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知识网络
第19讲 任意角和弧度制与
三角函数的概念
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类 按旋转方向分为______、______和零角;按终边位置分为
________和轴线角
终边相 同的角 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,构成的角的集合
是 , }或______________________
正角
负角
象限角
,}
2.象限角
3.轴线角
4.弧度制
定义 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫作1
弧度的角，记作
角度与弧度的换算 ，______
弧长公式 弧长
扇形面积公式 _______
半径长
5.任意角的三角函数
（1）定义:设 是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
,则,,.
（2）三角函数值在各象限内的符号如图所示.
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
常用结论
1.若,则 .
2.角 , 的终边相同
角 , 的终边关于原点对称
角 , 的终边关于轴对称
角 , 的终边关于轴对称
角 , 的终边关于直线对称 ,.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )
×
[解析] 如 和 的终边相同，但这两个角不相等.
（2）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是 .( )
×
[解析] 将表的分针拨快5分钟，角的旋转方向为顺时针方向，
所以分针转过的弧度是 .
（3）三角形的内角不一定都是第一、第二象限角.( )
√
[解析] 三角形的一个内角是 时，该角不是第一、第二象限角.
（4）第一象限角都是锐角.( )
×
[解析] 令 ，显然 是第一象限角，但不是锐角.
题组二 教材改编
1.将 化为弧度数为( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
2.下列与 角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
[解析] 与 角终边相同的角的集合为 ,
，令,得 .
√
3.如图所示，终边在阴影部分（含边界）内的角的集合为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 终边在阴影部分内且在第一象限及 轴正半轴上的角的集合为
；
终边在阴影部分内且在第三象限及 轴负半轴上的角的集合为
.
所以所求角的集合为 .
4.已知的圆周角所对的弧长为 ，则这个圆的半径为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知弧所对的圆心角为 ，
则由扇形的弧长公式可知，这个圆的半径 .故选D.
√
探究点一 象限角及终边相同的角
例1（1）[2026·辽宁葫芦岛模拟]与 终边相同的一个角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以与 终边相同的一个角为 ，
又因为 ， ， 都不能写成 ,
这种形式，所以 ， ， 与 的终边不相同.
故选A.
√
（2）图①中阴影部分表示角 的终边所在的位置，则角 的集合
为_______________________________________;图②中阴影部分表
示 的终边所在的位置，则角 的集合为
______________________________________________.
,
,}
[解析] 角 的集合为 ,
,
,
,
,}.
角 的集合为 , }.
总结反思
（1）利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角,方法是先写
出与这个角终边相同的所有角的集合,然后对集合中的参数
赋值,进而可得要求的角.
（2）确定 , 的终边位置的方法
先用终边相同的角的形式表示出角 的范围,再写出 或 的范围,
然后根据的可能取值确定 或 的终边所在的位置.
【对点演练1】（1）角 的终边与 角的终边关于轴对称，
则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 角的终边与 角的终边关于 轴对称，
所以 .故选D.
√
（2）[2026·北京中国人大附中期中]已知集合
， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 若,，则, ，
所以
若,,则, ,所以.
因为, 表示所有奇数，,表示部分奇数，
所以 .故选B.
√
（3）若 是锐角，那么是第____象限角；若 是第一象限角，那
么 是第________象限角.
一
一或三
[解析] 若 是锐角,则,所以,故 是第一象限角；
若 是第一象限角，则 ， ,
所以 ,，故 是第一或三象限角.
探究点二 扇形的弧长、面积公式
例2（1）[2025·湖南邵阳模拟]已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的母线长为，可得底面圆的周长为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为 .故选D.
√
（2）[2026·河北衡水模拟]已知某扇形的圆心角为 ，面积为25，
则该扇形所在圆的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该扇形的半径为，
因为该扇形的圆心角为 ，面积为25，，
所以，所以 .故选C.
√
总结反思
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
（1）当求扇形面积的最大值时,常转化为求二次函数的最值问题.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理利用圆心角所在的三
角形或扇形.
