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微专题3 构造函数问题模型
微点一
微点二
微点三
微点四
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 利用与 构造函数
例1（1）[2026·广东深圳质检]已知函数及其导函数 的定义
域均为，若，且 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，因为 ，
所以，所以在上单调递增.
又 ，所以，
因此不等式 可化为，
所以，解得 ，
即不等式的解集为 .
故选B.
（2）[2025·河北邯郸模拟]已知函数是定义域为的奇函数
的导函数，当时，，且 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，则，
由题意知,当 时,,所以在上单调递增,
因为 为奇函数,所以是偶函数,故在 上单调递减.
因为,所以,故.
当 时,不等式可化为,则,
因为 在上单调递增,所以.
因为在 上为奇函数,所以,则当时,满足.
当 时,不等式可化为,则，
因为在 上单调递减，所以.
综上，的解集为 .故选C.
总结反思
一般地,若已知的符号,则构造函数 ;
若已知的符号,则构造函数 ;
若已知的符号,则构造函数;
若已知 的符号,则构造函数 .
【对点演练1】（1）[2025·山西朔州模拟]已知函数是定义在 上
的偶函数，其导函数为 ，且当时， 恒
成立，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，因为函数是定义在 上的偶函数，
所以也是定义在 上的偶函数.
可得，
因为当 时，恒成立，
所以当 时，恒成立，
则在 上单调递增，
又是定义在上的偶函数，所以在 上单调递减.
原不等式为 ,
即，所以 ，可得，
则 .
故选B.
（2）定义域为的函数满足对任意 ，都有
，且当时， ，则
,, 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 因为对任意,都有 ,所以,
则,所以 是周期为4的周期函数.
构造函数 ,则,
所以在区间 上单调递增,
所以,即,
因为 是周期为4的周期函数,
所以,, ,
故,所以 .
故选A.
微点二 利用与 构造函数
例2（1）[2026·安徽皖北联盟联考]已知定义域为的函数 满足
，且，则不等式 的解集
是 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，则 ，
由题意知，所以在上单调递减.
因为 ，
所以不等式可化为，即 ，
所以，解得，
所以不等式 的解集为 .
故选D.
（2）[2025·广东中山模拟] 已知定义在上的函数 的导函数为
，，且对任意的， 恒成立，则不等式
的解集是________.
[解析] 令，则 ，
所以在上单调递减.
因为，所以 .
不等式可变形为，即，可得 ，
故不等式的解集为 .
总结反思
一般地,已知的符号时,构造函数 ;
已知的符号时,构造函数 .
【对点演练2】（1）[2026·江苏扬州期中] 已知定义在 上的函数
的导函数为，且恒成立, ，则
不等式 的解集为________.
[解析] 令函数,由 ,得,
所以函数在上单调递减.
由 ，可得，
不等式可化为 ，即，解得，
所以不等式的解集为 .
（2）[2025·安徽池州调研] 已知定义域为的函数 的导函数为
，若,，则不等式 的
解集为________.
[解析] 不等式可变形为 ，
设函数 ，
则 ，
因为，所以在上恒成立，
则在 上单调递增.
因为，所以，
所以不等式 即为，
由在上单调递增，可得 ，即不等式的解集为 .
微点三 利用与,与 构造函数
例3（1）已知函数满足对任意的 ，
恒成立，是 的导数，则下列不等
式中成立的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，则 ，
由题意得，当时，恒成立，
则在 上单调递增.
对于A，由，得 ，
所以，可得 ，可知A正确；
对于B，由，得，所以 ，
可得，可知B错误；
对于C，由 ，得，
所以，可得 ，可知C错误；
对于D，由，得，
所以 ，可得 ，可知D错误.
故选A.
（2）已知是定义在上的函数， 是它的导函数，且恒
有 成立，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知在 上恒成立，
即在上恒成立.
设 ，，则，
所以 为增函数.
可得，则，D正确；
，则，C错误；
，则 ，B错误；
，则 ，A错误.故选D.
总结反思
破解此类问题的关键：
一是熟悉函数与， 相结合构造可导函数的几种常见
形式：
（1）， ；
（2）， ；
（3）， ；
（4）， .
二是活用单调性，利用导函数的符号，判断函数的单调性，再利用
函数的单调性，即可解不等式或比较大小.
【对点演练3】（1）已知是定义在上的函数， 是它的
导函数，且恒有 成立，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令, ,则,
由题意知，所以 在上单调递增.
对于A，可得，即 ，
所以，故A错误.
对于B，可得 ，即，
所以 ，故B错误.
对于C，可得，即，
所以 ，故C错误.
对于D，可得，即 ，
所以 ，故D正确.故选D.
（2）[2025·河北保定联考] 定义在上的函数满足
且，则满足的 的取值范围
为_ _____.
[解析] 设函数，，则 ，
由题意知，所以在 上单调递增.
，当时， ，
所以不等式可化为，即，
又在 上单调递增，所以，即所求取值范围为 .
微点四 同构法构造函数
例4（1）[2025·江苏南京期末]已知实数， 满足
，则下列关系式一定正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可知，
设， ，则，
由,得，所以在 上单调递增.
因为，,，所以 .
故选D.
√
（2）（多选题）[2026·江西南昌模拟]已知, ，且
，则下列关系式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由，得， .
设函数，,得，
则在 上单调递增,原不等式即为，
可得 ，即，故A，C正确.
取,，则 成立，但 ，
，故B，D错误.
故选 .
