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素养导向 解题指引——函数与导数
例1 [2025· 全国二卷] 已知函数 ，
其中 .
（1）证明：在区间 上存在唯一的极值点和唯一的零点.
[切入点:把在上存在唯一的极值点转化为求 ，判断
其零点个数问题]
（2）设,分别为在区间 上的极值点和零点.
（ⅰ）设函数，证明:在区间 上
单调递减；[突破点:证明
（ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论.[关键点:比较 ,
的大小]
［思路分析］
（1）对求导得 ，构造函数，求，判断 的单调性和函数值情况，从而可得到的单调性，即可证明在 上存在唯一的极值点.
由的单调性及，当 时， ，
可证明在 上存在唯一的零点.
（2）由（1）得，从而，
对 求导，化简整理得，
由, ,可得，所以在 上单调递减.
由得,结合可得，
由 的解析式可得,结合,得到 ,
根据的单调性即可得到 .
［步骤拆解］
［得分秘籍］破解此类题关键：
一是会求导，证明极值点个数、零点个数和单调性问题，
一般借用导数，判断函数的单调性，即可得证；
二是会构造，当导数的符号不容易判断时，常分离出易判断符号的因式，
利用余下的因式构造函数，再利用导数，即可判断新构造的函数的符号，
从而得到原函数的导数的符号；
三是会分析，对于比较大小问题，会利用分析法探路，把要比较的两个
变量的大小转化为函数值的大小问题，从而转化为判断函数的单调性
问题.

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