【对点演练2】（1）纸折扇是我国古代传统的
工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，
然后将扇骨叠起，其下端头部固定（可以绕轴
旋转），其余则展开可看作扇形，扇形上糊纸，
A. B. C. D.
作为扇面，并在扇面上题诗作画.示意图如图所示，已知折扇两端的扇
骨长均为且夹角为 ，扇面（糊纸的部分）的上弧长 与下弧长
之比为 ，则扇面的面积为( )
√
[解析] 由题意知，大扇形（上弧所在扇形）半径为 ，
则小扇形（下弧所在扇形）半径为，
所以上弧长为 ，下弧长为 ，
所以扇面的面积为 .故选B.
（2）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮
相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转.主
动轮有32齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为
240转/分，被动轮的半径为 ，则被动轮
圆周上一点每转过的弧长是______ .
[解析] 由题意知，主动轮的转速为4转/秒，
则被动轮圆周上一点每1秒转过的角度的大小为 ，
所以所求弧长为 .
探究点三 三角函数的定义及其应用
题型1 三角函数的定义
例3（1）在平面直角坐标系中，设角 的顶点与原点 重合，始
边与轴的非负半轴重合，终边经过点， ，
则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 由题意可得 ，
则，可得 .故选B.
√
（2）[2026·福建福州质检]以坐标原点为顶点， 轴非负半轴为始边
的角 ，其终边落在直线 上，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 角 的终边落在直线上,则当角 的终边在第一象限时，
终边过点，此时，， ，
；
当角 的终边在第三象限时，终边过点，
此时， ，，
.故选C.
（3）[2025·北京卷] 已知 , ，且
， ，写出满足条件
的一组_________________， _ ________________.
（答案不唯一）
（答案不唯一）
[解析] 因为， ，
所以 , 的终边关于轴对称，且不与 轴重合，
故 ,且, ，
即,，故取, 可满足题设要求.
题型2 三角函数值的符号判定
例4（1）函数 的值域是( )
A.,0,1, B.,0, C., D.,
√
[解析] 由题意可知角的终边不能落在坐标轴上.
当角 的终边在第一象限时,；
当角 的终边在第二象限时,；
当角 的终边在第三象限时,；
当角 的终边在第四象限时, .
因此函数的值域为, ，故选C.
（2）[2026·陕西咸阳联考]“”是“角 为第二象限角”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当角为第二象限角时,, ,则；
反之，当时，, 或,，
则角 为第二象限角或第四象限角.
所以“”是“角 为第二象限角”的必要不充分条件.故选B.
√
总结反思
已知角 的终边上一点的坐标,先求为坐标原点 ,再用三角函
数的定义求三角函数值;已知角 的三角函数值,也可以通过解方程求
出点 的坐标.
三角函数值的符号以及角所在象限的判断可结合图象和三角函数的
定义直观分析,不必硬记符号法则.有参数时要注意分类讨论.
【对点演练3】（1）[2025·黑龙江六校联合体模拟]若 且
同时成立，则 是( )
A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角
[解析] 因为，，所以 ，
所以 是第三象限角.故选B.
√
（2）[2026·浙江金华三模]点绕原点按逆时针方向旋转
到达点，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，
令角 的终边过点，则 的终边过点 ，
且，
于是, ， ，
，
所以点的坐标为 .故选B.
√
（3）若角满足,，则角 为( )
A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角
[解析] 由,可得,则 为第一象限角,
则,,可得, .
当,时,,,即 为第一象限角；
当,时,,,即 为第三象限角.
综上，角 为第一或第三象限角.故选D.
√
（4）（多选题）若角 的终边经过点 ，则下列结论
正确的是( )
A. 是钝角 B. 是第二象限角
C. D.点 在第四象限
[解析] 因为,所以点在第二象限,可得 是第二象限角,
但不一定是钝角，B正确，错误；
，C正确；
易知，，则点 在第二象限，D错误.