总结反思
破解此类问题的关键
一是熟悉同构法的三种基本模式:
（1）乘积型,如可以同构成 ,进而构造函
数 ;
（2）比商型,如可以同构成 ,进而构造函数
，再如可以同构成 ,进而构造函数
;
（3）和差型,如,同构后可以构造函数
或 .
二是利用导数判断函数的单调性，即可得结果.
【对点演练4】（1）[2026·福建泉州质检] 已知对任意的正实数 ,
，满足当时， 恒
成立，则实数 的取值范围为_________.
[解析] 由 ，
得，即 .
令函数，依题意得，对任意的正实数, ,
当时, 恒成立,因此函数在上单调递减,
所以 在上恒成立,则在上恒成立,
易知 等价于，所以实数的取值范围为 .
（2）[2025·安徽皖江名校联考] 若正实数，满足 ，
则 的最大值为__.
[解析] 由可得 ，
则.
记 ，则，
所以当时，，当时， ，
故在上单调递增,在 上单调递减,从而,
结合式可得，从而 .
记，则 ，
所以当时，，当时，，
故在 上单调递增，在上单调递减，
所以，即 的最大值为 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若实数,满足，，则“”是“ ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由题意设，对其求导得 ，
则当时,，所以在 上单调递增.
充分性：因为，所以，即 ，
移项得,所以“”可推出“ ”,充分性成立.
必要性：因为，所以 ，即，
又,且在 上单调递增，所以，
所以“”可推出“ ”，必要性成立.
因此，“”是“ ”的充分必要条件.
故选C.
2.已知是定义域为的函数 的导函数，满足，
且，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则.
因为 ，所以，则在上单调递增.
由题意知 ,又,即,所以,
又在 上单调递增，所以 ，故选C.
√
3.若定义在上的函数的导函数为 ，且满足,
，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,所以 ,所以.
令,则,所以函数在 上单调递增.
因为，所以 .
原不等式等价于，即，所以 ，
所以不等式的解集是 .
故选A.
4.[2025·广东深圳实验学校检测]已知是定义在 上的奇函数,
，当时， 恒成立，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 构造函数，则 ，
因为当时，恒成立，
所以当时， 恒成立，所以在上单调递增.
因为是定义在 上的奇函数，
所以，所以 是偶函数，
则当时，单调递减.
又因为，所以 ,则.
不等式等价于,
所以当 时，可得，则；
当时，可得 ，则.
所以不等式的解集是 .
故选A.
5.[2026·山东泰安模拟]已知函数是奇函数，是函数 的
导函数，对于任意的， 恒成立，
则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令函数,，
由函数 是奇函数，得，
所以函数 是偶函数，求导得，
因为对于任意的 ,恒成立，
所以对于任意的 ，恒成立，
所以函数在 上单调递增，在上单调递减.
对于A，由 ，得，
化简得 ，A错误；
对于B，由，得，化简得 ，B错误；
对于C，由，得，
化简得 ，C正确；
对于D，由，得 ，
化简得 ，D错误.
故选C.
6.[2026·河南郑州模拟]已知，，则 的最大值
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由,，可得， ，
令,，可得，
所以在 上单调递增，
因为，所以，即 ，则.
令，可得 ，
则当时，，单调递增；
当时， ，单调递减.
所以，所以的最大值为 .故选C.
7.若 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，可得，令 ，
则，所以在 上单调递增，
又,,所以存在 ,使,
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以在上不是单调函数，无法判断与 的大小，
√
故选项A，B错误.
设，可得，
当 时，，所以在 上单调递减，
又因为，所以，即 ，
所以 ，所以C不正确，D正确.
故选D.
8.（多选题）是定义在上的奇函数.当 时,
恒成立，则下列说法中正确的是( )
A.令函数，则在 上单调递增
B.
C.
D.
[解析] 因为 ，
所以 ，
得不到在 上恒大于0，故A选项错误.
√
√
构造函数,则 ，
因为当时，恒成立，
所以在 上恒大于0，则在上单调递增，
所以 ，所以，所以 ,
故B选项正确.
因为,所以 ,故C选项正确.
因为是奇函数，所以，
又 ，所以,
即 ,故D选项错误.
故选 .
◆ 综合提升 ◆
9.[2026·福建厦门期中] 已知对任意 ，不等式
恒成立，则 的最小值是__.
[解析] 不等式 即，
两边同乘 得 ，
即.
构造函数 ，
则有对任意 恒成立，.
设，则 ，
所以当时，；当时，.
则 在上单调递减，在上单调递增，
则 ，即，故得在上单调递增,
则由可得 对任意恒成立，得，
即 对任意恒成立.
令，则 ，
所以当时，；当时，.
故在 上单调递增,在上单调递减,则.
故，即 的最小值是 .
10.已知是定义域为的函数，且满足 ,
，则不等式 的解集是________.
[解析] 设，，
对 求导可得.
因为,所以 ,可得为常数.
因为，所以 ，
对求导，可得 ，
因为，所以 ，
所以， .
令，，
对 求导得，
因为，所以 ，所以在 上单调递增，
则.
所以，所以 在上单调递增.
不等式,即 ,,
所以由可得 ，
故不等式的解集是 .
微点一 例1（1）B （2）C
对点演练1（1）B （2）A
微点二 例2（1）D （2）
对点演练2（1） （2）
微点三 例3（1）A （2）D
对点演练3（1）D （2）
微点四 例4（1）D （2）AC
对点演练4（1） （2）
夯实基础
1.C 2.C 3.A 4.A
5.C 6.C 7.D 8.BC
综合提升
9. 10.

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