资源简介 (共74张PPT)第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课前基础巩固课堂考点探究教师备用习题作业手册答案核查【听】答案核查【作】【课标要求】1.理解同角三角函数的基本关系式:, .2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切）◆ 知识聚焦 ◆1.同角三角函数的基本关系式（1）平方关系:_________________.（2）商数关系:_ ____________________________.,2.诱导公式公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六角终边与角 终边 的关系 相同 关于原 点对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于直线 对称正弦公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六余弦 _______正切 ______口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限续表注意：诱导公式指的是角与角 的三角函数关系，简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“ ”中的 是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“”中，将 看成锐角时，“”的终边所在的象限.常用结论1.和（差）积互化变形： .2.弦切互化变形： ，， ，其中 .◆ 课前演练 ◆题组一 易错辨析判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）（1） 成立的条件是 为锐角.( )×[解析] 当 为任意角时， 均成立，故错误.（2） 或 , .( )×[解析] 当为偶数时 或 ，故错误.（3）已知,,则的值为 .( )×[解析] ， ，，又 ， ， ，故错误.题组二 教材改编1.若 是第四象限角,且,则 ( )A. B. C. D.[解析] 因为 是第四象限角，所以 ，又，，所以 ,所以 .故选C.√2.若,则 ( )A. B. C. D.[解析] 由,可得 ,故 ,故选D.√3.若,则 __.[解析].探究点一 同角三角函数的基本关系题型1 知一求二、弦切互化例1（1）若 是第三象限角，且，则( )A. B. C. D.√[解析] 由已知可得，代入可得，解得或，是第三象限角，，则 ，，故选B.（2）（多选题）[2026·广东广州联考]已知 ,，则( )A.若，则B.若，则C.若，则D.的取值范围为√√√[解析] ，两边平方整理可得 ，由，得.对于选项A，若，则 ，所以，故A正确；对于选项B，若 ，则，，可知 , 分别为方程的正根和负根，又因为的根为, ，所以,，故B正确；对于选项C，若 ，则 ，可得，且 ，，可知，所以 ，故C正确；对于选项D，取，则 ，故D错误.故选 .（3）[2026·江苏泰州调研] 已知，且 ，则 _ ____.[解析] 将两边平方，可得 ，解得,又,所以 ,，故 , 分别为方程 的正根和负根，由，解得 或，则 .题型2 齐次式例2（1）[2025·广东惠州调研]已知，则( )A. B. C. D.3[解析] 由，得 .故选A.√（2）[2025·云南昭通一模] 已知，则 ___.[解析] 由,得 ，则 ,所以 .总结反思1.利用同角三角函数的基本关系式“知一求二”的方法2.对于 ， ， 这三个式子，知一可求二，若令，则 ，（注意根据 的范围选取正、负号）,体现了方程思想的应用.3. 利用“齐次化切”求齐次式值的方法（1）若齐次式为分式，如 ，可将分子与分母同除以 ，将分式的分子与分母化为关于 的式子，代入 的值即可求解；（2）若齐次式为二次整式，如，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用 替换，再将分子与分母同除以，化为只含有 的式子，代入 的值即可求解.【对点演练1】（1）[2025·四川绵阳诊断]已知 ，则的值为( )A. B.3 C.9 D.81[解析]，故选C.√（2）已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，终边经过点，则 ( )A.3 B. C. D.[解析] 由三角函数的定义可得 ，所以 .故选C.√（3）[2026·河北衡水期中]已知， ，则( )A. B. C. D.[解析] 由题意得 ，则，所以 ，又且，所以， ，所以，故 .故选A.√探究点二 三角函数的诱导公式例3（1）[2026·福建莆田质检]已知，则( )A. B. C. D.[解析] .故选C.√（2）（多选题）已知角 的终边经过点 ，则( )A. B.C. D.[解析] 由题意得, ,，从而 ,.故选 .√√总结反思1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数 任意正角的三角函数内的角的三角函数 内的角的三角函数.2.诱导公式的两个应用（1）求值：负化正，大化小，化到锐角（或零角）为终了.