故选 .
√
√
【备选理由】例1考查利用单位圆直观比较三角函数值的大小，
给我们解决三角函数值问题提供了一个新的角度；
例1 ［配合探究点三使用］应用单位圆证明：若， ，则
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 ，，为坐标原点，
过点作 轴,垂足为,过点A作轴,与射线交于 ,连接，
由题意得， ，
因为 ，
所以 ，
所以，即 .
例2 ［配合探究点三使用］已知 ，那么下列说法正确
的是( )
A.若 ， 是第一象限角，则
B.若 ， 是第二象限角，则
C.若 ， 是第三象限角，则
D.若 ， 是第四象限角，则
√
【备选理由】例2考查利用单位圆直观比较三角函数值的大小，
给我们解决三角函数值问题提供了一个新的角度；
[解析] 设为坐标原点,,角, 的终边分别与单位圆交于,,
角,的终边所在直线分别交过且与 轴垂直的直线于，
过，分别作轴的垂线，垂足分别为 .
对于A,若是第一象限角,且 ，
如图①所示，则， ，
，，
因为 ，所以，所以，
所以 ，所以A错误；
对于B，若 ， 是第二象限角，且 ，
如图②所示,则, ,,，
因为 ,所以,所以,则 ，
所以 ,所以B错误；
对于C，若 ， 是第三象限角，且 ，
如图③所示,则, ,, ，
因为 ，所以，所以 ，
则，所以 ，所以C错误；
对于D，若 ， 是第四象限角，且 ，
如图④所示,则, ,,，
因为 ,所以则所以 ，
所以D正确.故选D.
例3 ［配合探究点一、三使用］[2025·内蒙古呼和浩特期末]在
中，为钝角，则点 在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 在中，因为为钝角，所以 为锐角，
则，，所以点 在第四象限.故选D.
√
【备选理由】例3考查角及三角函数的符号；
例4 ［配合探究点一、三使用］已知命题 为锐角；命题
且.则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当 为锐角时，且；
当 且时， 为第一象限角，此时 不一定为锐角.
所以是 的充分不必要条件.故选A.
√
【备选理由】例4考查角及三角函数的符号；
例5[配合探究点二使用][2026·广西河池模拟]某市有一个圆形花圃,
现要均分成24块,种植24种不同的花卉,工匠计划将花圃按图①的方式分割.
先将花圃均分成8块,再按照图②的方式将每个花圃的 圆心角为的扇形
近似地均分成三块(三部分面积近似均等),从弧的中点 出发,左右对称分割,
已知图②中,,,则的长度最接近
, ( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例5是新情境问题，是近几年高考的热点问题.
[解析] 设,因为 ,
所以 ， ，
又 ，
所以，
所以 .故选B.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知扇形的半径为，弧长为 ，则此扇形的圆心角（正角）
的弧度数是( )
A. B. C. D.2
[解析] 设此扇形的圆心角为 ，
由扇形的弧长公式 可得 ，故选B.
√
2.从午夜零时算起，钟表的时针和分针一天内重合的次数为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
[解析] 一天的24小时中，时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是 ，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟表的时针和分针一天内会重合22次，故选C.
√
3.已知点在角 的终边上，且，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，结合，得 ，故选B.
√
4.[2026·广东广州期末]已知命题，命题 的终边位于
第三象限或第四象限，则是 的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时,
角的终边位于第三象限、第四象限或 轴的负半轴上,
而当 的终边位于第三象限或第四象限时， ,
所以且，所以是 的必要不充分条件.故选A.
√
5.已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线 按
逆时针方向运动后到达点，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知圆的半径为1,点 位于第二象限,且，
则点的纵坐标为 ，横坐标为 .故选A.
√
6.[2026·安徽芜湖二模]已知角 和角 的顶点在坐标原点，始边均
与轴的非负半轴重合，终边关于直线对称，则
( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 由题意可得 ，
则 .故选C.
