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拓展1 双变量问题的求解策略
方法一
方法二
方法三
方法四
答案核查
1.一般地，解决双变量问题的常见方法有分离变量法（构造法）、
换元法、主元法等，最终目的就是要进行减元.
2.极值点偏移
（1）极值点偏移的定义：函数在区间 内只有一个极
值点，方程的解分别为,，且 .①若
，则函数在区间上的极值点 向左偏移，简称
极值点左偏移；②若，则函数在区间 上的极
值点向右偏移，简称极值点 右偏移.
（2）极值点偏移的图示及应用
若“单峰”函数的极值点为 ，则极值点偏移问题的图示及
函数值的大小关系（可用于证明方程或不等式）如下.
极值点 函数值的大小关系 图示
极值点不偏移
极值点 偏移 左偏移 峰口向上：
极值点 函数值的大小关系 图示
极值点 偏移 左偏移 峰口向下：
右偏移 峰口向上：
峰口向下：
续表
方法一 直接消元
例1 已知 .
（1）若，求曲线在点 处的切线方程；
解：当时，，可得 ，
,则 ，
所以曲线在点处的切线方程为 ，
即 .
（2）若函数存在两个不同的极值点， ，求证：
.
证明： ，令，得，
令，则 ，方程①可化为，
则, 是方程②的两个不同的正根，
所以解得 .
由根与系数的关系得, ，
则 ，
所以 .
令，则 ，
所以函数在 上单调递减，
所以 ，所以 .
方法总结
若能获得两个变量之间的关系，或能用一个变量表示另一个变量，
则可进行直接消元.
方法二 分离变量法
例2 已知函数，其中 .
（1）求 的单调区间；
解：的定义域为，且 .
令，得 .
当变化时，与 的变化情况如表所示.
- - 0
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递增区间为，单调递减区间为 和 .
（2）当且时，判断与 的大小，
并说明理由.
解：令，则 .
设，，则 .
所以当时，；当时， .
所以在上单调递减，在 上单调递增.
从而，即 ，
所以的单调递增区间为和 .
可得当时，，
则 ，即 ；
当时，，
则 ，即 .
综上，当且时， .
方法总结
本题将与之间的关系转化为 与
之间的关系，这使得变量与 分别出现在不等式的两边，
呈现出不等式左右两边形式一致的对称关系，然后构造相应的函数，
如本题构造 ，通过讨论所构造函数的单调性得到结
论.这种方法常见于两个变量之间不存在直接关系的题型中.
方法三 比值（或差值）消元
例3 已知函数， .
（1）若函数在上单调递增，求 的取值范围；
解：因为， ，所以， .
因为函数在上单调递增,所以 , 恒成立,
所以， 恒成立.
当时,因为,当且仅当 时取等号,
所以 ,即实数的取值范围为 .
（2）设，求证： .
证明：设，则不等式可化为， ，
两边取自然对数得，即， .
由（1）可知，当时，在 上单调递增，
又 ，所以当时，，即 成立，
所以原不等式成立.
方法总结
若待证明的代数式中的两个变量最终可整理为比值（或差值，也可
能是和或积）的形式，则可进行整体换元，换元后要注意新元的取
值范围.
方法四 极值点偏移
例4 已知函数,其导函数 的最大值为0.
（1）求实数 的值；
解：由题意知，函数的定义域为 ，
其导函数 ，
记，则 .
当时，恒成立，所以在 上单调递增，
又 ，所以当时，，
故 时不符合题意.
当时，若，则；
若 ，则 .
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
令，则 .
当时，；当时，.
所以在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，故 .
（2）若，证明： .
证明：当时，，则 .
由（1）知 恒成立，
所以在 上单调递减.
因为，所以 ，
不妨设，则易得 .
欲证，只需证，
因为在 上单调递减，所以只需证，
又因为 ，
所以只需证，即证 .
令，易得 ，
所以欲证，只需证, .
, ，
令，则， ，
所以在区间 上单调递增，
所以 ，
所以函数在区间 上单调递减，
所以，故 .
方法总结
求解极值点偏移问题的一般步骤：
（1）求极值点：利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确
定函数的极值点 .
（2）构造函数：如要证结论 ，则可以构造函数
，通过研究 的单调性获得不等式.
（3）比较大小：判断在某段区间上的正负，并得出 与
的大小关系.
（4）转化：利用函数的单调性，将与 的大小关
系转化为与 之间的关系，进而得到所证或所求.
方法一 例1（1） （2）证明略
方法二 例2（1） 单调递增区间为, 单调递减区间为和
（2）m>.理由略
方法三 例3（1） （2）证明略
方法四 例4（1）1 （2）证明略

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