（2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了.使用诱导公式过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的正确使用,注意奇偶是指什么,符号是看谁的符号.【对点演练2】（1）[2025· 山东烟台诊断]已知 ，则( )A. B. C. D.2[解析] 原式 故选C.√（2）[2026·黑龙江哈尔滨模拟] 已知 是第一象限角，且，则 _____.[解析] 由题意可得 ，则.因为 是第一象限角，所以， ，则 ，，所以，则 ,所以 .探究点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例4 [2025·山东济宁质检] 已知.（1）化简 ；解：由题意得（2）若 是第三象限角，且，求 .解：因为，所以 .又 为第三象限角，所以 ，所以 .总结反思破解诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用问题的关键:一是熟记诱导公式,正确对三角函数进行化简;二是注意“切化弦、弦化切”的应用;三是“知正弦求余弦”或“知余弦求正弦”时需注意角的取值范围,明确“负号”的取舍.【对点演练3】 [2025·贵州遵义联考] 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点， 轴的非负半轴为始边作角 与 ，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点, ，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点， 的面积是面积的 .（1）求 , 的值；解：因为在单位圆上，且 位于第一象限，所以且，解得 ，所以 ，所以， .（2）求 的值.解：因为的面积是的面积的 ，所以 ，又，所以，即 ，又，所以 ，解得或 （舍去）.所以 .【备选理由】例1考查同角三角函数的基本关系，并涉及基本不等式的应用；例1 ［配合探究点一使用］[2025·山西运城模拟]若 ,, ，且，则当 取最大值时， 的值为( )A. B. C. D.√[解析]由,,且 ,得,,则 .注意到，其中, ，当且仅当时等号成立，所以 ，所以，当且仅当，即 时等号成立，所以当 取最大值时， 的值为 .故选B.例2 ［配合探究点三使用］“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点, ,,的面积分别为,, ，则.设是锐角三角形 的垂心，且，则 _____.【备选理由】例2都属于新情境问题，是高考的热点问题；[解析] 如图，延长，交于点，延长 ，交于点，延长，交于点 ，故,, .因为 ，所以由“奔驰定理”得 ，则，即，设 ，则 .同理，即 ，设，则 .由，得，即 ,所以 ,所以,所以 ，又 ，所以 ，所以 ，则 .例3 ［配合探究点二使用］已知，其中 .若函数，，，则（结果精确到小数点后4位）( )A. B. C. D.√【备选理由】例3都属于新情境问题，是高考的热点问题；[解析] 因为 ，所以 +….故选C.例4 ［配合探究点三使用］[2026·陕西汉中期末] 已知, ，且．【备选理由】例4是对同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用.（1）求 的值；解：因为,，所以, ，因为 ,所以 ，所以.（2）求 的值．解：因为，, ,所以 ，所以 ，则 .作业手册◆ 夯实基础 ◆1. ( )A. B. C.1 D.[解析].故选D.√2.已知 为第四象限角，，则 ( )A. B. C. D.[解析] 因为 为第四象限角，且，所以 ，且.所以 .故选D.√3.[2026·安徽师大附中质检]设，若 ，则( )A. B. C. D.[解析] 因为 ，所以，解得或 （舍），故选B.√4.[2026·河北张家口模拟]已知，则 ( )A. B. C. D.[解析] 由题意可得，则 .故选D.√5.已知角 的终边过点，则 ( )A.10 B. C. D.[解析] 由角 的终边过点，得 ，所以 .故选A.√6.定义函数,,其函数值为 的正约数的个数,例如，.若， ，则 ( )A. B. C. D.[解析] 由，得必是的一个约数，若 有其他的约数，则必会成对出现，所以 为正奇数，所以.故选B.√7.（多选题） ( )A. B.C. D.√√[解析] 对于A, ,故A错误；对于B, ，故B正确；对于C, ，故C错误；对于D, ，故D正确.故选 .8.若且,则 ___， _ __.[解析] 因为，所以，又 ，所以 ，所以 ，.9.已知，且，则 的值为_ ___.[解析] ,，，..10.[2025·陕西渭南质检]（1）化简： ；解： .（2）已知，求 .解：由，得 ，则 ，所以.◆ 综合提升 ◆11.[2026·湖北黄冈二模]已知, ，则的值为( )A. B. C. D.√[解析] 因为，所以 ，即.因为 ，所以，所以 ，则.因为，且 ，所以 与 异号，又因为时，所以 ，所以 .因为，所以 ，所以.故选C.12.（多选题）[2025·浙江杭州期末]已知，则下列说法正确的是( )A.B.C.