√
7.（多选题）已知 ，则( )
A. 是第一象限角
B.
C.与 终边相同的最大负角是
D.在内与 终边相同的角只有1个
√
√
[解析] 对于A，B，，
因为 是第三象限角,所以是第三象限角,且,故A错误,B正确；
对于C,D,与 终边相同的角,,
取,得最大负角为 ，故C错误；
取可得，故D正确.故选 .
8.[2026·河北保定模拟] 设 是第二象限角， 为其终边上一点，
且，则 _ ____.
[解析] 由题得,
， ,解得，
又 是第二象限角， ， .
9.[2025·广东东莞模拟] 如图，单位圆被点 ,
, ,分为12等份，其中，角 的
始边与 轴的非负半轴重合，若
,则角 的终边与单位圆交于
点________.（从,, ， 中选择，写出
所有满足要求的点）
或
[解析] 由题意知， .
因为 与相差，
所以 与 的终边与单位圆的交点之间间隔一个点.
又，
所以 的终边与 的终边关于轴对称，
所以角 的终边与单位圆的交点为或 .
10.如图，单位圆与轴正半轴的交点为，点,在圆上，且点
在第一象限，点 在第二象限.
（1）若所对的弧长为 ，求图中阴影部分的面积；
解：设为 ，所对弧长为 ，阴影部分的面积为 .
因为圆的半径，，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）设 ,，当，点
的纵坐标为时，求 的值.
解：设 ，由题意知 ，
于是， ，
又 ，
所以 .
◆ 综合提升 ◆
11.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑
数百年来让无数观赏者入迷.某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像
作品进行了测绘，将画中女子的下嘴唇近似看作一段圆弧，在嘴角
，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点 ，测得
， ，则《蒙娜丽莎》中女子下嘴唇的长度约
为（单位： ）( )
A.12 B. C.8 D.
√
[解析] 如图，设圆弧所在圆的圆心为 ，则易知，
又 ，所以，即 为正三角形，
所以半径，
则弧的长度 . 故选B.
12.（多选题）[2025·陕西咸阳模拟]下列结论中正确的有( )
A.
B.若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
C.终边落在直线上的角的集合是
D.已知点在第四象限，则角 的终边在第二象限
√
√
√
[解析] 对于A，由 ，得, ，
所以，A正确；
对于B，设该扇形的半径为 ，因为该扇形的圆心角为，面积为，
所以，可得 ，
所以该扇形的弧长为 ，B正确；
对于C,终边落在射线上的角的集合
，
终边落在射线 上的角的集合
，
所以终边落在直线 上的角的集合是
，C错误；
对于D，由点在第四象限得,，
故角 的终边在第二象限，D正确.故选 .
13.受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖
点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为 ，
把的各边分别向两个方向延伸长度为 的一
段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个
3
内角所对的圆弧的半径均为 ，内角的对顶角所对的圆弧的半径均
为 ，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为
，周长为 ，则 ___.
[解析] 由题意可得圆弧六边形的面积
①，
圆弧六边形的周长 ，
即 ，联立①②，
可得，，所以 .
14.[2026·河南南阳六校联盟体期中] 已知某扇形的周长是8.
（1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角 的大小；
解：设该扇形的半径为，弧长为 ，则，
当且仅当 时，等号成立，
则该扇形的面积，所以 ，
则该扇形的面积最大时，其圆心角 .
（2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积.
解：由（1）知， .
