以 ，故选D.
【备选理由】例1是不含参数的函数的单调性问题,函数的解析式中融
入了三角函数内容;
例1 ［配合探究点一使用］已知定义在区间 上的函数
，则 的单调递减区间是( )
A., , B.,和 ,
C.,, D.,和,
√
[解析] 由 ，
可得 .
当时，由，可得，解得, ；
当时，由，可得，解得, .
故在上的单调递减区间是,和, .故选D.
【备选理由】例2是利用函数的单调性解不等式问题，可提升学生的
数学抽象、直观想象能力和加强数学运算的核心素养;
例2 ［配合探究点三使用］已知函数及其导函数 的定义域
均为，且 是偶函数，
，则不等式 的解集为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
则当时， .
因为 ，
所以当时，，则函数在 上单调递增.
因为，所以 ，
又是偶函数，所以 ，
又函数在上单调递增，所以 ，
即，解得 .故选C.
【备选理由】例3是利用函数的单调性比较大小问题，综合性强;
例3 ［配合探究点三使用］已知函数 ,
,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，,
所以, .
当时，，则函数在, 上单调递减；
当时，，则函数在, 上单调递增.
√
因为，所以 .
令,，则 ，
即函数在上单调递减，
故，即 ，
所以.
因为函数在, 上单调递减，
所以，即 .故选D.
【备选理由】例4是已知函数的单调性求参数的问题,考查学生的
逆向思维能力;
例4 ［配合探究点四使用］函数
（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数 的取值
范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 的定义域为.若 为增函数，
则对任意 恒成立，
即对任意恒成立.
设， ，
则函数在趋于0时函数值趋于0，不满足条件；
若 为减函数，则对任意
恒成立，即对任意恒成立，
当 时，函数在趋于 时函数值趋于 ，不满足条件，
所以 .
令，则，
所以在区间, 上单调递增，在区间, 上单调递减，
所以，即 ，
所以，即，可得 .
故选B.
【备选理由】例5是已知函数存在单调区间求参数范围的问题,属于
存在性问题,综合性强.
例5 ［配合探究点四使用］[2026·北京人大附中期末]若函数
存在单调递增区间，则实数 的取值范围
是( )
A., B., C., D.,
√
[解析] 由题得 在
上有解，即在 上有解.
令，则 ，
所以当时，当时 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
所以实数的取值范围是 , .故选A.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知函数的定义域为, ，
令，得，解得，所以函数 的
单调递增区间为 .故选B.
√
2.[2026·河南南阳联考]已知函数在 上单调
递减，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
因为函数在上单调递减，
所以 在上恒成立，即在上恒成立，
而 ，则，即，则实数的取值范围为 .故选D.
√
3.[2025·江西景德镇期末]已知函数 的图
象如图所示，则不等式 的解集为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图得当或时， ,
当或时， .
不等式等价于或
解得或 ，
所以不等式的解集为 .故选A.
4.[2026·河北石家庄期末]已知函数，则, ,
的大小关系为参考数据：， ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函数的定义域为 ，
，
当时,；当 时,，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减，
则, ，
由，
所以，故 .故选A.
5.[2025·陕西咸阳模拟]已知函数 是
上的增函数，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
得，
因为是 上的增函数，所以在上恒成立，
即在 上恒成立.
当时，，此时 不恒成立，不满足题意；
当时，等价于在 上恒成立，则 .故选C.
√
6.若函数是定义在 上的增函
数，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若在上单调递增，则.
若在 上单调递增，则在 上
恒成立，即在上恒成立，
又当 时，取得最大值3，所以 ，
因为是定义在 上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为 .
故选B.
7.（多选题）若函数是区间
上的单调函数，则实数 的值可以是( )
A. B. C.3 D.4
√
√
√
[解析] ，
令,即，解得或 ，
当时，，函数单调递增；
当或 时，,函数单调递减.
因为函数 在区间 上单调，所以有以下两种情况：
当时,则解得 ；
当 时,则解得 .
结合选项，A，C，D正确，B错误.故选 .
8.[2026·广东深圳期中] 已知函数在 上单调
递减，则实数 的取值范围是_ ________.
[解析] 由，得 ，
因为函数在 上单调递减，
所以在上恒成立，即在 上恒成立.
设，，易得在 上单调递增，
所以，故，即实数的取值范围是 .
9.[2026·安徽芜湖师大附中期中] 已知函数 ，则
不等式 的解集为___________________.
[解析] 函数的定义域为，且 ，
因为，当且仅当，即 时取等号，
所以，所以在上是增函数，
因为 ，所以，
解得或 ，即原不等式的解集为 .
10.已知函数 .
（1）若函数的图象在点 处的切线与直线
垂直，求实数 的值；
解：函数的定义域为 ,
且，
由题知函数的图象在点 处的切线的斜率为6，
即，解得 .
（2）若，求函数 的单调区间.
解：若,则，其定义域为 ,
，
当 时,,单调递增；
当时,, 单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .
◆ 综合提升 ◆
11.已知函数，则,, 的大
小关系是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 因为函数的定义域为 ，且
，所以 是偶函数.
由题得，当时，令 ，
则，所以在 上单调递增，
所以，所以在 上单调递增.
，
又, ，，
所以 ，故选A.
12.（多选题）若函数在区间 上不单调，
则实数 的取值可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，因为在 上不单调，
所以函数在上存在变号零点.
设 , ，则，
则在 上单调递减，所以即
解得，则 的取值范围是.故选 .
√
√
13.已知函数，则 的解
集为_ __________________.