若，则D.若，则√√√[解析] ,故A错误,B正确；若 ,则 ,故C正确；将两边平方，整理得 ，则，所以 ，故D正确.故选 .13.若 ，则 __.[解析] 由已知可得，，设，则 ，代入 ，可得，所以，解得 ，所以，所以 .14.[2026·贵州遵义联考] 已知.（1）求 的值；解：由题意得，，即 .若，则，不符合 ，故，则 .（2）求 的值；解： .（3）求 的值.解： .【知识聚焦】 1.（1） （2）,2. 【课前演练】 （1）× （2）× （3）× 1. C 2. D 3. 课堂考点探究例1（1）B （2）ABC （3） 例2（1）A （2） 【对点演练1】（1）C （2）C （3）A 例3（1）C （2）AD 【对点演练2】（1）C（2） 例4（1） （2）【对点演练3】（1）， （2）教师备用习题例1 B 例2 例3 C 例4（1） （2）夯实基础1. D 2. D 3. B 4. D 5. A 6. B 7. BD 8. 9.10.（1） （2）综合提升11. C 12. BCD 13. 14.（1）（2） （3）<第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式【备选理由】 例1考查同角三角函数的基本关系,并涉及基本不等式的应用;例2、例3都属于新情境问题,是高考的热点问题;例4是对同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用.1 [配合探究点一使用] [2025·山西运城模拟] 若α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为 ( B ) A. B. C. D.[解析] 由α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,得2sin α=,0则2sin α+cos β=+.注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0,当且仅当a=b时等号成立,所以+≤,所以2sin α+cos β=+≤=,当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时等号成立,所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为.故选B.2 [配合探究点三使用] “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为:已知O是△ABC内一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.设O是锐角三角形ABC的垂心,且3+4+5=0,则tan∠AOB= - . [解析] 如图,延长AO,交BC于点D,延长BO,交AC于点E,延长CO,交AB于点F,故AO⊥BC,BO⊥AC,CO⊥AB.因为3+4+5=0,所以由“奔驰定理”得SA∶SB∶SC=3∶4∶5,则SA∶S△ABC=3∶12=1∶4,即OD∶AD=1∶4,设OD=m,则OA=3m.同理SB∶S△ABC=4∶12=1∶3,即OE∶BE=1∶3,设OE=n,则OB=2n.由cos∠BOD=cos∠AOE,得=,即=,所以3m2=2n2,所以=,所以cos∠BOD====,又∠AOB+∠BOD=π,所以cos∠AOB=-cos∠BOD=-,所以sin∠AOB==,则tan∠AOB==-.3 [配合探究点二使用] 已知sin x=x-++…+(-1)k-1×+…(x∈R,k∈N*),其中n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.若函数f(x)=cos,≈0.008 333,≈0.000 198,则f≈(结果精确到小数点后4位) ( C )A.0.539 4 B.0.841 9C.0.841 5 D.0.539 8[解析] 因为f=cos=cos=sin 1,所以f=1-+-++…+(-1)k-1×+…≈1-+-≈1-+0.008 333-0.000 198≈1-0.166 667+0.008 333-0.000 198=0.841 468≈0.841 5.故选C.4 [配合探究点三使用] [2026·陕西汉中期末] 已知θ∈,且cos=.(1)求cos θ的值;(2)求的值.解:(1)因为θ∈,所以θ+∈,因为cos=,所以sin===,所以cos θ=cos=coscos+sinsin=×+×=.(2)因为cos θ=,θ∈,所以sin θ===,所以tan θ===,则=====. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 02-第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式.pptx 第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式.docx
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