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第17讲 导数与函数的极值、最值
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；对于多项
式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值.
3.体会导数在研究单调性、极大（小）值、最大（小）值中的作用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.函数的极值与导数
（1）函数的极小值：
对于函数,若函数在点处的函数值 比它在
点附近其他点处的函数值都小,,而且在点 附近的
左侧__________,右侧__________,则___叫作函数 的极小值
点,_____叫作函数 的极小值.
（2）函数的极大值：
对于函数,若函数在点处的函数值 比它在
点附近其他点处的函数值都大,,而且在点 附近的
左侧__________,右侧__________,则___叫作函数 的极大值
点,_______叫作函数 的极大值.
2.函数的最大值与最小值
（1）如果在区间上函数 的图象是一条连续不断的曲线,
那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在区间 内的______;
②将函数 的各极值与端点处的函数值__________比较,其中
最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
极值
,
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果
回答实际问题.
4.几个常见函数#4
解析式 大致图象 单调区间 极值点
单调递增区间为 ； 单调递减区间为
单调递增区间为 ； 单调递减区间为,
单调递增区间为 ； 单调递减区间为
单调递增区间为 ； 单调递减区间为
解析式 大致图象 单调区间 极值点
单调递增区间为 ； 单调递减区间为,
单调递增区间为 ； 单调递减区间为
续表
常用结论
1.对于可导函数，是函数在 处有极值的必
要不充分条件.
2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间 内只
有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
3.对于连续的函数，在区间上， 的极值有可能
是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值.#4.1.1.3
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在区间 上不存在最值.( )
×
[解析] 在区间 上的最小值为0，故错误.
（2）对于可导函数，若，则为 的极值点.( )
×
[解析] 若，则，则 ，但0不是
的极值点，故错误.
（3）函数 一定有极大值和极小值.( )
×
[解析] ， 不存在极大值和极小值，故错误.
（4）函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.( )
√
[解析] 由极值与最值的定义可知正确.
题组二 教材改编
1.函数 的极大值为( )
A. B.0 C. D.1
[解析] 由题可得，
令，得 ，令，得，
所以当时，函数 取得极大值 .故选D.
√
2.若函数在处取得极值1，则
( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为，所以 ，
由题可知解得 经检验满足题意，
所以 ，故选D.
√
3.函数的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
A.在 处取得最大值
B.在区间 上单调递减
C.在 处取得极大值
D.在区间 上有2个极大值点
√
[解析] 由导函数的图象可知：
0 - 0 非负
极大值 极小值
易知A，B，D中说法不正确，C中说法正确.
故选C.
4.函数在上的最大值为4，则 的值为
( )
A.7 B. C.3 D.4
[解析] ，，
当时，， 单调递减，
当时，，单调递增.
，，，
在 处取得最大值，即 ，故选D.
√
探究点一 利用导数解决函数的极值问题
题型1 由图象判断函数极值（点）
例1 已知函数的导函数的图象如图所示，那么 ( )
A.有1个极大值和1个极小值
B.有1个极大值，没有极小值
C.有1个极小值，没有极大值
D.没有极大值也没有极小值
√
[解析] 由导函数的图象，设的图象与
轴的交点的横坐标分别为, ，
则当时，当且仅当 时
，当时，，
所以 在上单调递减，在上单调递增，
所以在 处取得极小值，没有极大值.故选C.
题型2 求已知函数的极值（点）
例2 已知函数的图象在点 处的切线
方程为 .
（1）求实数 的值；
解：由题得，则，
又 ,所以函数的图象在点处的切线方程为
，即，所以，
解得，故实数 的值为1.
（2）当时，求函数 的极值.
解：由（1）可知， ，
当时，令，得或 ，
当变化时，和 的变化情况如下表：
[ ) ( ]
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时， 的极大值为
，
极小值为
.
题型3 已知极值（点）求参数
例3（1）已知函数有极值点，则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知，
因为函数 有极值点，所以在上存在
变号零点，
若 的图象的对称轴方程，即，则在 上
单调递增，则，不符合题意；
若 的图象的对称轴方程，即，
则，即 ，得，
则实数的取值范围为 .故选D.
（2）[2025· 全国二卷] 若是函数
的极值点，则 ____.
[解析] 因为 ，
所以，
由题意知 ，即，所以，
所以 ,
.
当变化时，， 的变化情况如下表：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故当时，为的极值点，满足题意，所以 .
例4 [2024· 新课标Ⅱ卷] 已知函数 .
（1）当时，求曲线在点 处的切线方程；
解：当时，， ，
所以, ，
所以切线方程为,即
（2）若有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围.
解： .