[解析] 函数的定义域为， ，
当时，，得,在 上单调递减，
当 时，，得,在上单调递增，
又 ，所以为上的偶函数，
故 等价于，即 ，
两边平方并整理得,解得或 ，
所以原不等式的解集为 .
14.已知函数 .
（1）若，求曲线在点 处的切线方程；
解：若，则，
故 ,则,
又，
所以曲线在点 处的切线方程为 .
（2）讨论 的单调性.
解： .
①当时，令，解得，令 ，解得
，
所以在上单调递增，在 上单调递减.
②当时，令，解得， ，
当时，令，解得或 ，
令，解得，所以在 ，
上单调递增，在上单调递减；
当 时, ,所以在上单调递增；
当 时，令，解得或，
令 ，解得，
所以在, 上单调递增,在上单调递减.
综上，当时, 在上单调递增，在上
单调递减；当 时,在，上单调递增，
在 上单调递减；当时,在上单调递增；
当时, 在，上单调递增，在
上单调递减.
【知识聚焦】递增 递减
【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）√ （4）√
题组二1.B 2.D 3.C 4.BCD
课堂考点探究
例1（1）A （2）A 【对点演练1】（1）C （2）C
例2（1）D （2）m>在上单调递增，在上单调递减.
【对点演练2】当时，函数在上单调递减；当时，函数在
上单调递减，在上单调递增.
例3（1）A （2）D 【对点演练3】（1）A （2） 例4（1）B
（2）D 【对点演练4】（1）D （2）D
教师备用习题
例1 D 例2 C 例3 D 例4 B 例5 A
夯实基础
1.B 2.D 3.A 4.A 5.C 6.B 7.ACD 8. 9.
10.（1）. （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综合提升
11. A 12. BC 13.
14.（1）曲线在点处的切线方程为.
（2）当时,在上单调递增，在上单调递减；
当时,在，上单调递增，在
上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在
，上单调递增，在上单调递减.第16讲　导数与函数的单调性
【备选理由】 例1是不含参数的函数的单调性问题,函数的解析式中融入了三角函数内容;例2是利用函数的单调性解不等式问题,可提升学生的数学抽象、直观想象能力和加强数学运算的核心素养;例3是利用函数的单调性比较大小问题,综合性强;例4是已知函数的单调性求参数的问题,考查学生的逆向思维能力;例5是已知函数存在单调区间求参数范围的问题,属于存在性问题,综合性强.
1 [配合探究点一使用] 已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递减区间是 ( D )
A.∪
B.和
C.∪
D.和
[解析] 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
当x∈(-π,0)时,由xcos x<0,可得cos x>0,解得x∈;
当x∈(0,π)时,由xcos x<0,可得cos x<0,解得x∈.
故f(x)在(-π,π)上的单调递减区间是和.故选D.
2 [配合探究点三使用] 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且F(x)=ex+2f(x+2)是偶函数,(x-2)[f'(x)+f(x)]>0,则不等式xf(ln x)A.(0,e3) B.(1,e3)
C.(e,e3) D.(e3,+∞)
[解析] 由(x-2)[f'(x)+f(x)]>0,得x[f'(x+2)+f(x+2)]>0,
则当x>0时,f'(x+2)+f(x+2)>0.
因为F'(x)=ex+2f(x+2)+ex+2f'(x+2)=ex+2[f(x+2)+f'(x+2)],
所以当x>0时,F'(x)>0,则函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为xf(ln x)又F(x)=ex+2f(x+2)是偶函数,所以F(|ln x-2|)又函数F(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|ln x-2|<1,
即-13 [配合探究点三使用] 已知函数f(x)=x2-2-ln x,a=f(ln),b=f,c=f,则 ( D )
A.aC.c[解析] 因为f(x)=x2-2-ln x,x>0,所以f'(x)=2x-=,x>0.
当0当x>时,f'(x)>0,则函数f(x)在上单调递增.
因为ln-==<=0,所以0令g(x)=,x≥e,则g'(x)=≤0,
即函数g(x)在[e,+∞)上单调递减,故g(3)所以0所以f(ln)>f>f,即c4 [配合探究点四使用] 函数f(x)=axln a-aln(x-1)(其中a>0,且a≠1)是其定义域上的单调函数,则实数a的取值范围为 ( B )
A.[e-e,1)∪(1,+∞) B.[e-e,1)
C.[e-1,1) D.(0,e-1]
[解析] f(x)的定义域为(1,+∞).若f(x)为增函数,则f'(x)=ax(ln a)2-≥0对任意x∈(1,+∞)恒成立,即(x-1)ax-1≥对任意x∈(1,+∞)恒成立.设G(t)=tat,t>0,则函数G(t)在t趋于0时函数值趋于0,不满足条件;若f(x)为减函数,则f'(x)=ax(ln a)2-≤0对任意x∈(1,+∞)恒成立,即(x-1)ax-1≤对任意x∈(1,+∞)恒成立,当a>1时,函数G(t)在t趋于+∞时函数值趋于+∞,不满足条件,所以05 [配合探究点四使用] [2026·北京人大附中期末] 若函数f(x)=ln x+ax-4存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 ( A )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得f'(x)=++a-=-+a>0在(0,+∞)上有解,即a>-+在(0,+∞)上有解.令g(x)=-+,则g'(x)=+=-=,所以当x∈(0,e4)时g'(x)<0,当x∈(e4,+∞)时g'(x)>0,所以g(x)在(0,e4)上单调递减,在(e4,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e4)=-+=-,所以实数a的取值范围是.故选A.

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