则两半径与圆心角所对弦构成的三角形的面积为
，
所以所求弓形的面积为
【知识聚焦】1.正角 负角 象限角 ,} 4.半径长
【课前演练】（1）× （2）× （3）√ （4）× 1. D 2. D 3. A 4. D
课堂考点探究
例1（1）A （2） ,
,} 【对点演练1】（1）D
（2）B （3）一 一或三 例2（1）D （2）C 【对点演练2】（1）B
（2） 例3（1）B （2）C （3）（答案不唯一） （答案不唯一）
例4（1）C （2）B 【对点演练3】（1）B （2）B （3）D （4）BC
教师备用习题
例1 证明略 例2 D 例3 D 例4 A 例5 B
夯实基础
1. B 2. C 3. B 4. A 5. A 6. C 7. BD 8. 9.或
10.（1） （2）
综合提升
11. B 12. ABD 13. 3 14.（1） （2）第四单元　三角函数与解三角形
知识网络
第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念
【备选理由】 例1、例2考查利用单位圆直观比较三角函数值的大小,给我们解决三角函数值问题提供了一个新的角度;例3、例4考查角及三角函数的符号;例5是新情境问题,是近几年高考的热点问题.
1 [配合探究点三使用] 应用单位圆证明:若α∈,则sin α<α证明:如图,设角α的终边与单位圆交于点P,A(1,0),O为坐标原点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,过点A作AT⊥x轴,与射线OP交于T,连接AP,由题意得sin α=MP,tan α=AT,
因为S△POA所以OA·MP<α·OA2所以MP<α2 [配合探究点三使用] 已知tan α>tan β,那么下列说法正确的是 ( D )
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则sin α>sin β
C.若α,β是第三象限角,则cos αD.若α,β是第四象限角,则sin α>sin β
[解析] 设O为坐标原点,A(1,0),角α,β的终边分别与单位圆交于M,N,角α,β的终边所在直线分别交过A且与x轴垂直的直线于P,Q,过M,N分别作x轴的垂线,垂足分别为M1,N1.
对于A,若α,β是第一象限角,且tan α>tan β,如图①所示,则tan α=AP,tan β=AQ,cos α=,cos β=,因为tan α>tan β,所以AP>AQ,所以OP>OQ,所以cos α对于B,若α,β是第二象限角,且tan α>tan β,如图②所示,则tan α=-AP,tan β=-AQ,sin α=M1M,sin β=N1N,因为tan α>tan β,所以-AP>-AQ,所以AP对于C,若α,β是第三象限角,且tan α>tan β,
如图③所示,则tan α=AP,tan β=AQ,cos α=-OM1,cos β=-ON1,因为tan α>tan β,所以AP>AQ,所以M1M>N1N,则OM1cos β,所以C错误;
对于D,若α,β是第四象限角,且tan α>tan β,
如图④所示,则tan α=-AP,tan β=-AQ,sin α=-M1M,sin β=-N1N,因为tan α>tan β,所以APsin β,所以D正确.故选D.
3 [配合探究点一、三使用] [2025·内蒙古呼和浩特期末] 在△ABC中,B为钝角,则点P(cos A,tan B)在 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[解析] 在△ABC中,因为B为钝角,所以A为锐角,
则cos A>0,tan B<0,所以点P(cos A,tan B)在第四象限.故选D.
4 [配合探究点一、三使用] 已知命题p:θ为锐角;命题q:sin θ>0且cos θ>0.则p是q的 ( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 当θ为锐角时,sin θ>0且cos θ>0;当sin θ>0且cos θ>0时,θ为第一象限角,此时θ不一定为锐角.所以p是q的充分不必要条件.故选A.
5 [配合探究点二使用] [2026·广西河池模拟] 某市有一个圆形花圃,现要均分成24块,种植24种不同的花卉,工匠计划将花圃按图①的方式分割.先将花圃均分成8块,再按照图②的方式将每个花圃的近似地均分成三块(三部分面积近似均等),从弧AC的中点B出发,左右对称分割,已知图②中DE=DF,EB=FB,BD=AD=CD=r,则DE的长度最接近 ( B )
A.r B.r
C.r D.r
[解析] 设DE=DF=x,因为BD=AD=CD=r,所以S扇形ADC=πr2,
S四边形DEBF=×S扇形ADC=πr2,
又S四边形DEBF=S△EDB+S△DFB=×sin×ED×DB×2=rxsin,
所以rxsin=πr2,所以x=≈≈r.故选B.

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