①当时,恒大于0，即在上单调递增， 无极小值，
舍去.
②当时，在上单调递减，在 上单调递
增，所以在 处取得极小值，
依题有,所以 .
令,则在上单调递增，且 ，
所以，故的取值范围是 .
总结反思
1.由图象判断函数 的极值，要抓住两点：
（1）由的图象与轴的交点,可得函数 的可能极值点；
（2）由导函数的图象可以看出 的值的正负，从而
可得函数 的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数 极值（极值点个数）的一般步骤：
（1）确定函数 的定义域;
（2）求导函数 ;
（3）解方程 ,求出函数定义域内的所有根;
（4）检验在的根 左右两侧值的符号;
（5）求出极值（极值点个数）.
3.根据函数极值情况求参数的两个要领：
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解.
（2）验证：求解后验证根的合理性.
【对点演练1】（1）设函数在 上可导，其导
函数为，且函数 的图象如图
所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.有极大值 B.有极小值
C.有极大值 D.有极小值
√
[解析] 由题图知当时， ；
当时，；
当 时，，
函数在 上单调递增，在上
单调递减，在 上单调递减，
有极大值 ，无极小值，故选A.
（2）[2025·山东潍坊调研]已知函数在 处
取得极值，则 ( )
A. B. C.5 D.9
[解析] 由，得 ，
因为在处取得极值，所以
解得经检验满足题意，故 .故选D.
√
（3）已知函数 .
①当时，求 的单调区间；
解：当时，，其定义域为 ，且
，
令，解得或 （舍去），即，
当时， ；当时， ，
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为
.
②讨论 极值点的个数.
解：的定义域为，由题意知， .
当时，，所以在上单调递增，即 极值点的个数为0；
当时，令， ，可得，
易知 ，解得（舍去），，
即，则 ，
所以当时，，即在 上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即 极值点的个数为1.
综上，当时, 极值点的个数为0；当时, 极值点的个数为1.
探究点二 利用导数求解函数的最值问题
例5 已知函数 .
（1）若，求函数 的单调区间和最值；
解：由题意得，的定义域为，
若 ，则,.
当时， ，当时，，
所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为，
函数的最大值为 ，无最小值.
（2）当时，求函数在 上的最小值.
解：由题意得，的定义域为， .
令，解得 .
当时， ，当时， ，
则的单调递增区间为，单调递减区间为 .
①当，即时，在 上单调递减，
则 .
②当，即时，在 上单调递增，
则 .
③当，即时，在上单调递增，
在 上单调递减，则, .
， ，
当，即时， ；
当，即时， .
综上所述，当时，；当 时，
总结反思
求函数最值的步骤:
（1）求函数的导函数 ;
（2）求 在给定区间上的单调性和极值;
（3）求 在给定区间上的端点值;
（4）将的各极值与的端点值进行比较,确定 的最大值与
最小值.
【对点演练2】 [2026·山东青岛期中] 已知函数 .
（1）若，求 的单调区间；
解：当时， ，，
令，解得或 .
当变化时，和 的变化情况如表所示：
0 4
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为
.
（2）求在区间 上的最大值.
解：，
令，解得 或 .
当时，若，则，所以在区间 上单调递
增，此时 ；
当时，若，则，所以 在区间
上单调递增，
若，则，所以在区间 上单调递减，
此时 ；
当时，若，则，所以在区间
上单调递减，此时 .
综上所述，当时， ；
当时，；
当 时， .
【备选理由】例1、例2是已知极值点个数求参数问题；
例1 ［配合探究点一使用］若函数 有两
个不同的极值点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得 ，
则关于的方程在 上有两个不同的实数根，
即关于的方程在 上有两个不同的
实数根.
√
令，则 ，
所以关于的方程在 上有两个不同的实数根.
令， ，
则在上单调递增，且在上的取值范围为 ，
在上单调递减，且在 上的取值范围为 ，
所以实数的取值范围是 .故选A.
例2 ［配合探究点一使用］已知函数 恰有两个极
值点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意 ，若函数
恰有两个极值点，则只需关于 的方程 有两个不同的根，
显然不是方程的根，所以关于的方程 有两个不同的根.
令，则.
√
当 时，，单调递减；
当 时，，单调递减；
当 时，，单调递增.
极大值 ，又当且时，，
当时，，当且时，，
当时，，
所以 的大致图象如图所示.
结合图象可得，若原函数有两个极值点，则 .故选B.
【备选理由】例3考查利用导数解决实际问题，意在提升数学建模的
核心素养.
例3 ［配合探究点二使用］某商场在“五一”劳动节期间，要对某商
品进行调价，已知该商品的每日销售量 （单位：千克）与销售价格
（单位：百元/千克）满足，其中 ，该商品
的成本为1百元/千克．
（1）将该商场每日销售该商品所获利润 （单位：百元）表示为
销售价格 的函数；
解：由题意得， .
（2）当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多
少？（参考数据：，， ）
解：， .
设， ，则，
因为 ，所以 ，所以函数在， 上单调递增.
又 ，所以当时，，
所以，所以在， ）上单调递减；
当时，，所以，所以在， 上单调递增.
又 ，
，
，
所以当销售价格（百元/千克）时，利润最大；当销售价格
（百元/千克）时，利润最小.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·江西上饶联考]函数 的极小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，令，得 ，
当时,,故在 上单调递减；
当时,,故在 上单调递增，
所以的极小值为 .故选D.
√
2.[2025·江苏南京期中]已知的导函数
的图象如图，则 的极大值点为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图知当或 时，
，当时， ，
当且仅当时，，
所以在, 上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为 .故选D.
√
3.函数在区间 上的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
，，即，
在 上单调递增，
.故选D.
√
4.[2026·河北承德联考]已知函数在 上存在
极值，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得，
因为在 上存在极值，所以在上有变号零点，
所以方程 有两个不同的实数根，故，
解得或 .故选C.
√
5.已知函数恰有一个极值点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得，当时,在 上恒成
立，不存在极值点，不符合题意，舍去；
所以，令 ，得，
当时,；当 时,，
恰好有一个极小值点，符合题意，
故 的取值范围是 .故选C.
√
6.已知函数在区间上的最小值小于 ，
则正数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，当时,
在上单调递增,的最小值为 ，不符合题意；
当时,在上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 ，
由题得，解得 .故选A.
√
7.（多选题）[2025·福建福清一中模拟]已知函数
仅在处取得极值，则实数 的值可以是
( )
A.1 B.2 C. D.3
[解析] 函数的定义域为 ，
，
因为仅在 处取得极值，所以有唯一根，
√
√
√
因为 存在变号零点，故存在唯一零点或
不存在零点，即 的图象与直线仅在 处存在唯一
交点或不存在交点，
，由，得；由，得 ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
则，故，即实数的取值范围是 .
故选 .
8.[2026·广东揭阳联考] 已知函数 ，若2是
的极小值点，则 ___.
3
[解析] 由2是的极小值点可知 ，
由，得 ，
则，解得.
当 时,,，
易知在 上单调递减，在上单调递增，
所以2是 的极小值点.
9.[2026·湖北黄冈模拟] 若函数在区间 上
的取值范围为，则 的取值范围为_ _____.
[解析] 因为 ，
所以，
当或时， ，当时，，
所以在， 上单调递增，在上单调递减，
且, , ，
因为在区间上的取值范围为 ，所以，
解得，此时 , ，
又 ，所以，则 .
10.已知函数 .
（1）求曲线在 处的切线方程；
解：依题意,，则，又 ,
所以所求切线方程为，即 .
（2）求在区间 上的取值范围.
解：，当 时，
令,得,故在上单调递减，
令 , 得,故在上单调递增，
而, , ，
所以在区间上的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·河南南阳六校联考]已知定义在上的函数 ，其导函数
的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.
B.函数在处取得极小值，在 处取
得极大值
C.函数在处取得极大值，在 处取
得极小值
D.函数的最小值为
√
[解析] 由题图可知，当或 时,
；当时,，
所以 在和上单调递增，
在 上单调递减，故函数在 处
取得极大值，在处取得极小值，故B错误，C正确；
因为在 上单调递增，，所以，
故A错误；
因为在 上单调递减，，所以 ，
故D错误.故选C.
12.[2026·安徽安庆期末]已知函数 的图象在
处的切线与直线平行，且在区间 内存在最小值，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，由题意得 ，
解得，所以, ，
令得或，令得，
故 在上单调递减，在，上单调递增，
√
所以 在 处取得极小值， ，
令，即 ，变形得
，即，故 或
，即，
若在区间 内存在最小值，则
解得，故实数 的取值范围是 .故选C.
13.已知函数在 处取得极大值，则实数
的值为__.
[解析] 由题意得 ，
则，解得或.
当 时，令，
解得 或，
当时,,单调递减，当 时,,
单调递增，所以在 处取得极小值，不符合题意；
当时，令，解得 或，
当时,,单调递增，当
时,,单调递减，
所以在 处取得极大值，符合题意.故的值为 .
14. 八省联考］已知函数 .
（1）设,，求曲线 的斜率为2的切线方程；
解：当,时,，其中 ，
则，
令，即 ，化简得，
解得 （负值舍去），
又，所以所求切线方程为 ，即
.
（2）若是的极小值点，求 的取值范围.
解：由题可得的定义域为 ,，
因为是 的极小值点，所以，
则，则 .
若，令，得 ，令，得，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
则是的极大值点，不满足题意.
若 ，令，得，令，得
，所以在上单调递增，在,上单调递减，
则 是的极大值点，不满足题意.
若，则 ,所以在 上单调递减，
无极值，不满足题意.
若，令，得，令 ，得
，所以在上单调递增，在, 上单调递减，
则是的极小值点，满足题意.
综上，的取值范围为 .
【知识聚焦】1.（1） （2） 2.极值 ,
【课前演练】 题组一（1）× （2）× （3）× （4）√ 题组二 1.D 2.D 3.C 4.D
课堂考点探究
例1C 例2（1） 的值为1.（2）的极大值为，极小值为.
例3（1）D （2） 例4（1） （2）的取值范围是.
【对点演练1】（1）A （2）D （3）①的单调递增区间为，单调递减区间为.
② 当时，极值点的个数为0；当时，极值点的个数为1.
例5（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值.
（2） 当时，；当时，
【对点演练2】（1） 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2） 当时，；当时，；当时，.
教师备用习题
例1A 例2 B 例3（1） ，.
（2）当销售价格（百元/千克）时，利润最大 当销售价格/m>（百元/千克）时，利润最小.
夯实基础
1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.ABC 8.3 9.
10.（1）所求切线方程为.
（2）在区间上的取值范围为.
综合提升
11.C 12.C 13.
14.（1）所求切线方程为.
（2）的取值范围为.第17讲　导数与函数的极值、最值
【备选理由】 例1、例2是已知极值点个数求参数问题;例3考查利用导数解决实际问题,意在提升数学建模的核心素养.
1 [配合探究点一使用] 若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,2) B.(0,1)
C.(-∞,1) D.(2,+∞)
[解析] 由f(x)=-ax2+4x-2ln x,得f'(x)=-ax+4-=,
则关于x的方程-ax2+4x-2=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,
即关于x的方程a==-2+2在(0,+∞)上有两个不同的实数根.
令t=,则t∈(0,+∞),
所以关于t的方程a=-2(t-1)2+2在(0,+∞)上有两个不同的实数根.
令g(t)=-2(t-1)2+2,t∈(0,+∞),
则g(t)在(0,1)上单调递增,且g(t)在(0,1)上的取值范围为(0,2),
g(t)在(1,+∞)上单调递减,且g(t)在(1,+∞)上的取值范围为(-∞,2),
所以实数a的取值范围是(0,2).故选A.
2 [配合探究点一使用] 已知函数f(x)=e-2x+ax2恰有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,-e) B.(-∞,-2e)
C.(-2e,0) D.(-∞,-2e)∪(0,+∞)
[解析] 根据题意f'(x)=2ax-2e-2x ,若函数f(x)=e-2x+ax2恰有两个极值点,则只需关于x的方程2ax-2e-2x=0有两个不同的根,显然x=0不是方程的根,所以关于x的方程a=有两个不同的根.令g(x)=,则g'(x)=.当-0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x<-时,g'(x)>0,g(x)单调递增.极大值g=-2e,又当x>0且x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→0,当x<0且x→0时,g(x)→-∞,当x→-∞时,g(x)→-∞,所以g(x)的大致图象如图所示.
结合图象可得,若原函数有两个极值点,则a<-2e.故选B.
3 [配合探究点二使用] 某商场在“五一”劳动节期间,要对某商品进行调价,已知该商品的每日销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:百元/千克)满足y=+,其中≤x≤,该商品的成本为1百元/千克.
(1)将该商场每日销售该商品所获利润f(x)(单位:百元)表示为销售价格x的函数;
(2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时,销售价格分别是多少 (参考数据:e2≈7.389,≈4.482,≈12.182)
解:(1)由题意得f(x)=(x-1)·=+ex,≤x≤.
(2)f'(x)=-+ex=,≤x≤.
设g(x)=ex(x-1)2-e2,≤x≤,
则g'(x)=ex(x-1)2+ex·2(x-1),因为≤x≤,所以g'(x)>0,
所以函数g(x)在上单调递增.
又g(2)=e2-e2=0,
所以当≤x<2时,g(x)<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在上单调递减;
当20,所以f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增.
又f=2e2+≈2×7.389+4.482≈19.26,
f(2)=2e2≈2×7.389≈14.78,
f=e2+≈×7.389+12.182≈17.11,
所以当销售价格x=(百元/千克)时,利润最大;当销售价格x=2(百元/千克)时,利润最小.

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